基于目標規劃的CT系統參數標定

沈詩羽 顧融智 何文

摘要：隨著醫療與工業技術的發展，CT系統透射成像的應用也愈加廣泛。該文通過引入Beer-Lambert衰減定律與投影公式，結合最小二乘法、目標規劃與理想點法，建立了二維CT系統的參數標定模型。并代入投影值數據，對一二維CT系統的參數進行標定。

關鍵詞： CT系統；最小二乘法；理想點法；目標規劃；靈敏度分析

中圖分類號：N34 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2018）03-0202-02

Abstract：With the development of medical and industrial technology， the application of CT system transmission imaging has been more and more extensive. Based on the introduction of Beer-Lambert attenuation law and projection formula， the parametric calibration model of two-dimensional CT system is established by combining the least square method， the target planning and the ideal point method. And generation of data into the projection values， the parameters of a two-dimensional CT system calibration.

Key words：CT system； least squares method； ideal point method； goal programming； sensitivity analysis

1 概述

CT系統可以在不破壞樣品的情況下，利用樣品對射線能量的吸收特性進行斷層成像，獲取樣品結構信息，其標定參數可以在一定程度上減少系統安裝誤差帶來的探測影響。本文運用一CT系統對標定模板的測量結果，建立模型對CT系統的參數標定方式提出了具體解決方法。

2 CT系統參數標定模型的建立

一種典型的二維CT系統與標定模板如圖1所示，一組平行的X射線光束穿過模板，并垂直于探測器平面入射。512 個等距單元的探測器接收經過增益等處理后的射線能量，并通過180 次逆時針旋轉，得到180 組接收信息。CT系統參數標定的實質，即是根據接收信息確定其旋轉中心的位置、探測器的單元距離與180 次旋轉采樣的方向。

2.1 探測器單元距離模型的建立

當射線恰好通過圓心時，由于探測器單元間距離相等，其大小等于圓心到射線與的距離，從而，根據勾股定理可知兩射線穿透厚度。

根據Beer-Lambert定律[1]，有：

將其對數變換，得到投影值與射線穿透厚度的比值等于樣品的衰減系數，即：

由于為常量，當與圓心的距離趨于0時，其穿透厚度大致等于該圓形樣品模板的直徑，從而，得到穿透厚度關于樣品模板直徑的比值等式，為：

其中，為射線的投影值，為射線的穿透厚度。

根據數據分布規律，僅穿透圓形樣品模板的射線數據中，投影值最大的射線即對應的情形。當存在一組數據，使得與差值最小時，該組數據的射線與圓心的距離最短，此時與的差值也最小。

由此，以投影值最大射線的左右相鄰射線投影值差值最小為目標，得到目標函數為：

其中，為穿過且僅穿過圓形樣品模板的數據組數，與分別為第組數據中，投影值最大射線的左右相鄰射線的投影值。

根據勾股定理，有：

結合投影公式與大小，可以得到差值最小的與。由于恰好通過圓心的射線不一定存在，所以，通過求取與的平均值，即可消除此誤差的影響。由此，得到探測器的單元距離，為：

其中，與、與分別為射線與的穿透厚度及距圓心的距離。

2.2 射線方向角模型的建立

以正方形托盤中心為原點，沿邊長方向建立直角坐標系。當X射線為切線時，通過聯立切線與模板方程，即可根據解的個數確定射線方程。

聯立橢圓模板方程與切線方程，得到：

相切時該方程僅有一個解，根據韋達定理：

可建立與關于斜率的表達式。

同理，聯立圓形木板方程與切線方程：

并由韋達定理可建立關于斜率的表達式。

控制條件或者，根據平行線原理，此時四條射線穿透區域都僅為一塊模板，不發生重疊現象，易直接計算穿透厚度的大小。

180次旋轉存在旋轉角相等與不等兩種情況，對應不同射線投影長度，即旋轉角等間距時，不等間距時，為各X射線入射方向的斜率。

理論投影長度在數值上近似等于探測器實際所測長度，即探測器單元距離的整數倍，但存在一定的誤差。所以我們令實際長度為：

運用最小二乘法，通過令投影長度的理論值與實際值差值最小，最小化計算誤差，得到目標表達式

其中，為滿足步驟二控制條件的數據組數。目標表達式滿足時，射線與橢圓模板的切線吻合度最高，由此即可確定旋轉角的大小。

2.3 旋轉中心模型的建立

當射線近似穿過圓心時，穿透厚度與直徑大致相等。所以，存在理想點滿足：

由于介質分布均勻，所以該情況下為模板的理想衰減系數。

建立目標規劃表達式，即：

確定最接近圓形的一射線所在的數據組。當最小時為第次探測時的第個探測器的接收值，則可根據探測器單元距離，確定其方向上的偏移量：

同理，根據理想點法，在射線水平入射時，建立目標表達式：

確定探測次數與接收探測器個數后，坐標的表達式為：

由此，結合旋轉原理即可確定橫縱坐標的大小。

3 模型求解

標定模板中，橢圓模板長軸80 mm，短軸15 mm，位于正方形托盤中心；圓形模板半徑4 mm，距離橢圓圓心45 mm。代入CT系統的180 組探測器接收信息，運用MATLAB R2017a編寫程序，通過循環搜索算法，得到該系統的各項參數，如表1所示。

由此，完成了CT系統各項參數的標定。

4 靈敏度分析

采用控制變量法，選取部分數據改變參數值，通過圖像重構算法[2]重構圖像。并與原始圖像對比，驗證模型穩定性。

根據結果可知，該系統的參數標定結果對于探測器單元距離敏感度高，其穩定性受單元距離的影響較大，受入射方向角影響較小。而圖像質量對入射旋轉角敏感度較高。可見單元距離長度決定了探測結果的精確性，而入射探測次數決定了圖像的質量好壞。

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