錐柱面螺旋線短程線與網格纏繞成型技術

提亞峰 季寶鋒 黃 誠 王世勛 李雄魁

(北京宇航系統工程研究所，北京 100076)

0 引言

纖維纏繞是制造格柵(geodesic)增強復合材料結構(正交格柵和等邊三角形格柵結構壁板)的理想方法，它可使結構的質量很輕，而強度剛度卻非常高[1]。

復合材料網格結構在國內應用于工程實踐時間尚短，但自動化纏繞成型趨勢已十分明顯。自動化纏繞成型可提高產品質量、提高生產效率，便于批量生產。

圓柱段網格加筋結構，除縱筋沿母線、環筋沿圓環外，其余筋的中心線均為圓柱螺旋線。截圓錐段網格加筋結構，除縱筋沿母線、環筋為圓環外，其余筋的中心線均為圓錐螺旋線。蒙皮的纏繞除90°沿圓環外，其余纏繞角度均沿圓柱圓錐側面上的短程線纏繞。因此應對圓柱圓錐側面上的螺旋線和短程線的幾何性質進行深入系統的研究，得出工程上可行的方法以應用于圓柱段和截圓錐段網格加筋結構的幾何建模、結構承力計算、自動纏繞時纏繞編程，為復合材料網格結構自動化制造創造條件。本文主要介紹了錐柱面螺旋線短程線與網格纏繞成型技術。

1 圓柱錐側面上的螺旋線與復合材料網格結構的筋條纏繞成型

圓柱段復合材料網格結構，除縱筋和環筋外，其余筋的中心線均為圓柱螺旋線，其軌跡方程為：

(1)

式中，α為螺旋角。因螺旋角α為定值，當θ=2π為時，z為定值，即圓柱螺旋線是等螺旋角等螺距螺旋線。

圓柱螺旋線方程(1)的切線方程為：

(2)

設圓柱螺旋線的切線與z軸的夾角為ω，則：

(3)

由于圓柱的母線與z軸平行，圓柱螺旋線的切線與z軸的夾角就是圓柱螺旋線的切線與圓柱母線的夾角。圓柱螺旋線的切線與母線的夾角ω與其螺旋角α相等且為定值。

截圓錐段網格加筋結構，除縱筋和環筋外，其余筋的中心線均為圓錐螺旋線。

將螺旋角設為定值，得到等螺旋角圓錐螺旋線軌跡方程[2]：

(4)

式中，β為半錐角。ρ0為坐標原點到截圓錐體小端端面的圓錐側面上的母線長度。因方程中含有指數函數，等螺旋角的圓錐螺旋筋槽對加工設備要求較高。

將螺距設為定值，得到等螺距圓錐螺旋線軌跡方程[3]：

(5)

螺距h=2πacosβ

曲線切線與錐面母線之間夾角的余弦：

式中，aθ為坐標原點到截面錐體小端端面的圓錐側面上的母線長度。等螺距圓錐螺旋筋槽對加工設備要求較低。模具等速旋轉，刀具等速沿圓錐側面母線運動，即可加工出等螺距圓錐螺旋線。

等螺旋角和等螺距螺旋線在圓錐側面上是兩種曲線，在圓柱側面上是同一種圓柱螺旋線。

為便于圓柱段和圓錐段復合材料網格結構硬模成型裝置的設計生產和纖維纏繞，需要求出圓柱和錐段螺旋線的弧長和曲率。

圓柱螺旋線的弧長為：

(6)

等螺旋角圓錐螺旋線的弧長為：

(7)

(8)

等螺距圓錐螺旋線的弧長為：

(9)

(10)

arsh(θ2sinβ)-arsh(θ1sinβ))

(11)

圓柱螺旋線:

(12)

曲率[2]：

(13)

即圓柱螺旋線曲率僅與螺旋角和圓柱半徑有關，α=0°時為母線，曲率為0，對應復合材料網格結構縱筋；α=90°時曲率最大，對應環筋。

等螺旋角圓錐螺旋線

(14)

(15)

等螺距圓錐螺旋線

(16)

其曲率為：

(17)

2 圓柱圓錐側面上的短程線與復合材料網格結構的蒙皮纏繞成型

筋條的纏繞，由于模具上加工了筋槽，纖維絲束可在存在張力的情況下，纏繞到筋槽內，從而成型各種螺旋角的螺旋筋條。在表面上纏繞纖維最穩妥的方法是沿著兩點之間的最短路線進行纏繞[1]，即蒙皮的纏繞，纖維絲束在張力作用下應沿短程線纏繞。

2.1 圓柱側面上的短程線

圓柱段蒙皮，除0°和90°外，纖維沿圓柱側面上的短程線進行纏繞，如圖1所示。

圖1 圓柱面上的短程線

設圓柱面方程為：x2+z2=1,(x>0)。并設在圓柱面上連接A(x0,y0,z0),B(x1,y1,z1)兩點的曲線方程為：

(18)

(19)

其歐拉方程組：

(20)

由于H不顯含y，歐拉方程組化為：

(21)

求其首次積分，并用弧長s作參數，得：

(22)

歐拉方程組化為：

(23)

較之青壯年而言,中老年群體生理、心理均處于特殊階段,情緒波動容易受外界刺激、勞累、疾病等因素影響,因此腦卒中后極易發生抑郁癥狀。調查顯示,抑郁不僅會導致患者產生“焦慮、悲觀”等消極情緒,加強身體負性應激及影響治療配合度,另外還會進一步加重疾病癥狀及異常體征,致使患者出現更為顯著的神經及心理功能異常[3]。由此可見,上述兩者可相互促進、互為因果,因此臨床治療中單純使用藥物治療很難消除負性情緒對疾病治療的影響,因此臨床多輔助針對性護理工作。

(24)

根據ds的定義有：

(ds)2=(dx)2+(dy)2+(dz)2

(25)

(26)

(27)

(28)

于是：

(29)

再對歐拉方程組第一式積分得：

y=C1s+C3

(30)

綜合式(28)、(29)、(30)：

(31)

由式(1)，圓柱側面上的短程線是其上的螺旋線。

由式(22)，用弧長s作參數，弧長s與圖1所示xOz面的極坐標θ及r間的關系為s=cscα·r·θ，為推導方便，已設x2+z2=1,(x>0)，即r=1，因此s=cscα·θ,y=cotα·θ。由式(23)第一式，積分常數c1=cosα。由式(28)，特定的取積分常數c2為0，事實上當圓柱螺旋線的起點是z軸時，c2=0。

與式(1)相比，這是圓柱半徑r=1，以xOz面為圓柱底面向y軸延伸的圓柱螺旋線，而式(1)是圓柱半徑為r以xOy面為圓柱底面向z軸延伸的圓柱螺旋線。即式(1)是式(31)的起點在坐標軸的特例。

2.2 圓錐側面上的短程線及螺旋線的展開

圓錐段蒙皮，除0°和90°外，纖維沿圓錐側面上的短程線進行纏繞,如圖2所示。設圓錐面方程為：x2+z2=y2tan2θ,(x>0)，并設在圓錐面上連接A(x0,y0,z0),B(x1,y1,z1)兩點的曲線方程為：

圖2 圓錐面上的短程線

作輔助函數：

(32)

(33)

其歐拉方程組：

(34)

其歐拉方程組化為：

(35)

不易分離變量，難以求出短程線方程的解析解。

設有直角三角形紙片的一個銳角為α，將此紙片卷在一圓柱側面上，使角α的直角邊與圓柱的母線重合，角α的斜邊則在圓柱面上盤旋上升，這樣在圓柱面上就形成一條空間曲線，這條空間曲線就是圓柱螺旋線。上述過程的逆過程，就是將圓柱螺旋線展開，如圖3所示。圓柱面展開其上的圓柱螺旋線是一條直線。能展開的平面，可利用兩點之間線段最短來求解。還可以此驗證等螺旋角及等螺距圓錐螺旋線是否是圓錐面上的短程線。

圖3 圓柱螺旋線的展開

另外三角網格的稱謂對于圓柱結構是指展開后環筋、縱筋和螺旋筋構成三角形，實際結構三個節點間不會象平面三角形一樣穩定。筋條中心線與受力方向夾角越大、曲率越大，越不利于承受對應載荷，即縱筋軸壓承載效率高，環筋外壓承載效率高，單獨軸向直筋承載效率高于螺旋筋。

圓錐側面展開圖如圖4所示。

圖4 圓錐側面展開圖

假設曲線的極坐標方程為：

r=r(Θ)

(36)

利用直角坐標與極坐標的關系；x=rcosΘ，

y=rsinΘ則方程組：x=r(Θ)·cosΘ及y=r(Θ)·sinΘ是曲線的參數方程，其中參數為極角Θ，曲線的切線斜率是:

(37)

根據幾何關系可得出公式：

α=γ-Θ

(38)

(39)

將y′的表達式(37)代入(39)：

(40)

(41)

取y=0為初始點(圖中B點)，此時Θ=0，代入式(41)則：

c=-lnx0

(42)

將式(42)代入式(41)得：

(43)

因此該曲線極坐標方程為：r(Θ)=x0ecotα·Θ，是形如r=aekθ的對數螺旋線。

等螺距圓錐螺旋線在展開平面上的曲線方程為：r=x0Θ[2]，是形如r=aθ的阿基米德螺線。

阿基米德螺線上A1,A2,A3,A4間的距離相等，如圖5所示。

圖5 阿基米德螺線

等螺旋角及等螺距圓錐螺旋線不是圓錐面上的短程線，因為圓錐側面展開之后這兩條曲線分別是對數螺線和阿基米德螺線，不是直線。

由于圓錐側面可展開為扇形，等螺旋角及等螺距圓錐螺旋線在圓錐側面展開之后分別是對數螺線和阿基米德螺線，對于脫模困難而網格尺寸精度要求不高的雙錐等結構，可將錐段陽模展開成平面，平面澆注后，再貼合到芯模上形成錐面螺旋筋槽，應注意阿基米德螺線的加工易于對數螺線。

為便于錐段復合材料網格結構陽模成型裝置的設計生產和纖維纏繞，需要求出對數螺線和阿基米德螺線的弧長和曲率。

對數螺線r(Θ)=x0ecotα·Θ(-∞<Θ<+∞)從矢徑Θ=Θ1到矢徑Θ=Θ2的弧長。

(44)

阿基米德螺線r=x0Θ(-∞<Θ<+∞)從矢徑Θ=Θ1到矢徑Θ=Θ2的弧長。

(45)

對比展開前和展開后可知，Θ=sinβ·θ，

(46)

對數螺線的曲率:

(47)

(48)

(49)

曲率[4]:

(50)

(51)

阿基米德螺線的曲率:

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

利用兩點之間線段最短來求解圓錐側面上的短程線，如圖6所示。設圓錐高為h，圓錐面方程：

x2+y2=(z-h)2tan2β，r=htanβ，A(r,0,0)，B(x0,0,z0)，0

圖6 圓錐面短程線的展開

(57)

(58)

(59)

從而在xOz上線段AB的方程為：

(60)

在線段AB上任取一點N′(x′,z′)，則當展開面重又繞回到錐面上時，其對應點N的坐標設為(x,y,z)，求N點坐標，如圖7所示。

|MN|=|MN′|，∠AMN′=φ=θ·sinβ

[與前述(46)式Θ=sinβ·θ結論相同]

圖7 圓錐面短程線

(61)

-cos(φ+β))

(62)

(63)

∵N′在AB上，

(64)

(65)

(66)

再將式(58) 、(59)中xB，zB帶入，即得到最終解。方程非常煩瑣，不適合用于筋條的纏繞。但蒙皮的纏繞，纖維絲束在張力作用下是沿此方程纏繞的，即圓錐面蒙皮的纏繞其纏繞角度只能是近似按設計規定進行。在半錐角較小的情況下，此偏差影響不大[5]。纏繞時要注意對纖維束起點位置的調整。

另外，錐面短程螺旋線對于平面澆注軟模成型的復合材料網格結構極具應用價值。在澆注陽模的模具上按圖4所示加工與扇形徑向線夾角為α的直線筋槽即可。這將大大降低加工難度，提高加工效率，降低成本。為此計算直線與對數螺線的曲率差，由公式(43)r(Θ)=x0ecotα·Θ，結合工程應用中的小直徑錐段，取α=30°，x0=1244.7。根據公式(50)，θ=0°時，k得最大值為0.0004017，即曲率很小，可用直線代替對數螺線，不影響結構承載。對于大直徑錐段，曲率更小，更接近直線。

3 結論

通過對圓柱、圓錐側面上的螺旋線和短程線的探討，解決了圓柱、圓錐段復合材料網格結構筋條及蒙皮的纏繞問題；得出了圓柱和錐段螺旋線的弧長和曲率計算方法，用于圓柱段和圓錐段復合材料網格結構成型裝置的設計生產和纖維纏繞；得出了對數螺線和阿基米德螺線的弧長和曲率計算方法，用于錐段復合材料網格結構軟模成型裝置的設計生產和纖維纏繞。為復合材料網格結構自動化纏繞生產制造創造了條件。同時針對工程需要，對不同的網格結構選擇不同的加工成型方式，可大大降低加工難度，實現低成本快速批量生產。

[1] 牛春勻.實用飛機復合材料結構設計與制造[M].北京：航空工業出版社，2010:176.

[2] 王連祥,方德植.等.數學手冊[M].北京：人民教育出版社，1979:409，411-412．

[3] 提亞峰，張鐸，董波.C/E復合材料網格纏繞結構一體化設計[J].宇航材料工藝，2010，40(6):33-37.

[4] 同濟大學數學教研室主編.高等數學(第三版，上冊)[M].北京：高等教育出版社，1988:217．

[5] 提亞峰.復合材料網格結構參數調整及優化計算[J].宇航系統工程，2013，3(3):26-34.