一種特殊梯度分布的功能梯度矩形板彎曲問題解析解

陳淑萍 趙紅曉 武晉文 耿少波

(1 中北大學(xué)理學(xué)院，太原 030051) (2 同濟大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092)

0 引言

功能梯度材料是一種多相材料，其材料宏觀特性在空間位置上呈梯度變化，消除了材料的物理性能突變現(xiàn)象，達到緩和熱應(yīng)力、避免或降低應(yīng)力集中，優(yōu)化結(jié)構(gòu)整體使用性能的目的[1-3]。基于以上特點，功能梯度材料在航空航天、土木工程、機械、電磁、核工程、軍事、生物醫(yī)學(xué)等技術(shù)領(lǐng)域已有越來越廣泛的應(yīng)用。

對于功能梯度結(jié)構(gòu)(梁、板、殼等)彈性問題的求解，主要的分析方法有解析法和數(shù)值法兩大類。其中基于精確彈性理論的解析法是嚴格求解問題的控制方程和邊界條件，目前僅對特定的問題有效。KASHTALYAN[4]得到了梯度呈指數(shù)分布的四邊簡支功能梯度矩形板彎曲問題彈性解。仲和尚[5]獲得了四邊簡支功能梯度矩形板三維封閉解，其中材料常數(shù)沿厚度方向呈指數(shù)函數(shù)變化，線性分布和倒數(shù)分布。YANG, DING和CHEN[6]研究了橫觀各向同性對邊簡支功能梯度矩形板彎曲問題。OOTAO和ISHIHARA[7]獲得了一種具有分段指數(shù)分布的功能梯度矩形板瞬態(tài)熱彈性問題三維解。ABALI等[8]研究了四邊簡支功能梯度矩形板在點荷載作用下彎曲問題。周鳳璽等[9]采用數(shù)值方法求解了材料常數(shù)按冪率變化的四邊簡支矩形板在熱沖擊下的熱響應(yīng)。余蓮英等[10]采用彈性力學(xué)逆解法，求得了功能梯度曲梁在端部受彎矩作用解析解。WOODWARD和KASHTALYAN[11]研究了功能梯度矩形夾芯板在橫向荷載作用下的彎曲問題。楊智勇、牛忠榮和程長征等[12]采用插值矩陣法直接對常微分方程組邊值問題進行求解，得到了功能梯度材料矩形板三維位移、應(yīng)力場的半解析解。PRADHAN和CHAKRAVERTY[13]利用經(jīng)典板理論研究了功能梯度材料矩形板在不同的邊界條件下的靜力問題。MANTARI , RAMOS 和CARRERA[14]利用新的非多項式位移分析了功能梯度板和夾芯板的靜力問題。但關(guān)于一般冪函數(shù)分布的功能梯度矩形板三維問題解析解并沒有獲得。

本文從三維彈性理論出發(fā)，考慮材料常數(shù)沿厚度方向呈冪函數(shù)分布，引入PLEVAKO[15]解，獲得了功能梯度矩形板在任意荷載作用下彎曲問題的彈性解。并給出算例，討論了非均勻參數(shù)的變化對板應(yīng)力和位移場的影響。

1 問題的描述和基本方程

四邊簡支的功能梯度材料矩形板，其邊長分別為L1、L2，厚度為h，引入xyz坐標系，0≤x≤L1，0≤y≤L2，0≤z≤h，如圖1所示。

圖1 功能梯度材料矩形板示意圖

在不計體力的情況下，各向同性功能梯度三維矩形板，以位移表示的平衡方程為[16]：

(1)

式中，x,y,z是笛卡兒坐標系，u,v,w是位移分量，e=?u/?x+?v/?y+?w/?z是體積應(yīng)變，2=?2/?x2+?2/?y2+?2/?z2是拉普拉斯算子；E和ν分別是彈性模量和泊松比，它們都是關(guān)于坐標z的函數(shù)。

板上下表面的邊界條件：

z=0，σz=Z0(x,y) ，τxz=X0(x,y) ，τyz=Y0(x,y)

z=h，σz=Z1(x,y)，τxz=X1(x,y)，τyz=Y1(x,y)

(2)

式中，Z0(x,y)，Z1(x,y)，X0(x,y)，X1(x,y)，Y0(x,y)，Y1(x,y)分別是上下表面作用的橫向和切向荷載。

在四邊簡支邊上，有：

σx=v=w=0 (x=0,a)

σy=u=w=0 (y=0,b)

(3)

問題的關(guān)鍵就是在邊界條件(2)和(3)下求解控制方程(1)。

2 問題的求解

根據(jù)PLEVAKO解[15]，位移分量可以用兩個函數(shù)L=L(x,y,z)和N=N(x,y,z)表示如下：

(4)

式中，L=L(x,y,z)和N=N(x,y,z)滿足下面兩個變系數(shù)的偏微分方程：

(5)

(6)

式中，E′=dE/dz。

應(yīng)力分量也可以用函數(shù)L=L(x,y,z)和N=N(x,y,z)表示：

(7)

把L=L(x,y,z)和N=N(x,y,z)寫成分離變量的形式：

(8)

(9)

式中，m和n是正整數(shù)。

將(8)代入(5)和(6)可以得到關(guān)于ψmn和φmn兩個微分方程：

(10)

(11)

(12)

若將板上下表面邊界條件展開成雙重傅立葉級數(shù)形式：

(13)

式中，

(14)

由邊界條件(2)可得ψmn和φmn為：

(15)

(16)

在邊界條件(15)和(16)下求變系數(shù)常微分方程(10)與(11)的解，問題就解決了。

3 冪函數(shù)梯度分布

假定彈性模量沿厚度方向按照冪函數(shù)形式變化：

E(z)=E0(1+cz)p

(17)

式中，c和p是兩個材料常數(shù)，用來描述E(z)的非均勻性。將(17)帶入(10)和(11)，可以得到：

(18)

(19)

方程(18)的解為：

ψmn=z1g-1/2[A1Wχ,g(2ηz1)+A2W-χ,g(2ηz1)+

A3Wχ,g(-2ηz1)+A4W-χ,g(-2ηz1)]

(20)

(21)

方程(19)的解為：

(22)

(23)

式中,W±χ,g(±2ηz1)是Whittaker函數(shù),Ig(ηz1)和Kg(ηz1)分別是第一類和第二類g階修正貝賽爾函數(shù),I-g+3/2(ηz1)和K-g+3/2(ηz1)分別是第一類和第二類-g+3/2階修正貝賽爾函數(shù)，系數(shù)A1,A2,A3,A4,B1,B2可以通過邊界條件(15)和(16)求得。

4 算例與討論

考慮一個四邊簡支功能梯度材料方板，L1=L2=1 m，h=0.1 m，上下表面作用的荷載為

X0(x,y)=Y0(x,y)=Z0(x,y)=X1(x,y)=Y1(x,y)=0

這里取m=1，n=1，板的上下表面的彈性模量為E(0)=1 GPa，E(h)=10 GPa，在方程(17)中，

當E(h)/E(0)=10，選擇不同的非均勻系數(shù)p，彈性模量沿著板厚方向的變化如圖2所示。

圖2 彈性模量沿著板厚方向的變化示意圖

基于上面的彈性模量的幾種模型，對于薄板(h/L1=0.1)和厚板(h/L2=0.4)，在選定的點(x/L1=0.25，y/L2=0.25)處，位移u和w，應(yīng)力σx，τxy，σz和τxz，沿著厚度方向的變化如圖3和圖4所示。由于問題的對稱性，位移v，應(yīng)力σy和τyz沿著板厚方向的變化圖沒有出現(xiàn)，是因為它們的變化特性分別與u，σx和τzx的變化相似。

(a) 位移u(b) 位移w

從圖3和圖4可以得到以下結(jié)論：

對于一個功能梯度材料薄板，從圖3(a)和圖3(b)可以看出，位移w沿著板厚度方向的變化是基本一樣的，位移u沿著板厚度方向是呈線性變化。而對于一個功能梯度材料厚板，從圖4(a)和圖4(b)可以看出，位移w沿著板厚的變化不再一致且位移u沿著板厚的變化也同線性變化相背離。

從圖3(b)和4(b)中可以看到，無論是薄板還是厚板，其豎向位移的值，在梯度模型p=1時是最小的，p=0時是最大的。這一點可以用來解釋一個事實，那就是對于不同的梯度模型來說，板的彎曲剛度是不同的。另外，也能看出，對于同樣的梯度模型來講，由于薄板的彎曲剛度小于厚板，因此，薄板與厚板相比，薄板中會產(chǎn)生較大的變形。

從圖3(c)和圖4(c)可以看出，對于不同的彈性模量梯度模型來說，板上的面內(nèi)應(yīng)力分布是明顯不一樣的。功能梯度材料的梯度參數(shù)該如何選擇，這點提供了一個設(shè)計參考。

對于一個功能梯度材料薄板來說，面外應(yīng)力σz和τzx與面內(nèi)應(yīng)力σx相比，其大小是可以忽略的。但是對于一個厚板來說，這點是不成立的，由于σz和τzx與σx的大小是較接近的。這點在建立簡化的功能梯度材料薄板理論時可以加以考慮。

5 結(jié)論

給出了上下表面任意荷載作用下四邊簡支功能梯度板彎曲問題的解析解，其中假設(shè)材料彈性模量在板厚度方向上呈冪函數(shù)梯度分布。通過算例分析，得到雙三角函數(shù)形式荷載作用下功能梯度矩形板的應(yīng)力和位移分量。討論了非均勻參數(shù)的變化對板應(yīng)力和位移場的影響。該方法為發(fā)展針對功能梯度材料特點的數(shù)值算法和簡化理論提供依據(jù)。

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