少投入與多產出

劉藝聰

摘 要：投入與產出是商人最關心的問題，所有的商人都希望自家能夠以最少的投入獲得最多的回報，這時候就需要運用數學手段去判斷如何能夠獲得盡可能多的利潤。在高中階段我們能夠接觸到的簡單的方法就是不等式組和線性規劃了。本文將簡要介紹這兩種方法并舉出例子。

關鍵詞：投入 產出 不等式組 線性規劃

中圖分類號：G634 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2018）01-0-01

商人追求的就是利潤，以最少的投入達到最多的利潤是做生意中需要考慮的極為重要的問題。實際生活中總是有著各種各樣的限制，獲取利潤就是要在這些限制條件中選擇出合適的方案并執行。如何做到少投入與多產出，這就需要我們羅列限制條件，從中抽取出有用的條件，根據條件建立數學模型，尋求最佳的方案。

一、不等式組的應用

不等關系和相等關系是基本的數學關系，它們在數學研究和數學應用中有著非常重要的地位。實際的生產生活中，許多的條件和限制不是一一對應的相等關系，而是確定了一個范圍的不等關系。投資決策、生產規劃、環境保護、人口控制、交通運輸等等方面的問題，都會利用不等式進行論證和求解。

例題1 某廠生產過程中需要某種配件，可以外購，也可以自己生產。如果外購，配件供應商規定：若購買1000個以下（含1000個）則按每個1.10元計價；若超過1000個，則前1000個按每個1.10元計價，超過部分按每個1.00元計價；如果自己生產，則固定成本需增加800元，另外每生產一個配件的材料費和人工費共需要0.60元。作為決策者，應該怎么選擇方案[1]？

解：設需要該配件個，外購需要的資金為y1元，自己生產需要的資金為y2元。由題意則有

當時，設，即，解得，顯然，當生產的零件數量小于1000件時，外購比較合算。

當是，設，即，解得，即當生產的零件數量大于1750時，自產比較合算。

綜上，當該零件的需求小于1750時，外購較為合算；當該零件的需求大于1750時，自產比較合算；當該零件的需求等于1750時，外購和自產消耗相等，都可以。

解析：本題目比較簡單，實際生活中的問題會擁有更多的條件，但是解決問題的想法和思路與此題目是別無二致的。分段在生活中是很常見的情況，比如分段收費的公交車等，面對分段的情況，需要每段分別計算，并且得出答案的同時思考是否在范圍內，保證答案不會出錯。

二、線性規劃的應用

許多的應用領域，會遇到如何對有限的資源（人力、物力、財力）進行合理的利用，達到最優的效果的問題，這類問題往往可以通過線性規劃的方法得到解決。線性規劃模型可以應用在許多的領域，例如技術問題、國民經濟、軍事領域和管理決策領域，它是一種現代科學管理的重要方法和手段。

線性規劃的研究對象大體分為兩類：

（1）在任務確定后，如何計劃、安排，使用最低限度的人、財、物等資源去實現該目標，追求生產成本、費用最小，即怎么少投入。

（2）在現有的人、財、物等資源的條件下，研究如何合理地計劃、安排，可以使某一目標達到最大，如產量、利潤目標等，即怎么多產出。

線性規劃中研究的問題要求目標與約束條件函數均是線性的，并且只有一個目標函數，在實際的生活中，大量的問題是線性的，有許多是接近線性的，因此線性規劃具有很大的應用價值。

例題2 某公司煉鐵需要兩種鐵礦石A和B，其中A礦石的含鐵率為50%，冶煉每萬噸鐵礦石的CO2的排放量為1萬噸，每萬噸鐵礦石的價格為300萬，B礦石的含鐵率為70%，冶煉每萬噸鐵礦石的CO2的排放量為0.5萬噸，每萬噸鐵礦石的價格為600萬。若至少需要生產1.9萬噸鐵且要求CO2的排放量不超過2萬噸，則購買鐵礦石的費用至少為多少萬元[2]？

解：設鐵礦石A買了x萬噸，鐵礦石B買了y萬噸，購買鐵礦石的費用為z百萬元，則由題設可知，本題目中x，y滿足約束條件

，即，所求為滿足條件時的最小值。

將不等式對應的平面區域，如圖1中的陰影部分所示標注出來。直線，也就是進行平移，當經過P點時，取得最小值。

解方程組，得到P點坐標為（1，2），所以z的最小值為15。即購買鐵礦石的最少費用為15百萬元，即1500萬元。

解析：本題為較為簡單的實際應用類型，即在條件限制的情況下尋求費用最低的問題，主要還是使用了圖解法。

對于只有兩個決策變量的線性規劃問題，圖解法是個非常好的方法，不僅簡單直觀，而且可以非常簡單得了解線性規劃問題求解的基本原理。圖解法求解線性規劃模型分三步：（1）作出可行區域，并求出頂點；（2）作出目標函數的等值線，一般作出通過原點的目標函數等值線，然后將該直線平移并保持與可行解區域有焦點，得到一簇平行線；（3）找出臨界的等值線，得到最優解[3]。

少投入與多產出是一類應用性很強的題目，生活中許許多多的場景是可以套用以上兩種方法來處理的。另外生活中常常有可以運用數學知識解決的實例和場景，只是人們在面臨問題時想不到向數學知識延伸，往往是手中掌握著解決問題的利器而不自知。我們學習知識不僅僅是為了升學，學會運用知識改變自己的生活，也是很有趣的一件事。

參考文獻

[1]任生錄. 高中數學應用性問題——建模單元題組典型（第二版）[M]. 上海：上海大學出版社，2012，38-42.

[2]李春機. 例談2010年高考線性規劃問題，把握線性規劃教學[J]. 新課程（教育學術），2011，（03）：21-22.

[3]上海市中學生數學知識應用競賽組織委員會. 中學數學建模與賽題集錦（第二版）[M]. 上海：復旦大學出版社，2014，105-109.