均方誤差意義下預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)的優(yōu)良性

常新鋒

（江蘇大學(xué) 財(cái)經(jīng)學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013）

1 問題的提出

考慮線性模型：

其中y是n×1的響應(yīng)向量，X是n×p的列滿秩設(shè)計(jì)矩陣，β是p×1的未知參數(shù)向量，ε是n×1服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差向量，ε的期望為E(ε)=0，方差為E(εε′)=σ2I，σ2＞0，I是n×n的單位矩陣。

模型（1）中參數(shù)向量β帶有的附加信息為以下等式約束：

其中r為q×1的隨機(jī)向量，R為q×p的行滿秩矩陣，且q＜p。

模型（1）中β的最小二乘估計(jì)和σ2的無偏估計(jì)分別為：

其中C=X′X。

當(dāng)研究者不能確定關(guān)于樣本信息的等式約束條件（2）是否成立時(shí)，考慮參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)H0:r=Rβ和備擇假設(shè)H1:r≠Rβ。原假設(shè)H0對應(yīng)備擇假設(shè)H1的似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。當(dāng)備擇假設(shè)H1成立時(shí)，似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F為自由度為(q,n-p)的非中心F分布，非中心參數(shù)為(1 2)Δ ，其中

對附加信息為等式約束的線性模型（1），Judge和Bock[1]提出了基于F檢驗(yàn)的預(yù)檢驗(yàn)估計(jì)。結(jié)合預(yù)檢驗(yàn)估計(jì)和嶺估計(jì)，Saleh和Kibria[2]提出了基于F檢驗(yàn)的預(yù)檢驗(yàn)嶺估計(jì)。Yuksel和Akdeniz[3]得到了基于F檢驗(yàn)的預(yù)檢驗(yàn)Liu估計(jì)。進(jìn)一步地，Kibria和Saleh[4]提出了基于W，LR和LM檢驗(yàn)的預(yù)檢驗(yàn)嶺估計(jì)，并對估計(jì)的偏差和均方誤差等性質(zhì)做了研究。Kibria和 Saleh[5]，Saleh[6]，Yang 和 Xu[7]，Kibria[8]，Arashi等[9]對各類預(yù)檢驗(yàn)估計(jì)的性質(zhì)進(jìn)行了研究。

本文在Yang和Chang[10]提出的兩參數(shù)估計(jì)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用預(yù)檢驗(yàn)估計(jì)的思想，提出預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)，新的估計(jì)包含了預(yù)檢驗(yàn)估計(jì)，預(yù)檢驗(yàn)嶺估計(jì)和預(yù)檢驗(yàn)Liu估計(jì)。進(jìn)而，在均方誤差準(zhǔn)則下，給出預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)優(yōu)于預(yù)檢驗(yàn)估計(jì)，預(yù)檢驗(yàn)嶺估計(jì)和預(yù)檢驗(yàn)Liu估計(jì)的充分條件。

2 預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)

為了克服模型（1）中的復(fù)共線性，Yang和Chang[10]提出的兩參數(shù)估計(jì)為：

考慮帶等式約束條件（2）的模型（1），結(jié)合Kaciranlar等[11]得到約束最小二乘估計(jì)的方法，提出約束兩參數(shù)估計(jì)為：

其中為約束最小二乘估計(jì)。

當(dāng)對模型（1）的約束條件（2）是否成立不確定時(shí)，結(jié)合兩參數(shù)估計(jì)，約束兩參數(shù)估計(jì)和預(yù)檢驗(yàn)估計(jì)的思想，得基于F檢驗(yàn)的預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)為：

其中I(A)為事件A的示性函數(shù)，F(xiàn)α表示自由度為(q,n-p)的中心F分布的上α分位數(shù)。

根據(jù)預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)(k,d)的定義可知，當(dāng)k=0 ，d=1，預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)(0,1)即為Judge和Bock[1]提出的預(yù)檢驗(yàn)估計(jì)；當(dāng)d=1，預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)(k,1)即為 Saleh 和 Kibria[2]提出的預(yù)檢驗(yàn)嶺估計(jì)；當(dāng)k=0，預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)(0,d)即為Yuksel和Akdeniz[3]提出的預(yù)檢驗(yàn)Liu估計(jì)。

預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)(k,d)的期望，偏差和均方誤差為：

其中B=(C+I)-1[(k+1-d)C+k)](C+kI)-1，η=C-1R′(RC-1R′)-1(Rβ-r)，C(k)=X′X+kIp，A=C-1R′(RC-1R′)-1RC-1，l1=(q/(q+2))Fq,n-p(α) ，l2=(q/(q+4))Fq,n-p(α) ，Gm,n(·;Δ)表示自由度為(m,n)非中心參數(shù)為(1 2)Δ 的F分布的累計(jì)分布函數(shù)。

3 估計(jì)的優(yōu)良性

在均方誤差準(zhǔn)則下，本文分別對預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)與預(yù)檢驗(yàn)估計(jì)，預(yù)檢驗(yàn)嶺估計(jì)和預(yù)檢驗(yàn)Liu估計(jì)的優(yōu)良性作比較。為了研究方便，引入以下記號與引理。

存在正交矩陣P，使得P′CP= Λ=diag(λ1,…,λp)，λ1≥ … ≥λp＞0 ，θ=P′β=(θ1,…θp)′，=P′η=(1,…)′，且有：

引理1[12]：設(shè)矩陣A，B均為n×n的實(shí)對稱陣，且B為正定矩陣，對任意n×1的非零向量x，有成立，其中λ1(AB-1)和λn(AB-1)分別表示矩陣AB-1的最大特征值和最小特征值。

3.1 預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)PT(k,d)與預(yù)檢驗(yàn)估計(jì) PT

當(dāng)原假設(shè)H0成立時(shí)，預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)(k,d)和預(yù)檢驗(yàn)估計(jì)的均方誤差之差為：

其中：

在備擇假設(shè)H1成立的情況下，預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)(k,d)和預(yù)檢驗(yàn)估計(jì)的均方誤差之差為：

注意到Gq+2,n-p(l1;Δ)＞0 ，2Gq+2,n-p(l1;Δ)-Gq+4,n-p(l2;Δ)＞0 ，則MSE()-MSE((k,d))≥0 當(dāng)且僅當(dāng)：

其中：

根據(jù)引理1，可知：

綜合以上敘述，得以下定理：

定理1：當(dāng)原假設(shè)H0成立，對k＞0和 0＜d＜1，在均方誤差準(zhǔn)則下，預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)(k,d)優(yōu)于預(yù)檢驗(yàn)估計(jì)，即MSE()-MSE((k,d))≥0 只需 (d-1)λi2+k2λi+k2＞0成立。

定理2：當(dāng)備擇假設(shè)H1成立，對k＞0和0＜d＜1，在均方誤差準(zhǔn)則下，預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)(k,d)優(yōu)于預(yù)檢驗(yàn)估計(jì)，即MSE()-MSE((k,d))≥0 只需 Δ ＞ Δ1成立。

3.2 預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì) PT(k,d)與預(yù)檢驗(yàn)嶺估計(jì)PT(k)

當(dāng)原假設(shè)H0成立時(shí)，預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)(k,d)和預(yù)檢驗(yàn)嶺估計(jì)(k)的均方誤差之差為：

當(dāng)備擇假設(shè)H1成立時(shí)，預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)(k,d)和預(yù)檢驗(yàn)嶺估計(jì)(k)的均方誤差之差為：

根據(jù)引理1，可知：

綜合以上敘述，可得以下定理：

定理3：當(dāng)原假設(shè)H0成立，對k＞0和 0＜d＜1，在均方誤差準(zhǔn)則下，預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)(k,d)優(yōu)于預(yù)檢驗(yàn)嶺估計(jì)(k)，即MSE((k))-MSE((k,d))≥0 只需σ2(1-λiiiGq+2,n-p(l1;0))(2λi+1+d)＞θi[(2k+1-d)λi+2k]成立。

定理4：當(dāng)備擇假設(shè)H1成立，對k＞0和0＜d＜1，在均方誤差準(zhǔn)則下，預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)(k,d)優(yōu)于預(yù)檢驗(yàn)嶺估計(jì)(k)，即MSE((k))-MSE((k,d))≥0 只需Δ＞Δ2成立。

3.3 預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)PT(k,d)與預(yù)檢驗(yàn)Liu估計(jì)PT(d)

當(dāng)原假設(shè)H0成立時(shí)，預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)(k,d)和預(yù)檢驗(yàn)Liu估計(jì)(d)的均方誤差之差為：

當(dāng)備擇假設(shè)H1成立時(shí)，預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)(k,d)和預(yù)檢驗(yàn)Liu估計(jì)(d)的均方誤差之差為：

根據(jù)引理1，可知：

綜合以上敘述，可得以下定理：

定理5：當(dāng)原假設(shè)H0成立，對k＞0和 0＜d＜1，在均方誤差準(zhǔn)則下，預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)(k,d)優(yōu)于預(yù)檢驗(yàn)Liu 估計(jì)(d)，MSE((d))-MSE((k,d)) ≥ 0 只需(k-2d)λi-dk＞0成立。

定理6：當(dāng)備擇假設(shè)H1成立，對k＞0和0＜d＜1，在均方誤差準(zhǔn)則下，預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)(k,d)優(yōu)于預(yù)檢驗(yàn)Liu 估計(jì)(d)，即MSE((d))-MSE((k,d)) ≥ 0 只需Δ＞Δ3成立。

4 結(jié)論

本文首先通過運(yùn)用預(yù)檢驗(yàn)的思想，提出了線性模型參數(shù)的預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)，可以看到預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)包含了預(yù)檢驗(yàn)估計(jì)，預(yù)檢驗(yàn)嶺估計(jì)和預(yù)檢驗(yàn)Liu估計(jì)。最后，在均方誤差準(zhǔn)則下，給出了預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)優(yōu)于預(yù)檢驗(yàn)估計(jì)，預(yù)檢驗(yàn)嶺估計(jì)和預(yù)檢驗(yàn)Liu估計(jì)的充分條件。因此，預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)在理論和應(yīng)用上都是有意義的。

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