基于卡爾曼濾波的抗電離層閃爍跟蹤算法研究

夏 俊，周必磊，宋 濤，劉 陽，岳富占

(1. 上海衛星工程研究所，上海 201109； 2. 北京衛星信息工程研究所，北京 100086)

0 引言

星載GPS接收機作為低軌衛星、載人飛船及空間站等低軌航天器的重要測控手段，主要為航天器提供實時定位、授時、定軌服務，其性能對實現航天器任務的高分辨率、高精度、高穩定性和高可靠性等指標要求具有至關重要的影響。低軌航天器多工作在高度低于1 000 km的軌道[1]，電離層閃爍現象較為嚴重，且電離層閃爍與工作頻率有關，在3 GHz頻率以下，電離層閃爍最為嚴重。GPS系統恰好工作在L頻段，故電離層閃爍嚴重影響星載GPS接收機的性能，不僅會降低接收機的環路跟蹤性能，當閃爍特別嚴重時，還會造成接收機的環路失鎖，以致無法定位[2]。故電離層閃爍現象已成為星載GPS接收機亟待解決的難點問題。

文獻[3-4]中提出了閃爍下環路參數的合理設計；文獻[5]中提出了一種采用電文剝離技術提高環路抗電離層閃爍性能的方法；文獻[6]中利用由MITRE建立的電離層閃爍仿真模型，分析對比了采用不同鑒別器的環路抗閃爍性能；文獻[7-9]中分析了鎖頻環(FLL)輔助鎖相環(PLL)跟蹤環路的抗閃爍跟蹤性能。

以上研究結果表明:僅通過環路參數、鑒相器的選擇，傳統PLL環路當電離層閃爍時并不能很好地適應，且以上跟蹤環路具有環路帶寬固定的問題，環路帶寬的選取始終需要在跟蹤魯棒性與跟蹤精度之間做平衡。理論上，采用自適應帶寬環路是抗電離層閃爍的一種有效途徑。本文提出一種基于卡爾曼濾波的抗電離層閃爍跟蹤算法，介紹電離層閃爍理論模型及閃爍數據的生成過程，給出卡爾曼濾波跟蹤環路結構，建立卡爾曼濾波跟蹤模型并加以仿真。

1 電離層閃爍理論模型

1.1 理論模型

AJ-Stanford模型是一種常用的電離層閃爍信號統計模型，它是基于大量實驗數據的統計特性而被提出，用于模擬產生電離層閃爍時信號幅度和相位變化量的時間序列。

AJ-Stanford模型將電離層閃爍信號表示為

E=Aexp(jφ)=A0δAexp[j(φ0+δφ)]

(1)

式中：A0為信號的正常幅度；δA為電離層閃爍影響下的信號幅度變化；φ0為正常信號的載波相位；δφ為閃爍影響時的相位變化。當無電離層閃爍時，δA為1，δφ為0；當電離層閃爍時，δφ與δA會發生隨機起伏變化。電離層閃爍時信號功率(I=A2=I0δI)的變化量δI服從Nakagami-m分布，概率密度函數[10]可表示為

(2)

式中：δI為信號功率變化量；Ω=E(δI)為信號強度均值;1/m為Nakagami-m分布的方差;Γ(m)為Gamma函數。

由電離層閃爍造成的信號幅度衰落強度用S4因子表示(即幅度閃爍因子)，其定義為信號功率變化量的歸一化標準差，即

(3)

m=1/(S4)2

(4)

對于閃爍信號的強度譜具有冪律特征，可以利用冪指數即對數域的斜率來反映閃爍特征。

閃爍信號相位起伏通常服從零均值高斯分布，即

(5)

式中：σ為相位變化的標準差(即相位閃爍因子)。

相位變化在短時間間隔內是強相關的。同時，閃爍信號相位譜也具有冪律特征，觀測到的功率譜密度近似遵循Tf-p的形式，其中譜斜率p的范圍為2.0～3.0，其中T為強度因子(單位為rad2/Hz)。

1.2 閃爍數據生成

總體來說，幅度與相位的變化具有負相關性，即較大的幅度變化對應于較小的相位變化，反之亦然。實驗數據表明:該相關系數約為-0.6。此相關性可通過一個雙變量變化來表示，即

(6)

式中：δI和η分別為兩個獨立的高斯序列，其中δI的方差為σI、均值為Ω，η是均值為0、方差為1的高斯隨機數；ρφI為信號功率變化量與相位變化量的相關系數；相位的變化量δφ可由δI、η、ρφI聯合求解得到。為不將偏差引入δφ，將δI減去均值Ω,等頻譜成型后再將此均值加回即可。

為使產生的數據具有期望時間相關性，即接近于實驗觀測數據的譜形狀，模型使用成型濾波器對時間序列進行濾波。成型濾波器中使用一組級聯的Butterworth濾波器來實現，即

(7)

式中：H(jf)為傳遞函數;f為頻率;mk與ml為濾波器階數;an、bn、c與d為濾波器系數。從式(7)可以看出，此濾波器由一系列帶通濾波器以及一個低通濾波器和一個高通濾波器級聯而成，共同形成了閃爍強度譜和相位譜的形狀。k是一個尺度因子，保證S4和σ在通過此濾波器后，大小不被改變。即k必須滿足

(8)

對于幅度閃爍，整形濾波器的參數可表示為

(9)

AJ-Stanford模型閃爍信號生成過程如圖1所示。

圖1 基于AJ-Stanford模型的電離層閃爍數據生成流程Fig.1 Process of ionospheric scintillation data generation based on AJ-Stanford model

首先由兩個高斯序列發生器基于S4和σ驅動產生兩個高斯序列，然后這兩個高斯序列再通過矩陣變換根據設定的相關系數ρφI作相關運算，相關后的結果經過整形濾波，使譜形狀滿足冪律特征。其中的信號幅度經整形濾波后通過一個Gamma分布適配器，再經平方根操作將高斯分布的信號幅度序列轉化為Nakagami-m分布。幅度變化序列δA乘以正常信號幅度值A0產生最終的信號幅度。同時，將相位起伏序列δφ加在正常的相位上以形成最終的信號相位，最終形成所需要的電離層閃爍信號。

2 卡爾曼濾波跟蹤環路

運用卡爾曼濾波技術跟蹤GPS衛星信號的前提是假設GPS衛星信號參數變化為由一個白噪聲驅動的隨機信號模型。卡爾曼濾波方程分為系統狀態方程和系統觀測方程，系統狀態方程主要完成狀態參量和狀態估計誤差的傳遞，系統觀測方程主要負責從系統觀測量獲取用于修正狀態量的信息，實現信號參數跟蹤，其中狀態模型采用狀態空間法對系統狀態量建模，觀測模型主要提供系統修正所需的信息[11]。

圖2是基于卡爾曼濾波的載波跟蹤環路原理圖，與傳統跟蹤環路不同的是，利用卡爾曼濾波器完成載波相位的跟蹤，本地復現載波NCO(數控振蕩器)頻率更新來自于卡爾曼濾波的處理結果。

圖2 基于卡爾曼濾波的載波跟蹤環路原理圖Fig.2 Diagram of carrier tracking loop based on Kalman filter

2.1 系統狀態方程建立

離散卡爾曼濾波的狀態方程為

Xk=ΦXk-1+Wk-1

(10)

(11)

式中：Qk為系統噪聲Wk的2×2維對稱非負定方差矩陣；δkj為Kronecker-δ函數。

2.2 系統觀測方程建立

離散卡爾曼濾波的觀測方程為

Zk=HXk+Vk

(12)

(13)

式中：Rk為觀測噪聲Vk的1×1維對稱正定方差矩陣。

載波跟蹤環路鑒別器選取為二象限反正切鑒別器，則觀測量大小Zk可表示為

(14)

式中：Qp,k與Ip,k分別為k時刻Q支路與I支路累加值。

2.3 卡爾曼濾波過程

基于狀態轉移方程的狀態向量的一步預測方程為

(15)

基于一步預測方程與觀測方程的狀態濾波方程為

(16)

式中：Kk為濾波增益矩陣，即

Kk=Pk/(k-1)HT(HPk/(k-1)HT+Rk)-1

(17)

為計算濾波增益矩陣Kk，需要計算一步預測誤差的方差陣，表示為

Pk/(k-1)=ΦPk-1ΦT+Qk-1

(18)

相應的估計誤差的方差陣為

Pk=(I-KkH)Pk/(k-1)

(19)

上述的式(15)～(19)即為隨機線性離散系統中卡爾曼濾波算法的5個基本公式。

3 仿真分析

基于Matlab語言數值仿真驗證卡爾曼濾波跟蹤環路抗電離層閃爍的性能。圖3給出了幅度閃爍因子(S4=0.5或0.9,σ=0.1)時基于AJ-Stanford模型生成的閃爍信號。

圖3 采用AJ-Stanford模型當幅度閃爍不同 時生成的電離層閃爍數據Fig.3 Ionospheric scintillation data with different amplitude scintillations based on AJ-Stanford model

以中等幅度閃爍信號(S4=0.5,σ=0.1)為例，統計分析跟蹤結果。卡爾曼濾波環路中，Q矩陣分別設置為[0.01 0; 0 0.1]、[0.01 0; 0 0.1]、[0.01 0; 0 0.01]，對應的R分別設置為10、5與5。

針對中等幅度閃爍，分別統計以上3組不同參數卡爾曼環路鑒相值標準差最大值及載波相位誤差，統計結果如表1所示。

表1 S4=0.5,σ=0.1時不同參數卡爾曼環路跟蹤結果

由表1可知，當中等幅度閃爍，R取5時的環路載波相位誤差大于R取10時的環路載波相位誤差；R取5時，Q22取0.1時的環路載波相位誤差比Q22取0.01時的載波相位誤差稍大。故當發生電離層幅度閃爍時，為降低環路熱噪聲，提高載波相位跟蹤精度，需要減小Q值，增大R值。

圖4給出幅度閃爍不同時不同參數卡爾曼環路與PLL環路鑒相器輸出值的標準差，圖5給出了幅度閃爍不同時卡爾曼環路與PLL環路載波相位誤差。由圖4可知，幅度閃爍不同時，3組不同參數卡爾曼環路鑒相值標準差基本相當，卡爾曼環路在幅度閃爍時的鑒相值標準差比PLL環路小，當環路穩定跟蹤時卡爾曼環路具有比PLL環路更小的等效帶寬，跟蹤魯棒性要優于PLL環路。由圖5可知，卡爾曼環路在幅度閃爍時的載波相位誤差同樣比PLL環路小。故當幅度閃爍時，卡爾曼環路的跟蹤精度要明顯優于PLL環路。

圖4 幅度閃爍不同時卡爾曼環路與PLL環路鑒相值標準差Fig.4 Standard deviation of discriminator output of Kalman and PLL loops with different amplitude scintillations

圖5 幅度閃爍不同時卡爾曼環路與PLL環路載波相位誤差Fig.5 Carrier phase error of Kalman and PLL loops with different amplitude scintillations

4 結束語

針對電離層閃爍可引起星載GPS接收機傳統PLL跟蹤環路測量誤差增大從而降低接收機定位及測速精度的問題，提出了一種卡爾曼濾波環路抗電離層閃爍算法。仿真結果表明：幅度閃爍時，為提高載波相位跟蹤精度，需要減小Q值，增大R值；且與傳統的PLL環路相比，卡爾曼濾波算法跟蹤魯棒性與跟蹤精度明顯優于PLL環路。但由于卡爾曼濾波算法是一系列的矩陣運算，計算量較大，針對未來的工程應用，需要重點解決卡爾曼環路在星上資源受限時的算法優化實現問題。

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