費馬大定理和卡塔蘭猜想

費馬大定理和卡塔蘭猜想

段貴軍

（吉林省白石山林業局黃松甸林場監督站，吉林 蛟河 132503）

摘 要：根據數學公式xn-yn建立數列群，然后根據變差數列xn-yn中的因子分布與冪變化規律理論來求解費馬大定理和卡塔蘭猜想。

關鍵詞：費馬大定理 卡塔蘭猜想 數列群 變差數列 等差數列 公差數列 xn數和xn-yn數分布與冪變化規律

中圖分類號：O156.1 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2018）01-0-02

背景：①費馬大定理：當n≥3時， xn+yn=zn中x、y、z必有一個是非整數解。費馬大定理是法國數學家費馬于1637年提出。②除32-23=1外，再沒有兩個連續整數可表示為其它正整數的方冪，此為卡塔蘭猜想（1842年）。

一、簡介xn±yn分解因式數學公式

1、xn-yn的分解因式通用公式：xn-yn=（x-y）（xn-1+ xn-2y +xn-3y2+……+xyn-2 +yn-1），n為整數。舉例如下：

根據以上數列群數表，可以歸納如下：

①當n=1時，數列群有3層。即自然數數列、X1數數列和公差數列，最小公差為1。當x=y+1時，x1數數列和自然數數列完全相同，公差數列為1、2、3……所以，當x和y是整數時，z必然是整數。②當n=2時，數列群有4層。即自然數數列、x2數數列、x2-y2等差數列和公差數列。當x=y+1時，x2-y2數列是自然數奇數集合，所有奇數的平方數皆在里面，最小公差是1×2=2，所以，即x2-y2=z2成立。③當n=3時，數列有5層。即自然數數列、x3數數列、x3-y3數形成的變差數列、等差數列和公差數列，最小公差是1×2×3=6。x=y+2時公差是6×2=12；x=y+3時公差是6×3=18……④當n=4時，數列群有6層。和n=3時一樣，只是多了一個變差數列，最小公差是1×2×3×4=24。X =y+2時公差是48=24×2……⑤當n=5時，數列群有7層。和n=3時一樣，有3個變差數列，最小公差是1×2×3×4×5=120。x=y+2時公差是240=120×2……

…………

數列群數表組成與結構：最上面是自然數x數列和自然數的xn數列，這兩個數列都只有一個；往下是xn-yn數學關系形成的變差數列（n≥3），其層數為f=n-2，個數有無限個，即由x=y+t（t為1、2、3…）所決定，最后兩層是等差數列和公差數列，也都有無限個。數列群總層數有n+2層。最小公差是（1×2×3×4×5×……n）×1，x=y+2公差是（1×2×3×4×5×……n）×2……另外x、y、z要么是全是偶數，要么二奇一偶計兩種形式。公差數列和等差數列都可以形成zn數。

關于數列概念簡介：

數列群組：由有限個或者無限個數列群構成。

數列群：由多個或者無限個具有相同數學關系的數列個體構成。xn數列：x為自然數，n為冪形成的數列。

變差數列：xn-yn=k（n≥3）形成的k值自小到大排列的集合，并且各相鄰項差不相等，但具有內在的數學規律性。因為是遞增的，所以也叫遞增變差數列。它有著自己的一些獨特性質。

等差數列：公差相等的數列。

公差數列：由相同公差組成的數列，如表3中的6 6 6…

三、變差數列中的因子分布和冪變化與費馬大定理

根據公式可知，x-y=t是公共因子，且x-y=t是x-y=1的t倍，所以，當x-y=1時的變差數列是t≥2時變差數列的基礎，所以，本文以x=y+1時的變差數列為研究對象。

xn-yn=k數變化趨勢：當n=1時，x1-y1=k數列直接為公差數列，當n=2時，x2-y2=k數列直接為等差數列，當n為1和2時數列均以勻速增大變化。當n≥3時，xn-yn=k數列為遞增變差數列，其k值數列會快速膨大，當n→∞時，這種變化趨勢越明顯。

xn-yn=k數因子組成：k=AB。A是公共因子，如x-y=3，此因子自始至終恒定不變。B是數列在增大變化過程中產生的變化因子，是變差數列形成膨大變化的原因。A可以是任意自然數，含所有zn數。

因子的周期循環公式：對于任意xn-yn，當x變化到x+p時（p為整數）的變化量用（x+p）n-（y+p）n=（xn-yn）+fpgh來表示（f為常數，g為函數，h為公共因子x-y）。當p=（xn-yn）r時（r是整數），（x+p）n-（y+p）n=（xn-yn）（1+frgh）， xn-yn代表循環周期。如x3-y3=k其計算公式是：設x=y+1，當x變化到x+p時，則列式（x+p）3-（y+p）3= （x3-y3）+3p（x+y+p）×1，當（x3-y3）×q=3p（x+y+p）時 （q為整數），即q=3p（x+y+p）÷（x3-y3），一方面p÷（x3-y3）=1時為一個完整因子分布周期，另一方面（x+y+p）÷（x3-y3）也可以整除，并且其中的p小于x3-y3時為周期內分布。如當x=2和y=1時，p÷（x3-y3）=1時，p=7；而（x+y+p）÷（x3-y3）=（3+p）÷7=1時，p=4，因為4<7，所以，因子7每經過7項重復出現兩次，即第4項和第7項，并且無限周期循環分布下去。如表3中的7，產生后，每向右7項就出現兩次，91=7×13和217=7×31，以后無限循環下去。91也和7一樣，產生后，每向右91項就出現兩次，以后無限循環下去。91中的因子13也是一樣，產生后，每向右13項就出現兩次等等。n與周期分布次數：當n=2時，每周期分布1次；當n=3時，每周期分布2次；當n=4時，每周期分布3次……每周期分布次數為n-1次（根據公式計算得知，有些因子沒有內循環分布，是由素數的節奏特性決定的，如x4-y4中的3每周期只分布1次，這些不影響推斷）。根據公式可知，變化因子與公共因子永遠不可能相等（只有三數現象中公共因子與變化因子才存在直接聯系，這個問題在后面講），只能各自獨立存在。另外，所有因子值≥該因子值最初出現時的項數。

因子冪變化：因子冪也和自然數一樣，在因子周期循環過程中冪緩慢增加，每次只能增加1，區間跨度越來越大，增加過程越來越緩慢。當（x+p）n-（y+p）n=（xn-yn）（1+frgh）代表因子周期循環，其中公共因子獨立存在冪不變化。當（x+p）n-（y+p）n=（xn-yn）（1+frgh）=（xn-yn）mt時（t和m都是整數），t=（xn-yn）（1+frgh）÷（xn-yn）m=（1+frgh）÷（xn-yn）m-1，若t是整數（m≥2），此式則代表因子在周期循環過程中冪的增加過程。根據公式可知，因子冪的增加都是有規律的，在自然數數列上就能反映出來，并且和xn-yn自身有著直接關系，具體舉例說明。如23-13=71，當72產生時是在233-223=1519=72×31，由2到23，跨度21=7×3，當7，3產生時是在1213-1203=43561=73×127，由23到121，跨度98=72×2……因子增大變化越來越落后于數列膨大的變化。最初產生的因子冪是1，特殊情況時可以是2，如x2+y2形成的z2數。根據以上分析，可以確定，數列越向右變化，經過循環次數越多，則xn-yn=k數的因子越來越多，由于項數不斷增多，新產生的奇質數因子越來越大，循環次數越多且值小的的因子的冪增加相比要快些。用式子表示為xn-yn=k=A×B，B→abc……如此可以證明，xn-yn=k向右不可能形成k=zn數，同理，向左也不可能形成zn數，是因為這種數都是從左向右形成的。即整個變差數列中不能形成（xn-yn）1、（xn-yn）2、（xn-yn）3 ……（xn-yn）n系列數。表明任何情況xn-yn數列中不可能存在zn數（n≥3），這是由因子分布與冪變化規律所決定的。之所以會這樣，根據因子分布公式原理可以看出，當n≥3時，xn數與xn-yn數的步調節奏永遠不可能同步。這都是由于所有素數因子的節奏步伐各不相同所致。當x-y一定，隨著x→∞，xn-yn=k數→∞，不存在有恒定整數z的z n數與k相等，尤其是因子冪緩慢增加情況下。也就是任何因子自產生之后向右周期循環出現，而其自身增加量越來越小于新生變化因子增大變化量，由此將永遠不間斷產生新的更大的因子，即使是因子每循環一周冪增加1也不能滿足這種增大變化。如果在不同項上有兩個因子k1、k2，以其最初交匯值k1×k2整體為始點，向右周期循環變化，過程都是一樣的，當因子個數有n個也是如此，只是周期值大，不管因子值有多大，只要是向右，其增大變化都會越來越小于新生變化因子的增大變化，也就不能形成（k1×k2 ×k3×……kn）n系列數。

假設在xn-yn=k中有一個zn數存在，必將有z 、z2 、z4 ……zn系列數存在。又因xn- zn= yn，則也必有y 、z2 、z3 ……yn和x 、x2 、x3 ……xn系列數存在。如有zn數存在，zn數與xn-yn=k數步調節奏相同，這和連續奇數和自然數一樣，必然因連鎖關系形成x1n-y1n= xn、x2n-y2n= x1n、x3n-y3n= x2n……關系式，在xn-yn=k變差數列中會出現∞個這樣的zn系列數，使得絕大部分自然數都加入到zn系列數中，所以從這個方面也可以證明xn-yn數中不可能有zn數存在（n≥3）。

解釋特例，如xn-yn=z2數現象：如設x3-y3=k=A×B，x=y+1，因為A=1，則（x+p）3-（y+p）3= c×d ，假設 B=ab（b>a），當c=b時，化簡后得到d=[a×b+3p（2y+1+p）]÷b，當a=7，b=13，y=5時，d=7+3p（11+p）÷13，由此可知，當p=13和p=2為最小整除商。其中p=2時， x3-y3=z2=132，根據xn-yn=k因子分布及冪增加變化原理可知，這種數只能獨立存在，不可能有另外的13、133、134……13n系列數。再如123-103=728=23×7×13→163-143=1352=23×132，也是一樣的。

綜上所述，費馬大定理成立。

四、卡塔蘭猜想

根據公式xn-1=k分解因式公式建立數列群數表7（x和n為整數）。

卡塔蘭變差數列數表中n≥3部分是由費馬大定理變差數列數表中的無窮個首項組成的，如255= 44-1，63= 43-1等等。此外多了一個x2-1變差數列。

根據前面費馬大定理證明，我們僅需證明兩個問題就可以了。

1. x2-1變差數列中可否有x2-1= ym數？由 x2-1=（x-1）（x+1）可知（其中x≥2）：x=2時，x2-1=1×3=3； x=3時，x2-1=2×4=8=23； x=4時， x2-1= 3×5；x=5時， x2-1=4×6；此后是5×7；6×8；7×9……兩個相差為2的數相乘時，只有x=3時，x2-1=2×4=8=23；再也不可能有第二個，是因x2-1中的1、2、3三數互換組合結構形成的。1是最小單數奇數，2是最小偶數和最小素數，3是最小奇質數。它們的互換結構原理是3-2=1，3+1=22，3-1=21，32-1=23等。其中只有1、2、3，沒有別的數。因此才有32-1=23結果，除此再也不可能找到這種結構的數，是唯一特例。此后出現的x2-ym數皆大于1。

2. n≥3時xn-1=k變差數列中可否有ym數？xn-1變差數列因子循環周期公式：設xn-1=k，當x增加了p時（p為整數），則（x+p）n-1n= （xn-1）+pt，其中當p=（xn-1）時為k因子的一個完整分布周期，當p

綜上所述，只有唯一的32-1=23，其它xn-ym 皆≥2，卡塔蘭猜想成立。

參考文獻

[1]《哥德巴赫與孿生素數猜想》（《新農村》2017年第一期）