Metamaterial參數提取算法與修正

陳沛林，蔚保國，鄭曉冬

(1.衛星導航系統與裝備技術國家重點實驗室，河北 石家莊050081；2.中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081)

0 引言

Metamaterials(MTMs)人工電磁材料，也稱“超材料”，可寬泛定義為由人工實現的等效均勻的電磁結構，這種結構具有自然界不易實現的特殊屬性。等效均勻結構是由很多單元(cell)組成的結構，如果單元滿足了等效均勻化條件，那么單元組成的整體結構對于導波波長的電磁波來說可以看作一個“真實的”材料。該材料的電磁特性由其本構參數(等效介電參數和等效磁導率)來描述，已知結構的本構參數才能從結構尺寸上對其進行控制和優化。因此準確地獲取Metamaterial的本構參數，具有重要意義。

S參數提取算法是提取材料本構參數的一種有效方法。該基本理論來源于Nicolson-Ross-Weir(NRW)方法[1-2]。Caloz等人對于CRLH TL的等效電路參數提取過程提出了一種方法[3]，這種方法把電容和電感分開求解，得到LC參數。該算法比較方便，但忽略了分布參數元件之間的耦合效應。X.D.Chen針對Metamaterial提出了具有魯棒性的提取方法[4]。Smith等人提出了對于非均勻介質的參數提取方法[5]。S.G.Mao等人針對微帶線實現方式的人工材料改進了NRW參數提取方法[6-7]，這種方法將CRLH TL作為一個整體來做參數提取和電路建模。

S參數提取法由于只關心端口特性，適用于介質厚度較小的情況。但是對于介質厚度與波長相比擬的情況，該算法存在多分支問題。S.G.Mao提出的等效電路是針對平衡情況下的參數提取，此情況下CRLH TL結構是被當做均勻互易的媒質的，而且在每個頻點都用到了平衡狀態下傳輸線的條件。然而實際中CRLH TL可以是非對稱不平衡結構的，平衡條件不能普遍適用。

本文基于S參數反演算法提出了修正算法，對超材料中復合左右手傳輸線結構、非對稱結構以及S參數結果多值情況下的提取過程進行了聯合修正，并對該算法的因果性進行了分析。

1 各向同性S參數提取

根據等效介質理論，對于周期加載的人工材料單元，當單元周期l遠小于導波波長λg時，可以近似用等效介電常數εeff和等效磁導率μeff來描述。復合左右手傳輸線(CRLH TL)的路結構中的電磁波傳播模式為準TEM模，而開口諧振環和細導線的場結構中傳播模式為TEM模，因此，可以將時間因子定義為e-iωt。為了表示方便，在厚度為d的人工材料單元中，定義傳播因子p，

p=eik0nd，

(1)

式中，k0為自由空間波數；n為折射率，與等效介電常數εeff和等效磁導率μeff的關系為：

(2)

式中，εeff=Re(εeff)+jIm(εeff)；μeff=Re(μeff)+jIm(μeff)；Re(·)和Im(·)分別為實部算子和虛部算子。

S參數定義如圖1所示。

圖1 S參數定義

根據文獻[5]，S參數與等效波阻抗Zeff和傳播因子的關系為：

(3a)

(3b)

(3c)

由式(3)反推Zeff和p，得

(4a)

(4b)

(4c)

首先，在式(4b)反推折射率n的過程中，公式兩邊取對數時存在多值性問題。但是，若工作波長遠大于介質厚度d時，n的解就不存在多值性，可以直接由式(4b)反推得到。一般情況下，介質是無源的，為了保證因果性，可以由以下條件限定Zeff和n，消除式(4a)中±號帶來的多值性，即

Re(Zeff)≥0， Im(n)≥0。

(5)

由本構關系可以求得等效介電常數εeff和等效磁導率μeff，

εeff=n/Zeff，μeff=n·Zeff。

(6)

至此，對于介質厚度d遠小于工作波長而且介質在波傳播方向上對稱的情況，上述方法已經能夠正確地提取到S參數。如果想證明這種方法的有效性，可以用該方法計算1946年Kock[8]提出的球形單元，并與解析式的計算結果相比較[9-10]。如果考慮雙各向異性的介質，則需要在不同方向上采取類似的提取過程[11]。

如果計算平面微帶線實現的復合左右手傳輸線結構，則需要對上述方法進行修正；對于介質厚度d較大的情況下，需要對折射率的取值做去分支處理；對于非對稱結構也應當加以修正。下面對S參數提取法的修正做進一步討論。

2 S參數提取算法修正

2.1 非對稱修正

假設單元結構是無限重復的。式(4c)中S11那一項對應于結構是對稱的情況，即單元結構是等效均勻的而且是可互易的。根據文獻[5]，對于非對稱結構，即S11≠S22，那么要將式(4c)中S11那一項替換為平均值Sav，

(7)

2.2 去分支修正

反推式(1)得到折射率的表達式為：

n={Im[ln(p)]+2mπ-iRe[ln(p)]}/(k0d)，

(8)

式中，虛部可以由式(5)唯一確定，而實部卻由于多分支2mπ(m=0，±1，±2…)存在不確定性。一般在介質電長度較小的情況下不考慮n的實部的不確定性，因為這時n一般不存在多值性。換句話說，由S參數提取算法計算得到的值在低頻微波頻段是穩定的(由等效媒質條件d<λg/4，頻率大約要小于c/(4d))。然而對于高頻微波頻段，文獻[4]提供了一種很好的去除分支的方法。這種方法借助泰勒展開式，理論依據是介質εeff和μeff的頻率色散函數應當是數學上的連續函數，因此折射率n的取值也應當是連續的，所以可以由上一個頻點的n的取值來判斷下一頻點n的取值分支。傳輸因子p的泰勒展開式為：

(9a)

Δ=in(fk+1)k0(fk+1)d-in(fk)k0(fk)d，

(9b)

式中，頻點fk+1是頻點fk的下一個頻點。簡單來說，n可以在起始頻率由m=0唯一確定。因為起始頻率經常是較低頻率，可以保證介質電長度，對于波長來說是非常小的(d<λg/4)。以上對于n在起始頻率的取值是一種簡化算法，很多算例也證明這種簡化是合理的。另外，文獻[4]對于如何更嚴謹地確定n在頻率起始的點的取值有更詳細的討論。

要確定折射率n的實部在下一個頻點的分支，從函數連續性出發，要使下一個頻點的分支m(m=0，±1，±2…)的取值使得下一個頻點n的實部Re[n(fk+1)]距離上一頻點n的實部最近。這樣，就可以唯一確定m的取值。最后發現，最終的計算結果與仿真或者測量得到的S參數結果的精度有關。如果頻率間隔太寬，以至于在某些頻點的劇烈諧振被忽略，那么就有可能造成算法選擇錯誤的分支，得到不合理的結果。所以，在采用去分支算法時，應當盡量使用小的頻率間隔和較小的介質厚度d。

2.3 微帶線修正

Metamaterial的微帶線實現形式中，微帶線的端口面是由介質基板和空氣混合填充的，因此需要考慮微帶線的空氣填充阻抗Z0a。由于從S參數計算的等效阻抗Zeff是歸一化的，是相對值，因此需要重新對微帶線的空氣填充阻抗Z0a進行歸一化處理。修正后的相對波阻抗Zeff′為：

Zeff′=Zeff·Z0/Z0a。

(10)

空氣填充微帶線阻抗的換算公式可選用工程公式[12]，

(11a)

(11b)

式中，D為微帶線介質基板厚度；W為微帶線寬度；εe為微帶線的有效介電常數，這個介電常數對應的介質可以替換微帶線的空氣和電介質，是等效均勻的介質。

3 算例

通過一般微帶線與細導線和開口諧振環的例子，說明修正方法的有效性。

3.1 標準微帶線算例

微帶線介質基板選擇FR4，相對介電常數為εr=4.4，相對磁導率μr=1，厚度1.6 mm，損耗正切0.022。微帶線長10 mm，通過AWR Design Environment中的TX-Line計算工具設置該介質基板的微帶線的寬度，使P它的端口阻抗為50 Ω的寬度。文獻[6]的計算結果可以與本文算法的計算結果做對比分析。

對這段微帶線通過仿真計算，提取S參數。將S參數代入到S參數提取算法中，應用去分支和微帶線修正，計算結果如圖2所示。

圖2(a)是沒有應用去分支修正的結果，可以看到，在低頻時，微帶線在電磁波傳播方向上的厚度d滿足等效介質條件d<λg/4，于是S參數提取算法有效。當頻率升高，等效介質條件被打破，d≥λg/4，于是出現折射率n的分支模糊，此時由于沒有應用去分支算法，分支選擇仍為m=0分支，于是在計算結果上出現了較大幅度的跳變，這樣的參數提取結果是不合理的。

圖2(b)所示的結果為采用去分支修正的結果，與文獻[6]的計算結果吻合。由于選擇計算空氣填充微帶線等效阻抗的公式不同，在最終的計算結果中，得到εeff和μeff幅值可能會有一些微小的誤差，但是這些誤差是可以接受的。

圖2 S參數提取算法采用修正算法前后的結果對比

3.2 開口諧振環(SRRs)和細導線(Wires)算例

為了方便結果對比，本節應用的單元模型設置與文獻[5]相同，驗證去分支算法的有效性。算例單元與尺寸標注如圖3所示，單元結構是一個立方體，邊長為2.5 mm，材料為真空，其中的基底材料為FR4，εr=4.4，μr=1，損耗正切0.022。諧振環開口間距均為g=0.3 mm，外環長度w=2.2 mm，環的線寬均為c=0.2 mm，兩環間距s=0.15 mm，可算出內環長度為1.5 mm，導體桿的線寬為0.14 mm，所有銅線的厚度均為0.017 mm。電磁波在其中沿x軸正向傳播，邊界條件設置為2個波端口；電場沿y方向極化，設置y方向上下兩平面為理想導電體PEC；z方向上下兩平面為理想導磁體PMC。假設Metamaterial單元在xyz三個方向上呈現三維周期性，yz方向上的周期性可以通過設置PEC及PMC來模擬。

圖3 算例單元與尺寸標注

波端口的參考阻抗為50 Ω。S參數提取算法的修正僅采用去分支算法。提取結果的如圖4所示。

圖4 單元的S參數提取得到的等效折射率結果

該結構為典型的左手材料單元結構，在X波段顯示出雙負特性。對于這樣的單個單元，如果不采用去分支算法，得到的計算結果完全相同。說明對于電小尺寸的單元結構，用等效介質條件簡化的算法是有效的。但是在簡化之前要用該等效介質條件估算結構是否滿足該條件(電磁波傳播所經過的厚度，在此為w，即w<λg/4)。

下面來計算一個由5個開口諧振環和細導線單元組成的介質板的電磁參數。在y和z方向上同樣用PEC及PMC來模擬周期性。考慮到計算機內存的限制，在y和z方向上沒有設置相同的介質板來考慮在y和z方向上單元的耦合。這里主要關心的是去分支算法的有效性，所以盡量簡化了問題。模型如圖5所示。

圖5 5個開口諧振環單元組成的人工材料介質板模型

如果在算法中不考慮n的多分支，而直接應用不含去分支修正的S參數提取算法計算，得到的結果是不合理的，會看到折射率n的符號翻轉，如圖6所示。因為對于這樣一個長12.5 mm的結構，大約從6 GHz開始，等效均勻原理的條件已經不再適用，那么沒有去分支修正的S參數算法的適用條件也就不滿足了。這個預測是與圖中顯示的折射率實部的跳變相吻合的。

圖6 無去分支過程的結果

應用去分支修正的算法結果如圖7所示。可以看到，這樣的結果避免了折射率n的取值分支的模糊性，消除了符號翻轉。雖然由于模型在x方向上具有多個單元，在x方向上各單元的耦合影響了提取結果，表現為結果上微小的擾動，但是這個結果的總體趨勢與圖5所示的一個單元的計算結果是完全一致的。特別是在幾個負折射的特征點上，例如折射率n小于零的起始點與終止點、介電常數的過零點等，都吻合得較好。

圖7 5個單元組成的介質板的參數提取結果

4 因果性條件

根據能量守恒定律得到色散媒質的耗散功率W[13]，

(12)

式中，

ε=ε0εeff=ε0[Re(εeff)+j·Im(εeff)]，

μ=μ0μeff=μ0[Re(μeff)+j·Im(μeff)]，

Eω和Hω分別為電場強度矢量和磁場強度矢量。運用|Eω/Hω|2=|μeff|/|εeff|，化簡得

(13)

根據因果性，介質是無源的，那么W>0，根據式(13)得到如下條件，

Im(εeff)·|μeff|+Im(μeff)·|εeff|>0。

(14)

要使式(14)成立，那么需要使εeff和μeff中至少有一個大于零。可以驗證，經過修正的S參數提取算法得到的εeff和μeff滿足式(14)，并不違反熵增加原理。

另外，根據文獻[14]，負折射并不完全等同于電磁參數ε和μ同時為負，而只需要滿足

Re(n)<0?Re(ε)|μ|+Re(μ)|ε|<0。

(15)

所以，Re(ε)<0且Re(μ)<0為Re(n)<0的充分條件而不是必要條件。

5 結束語

本文應用函數連續性與泰勒展開式，同時引入了非對稱情況和微帶線情況下的修正，補充了去分支修正算法，有效地解決了電長度大的超材料的等效電磁參數提取問題，拓寬了S參數提取法的適用范圍。

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