一種基于SGCMG的欠驅動姿態控制方法

劉美師,吳敬玉,王文妍,楊盛慶,謝任遠

(上海航天控制技術研究所，上海 201109)

0 引言

隨著衛星趨于大型化發展，控制力矩陀螺(CMG)因其具有輸出力矩大、控制效率高等優點常被選為執行機構。若衛星的控制系統中只剩兩個單框架控制力矩陀螺(SGCMG)可以使用，則控制系統輸入維數少于輸出維數，稱為欠驅動姿態控制[1]。欠驅動衛星的姿態控制系統處于一種非完整配置狀態，是一種不可積分約束的非線性系統[2]。欠驅動姿態控制可以在衛星的部分執行機構失效時維持基本姿態，還能減輕整個控制系統的功耗、質量、體積。傳統的線性控制方法及現代控制理論不能直接應用于欠驅動衛星的姿態控制問題。

欠驅動控制主要有四類，分別為間斷反饋控制、時變穩定控制、混合控制、最優控制。反饋控制通過進行非奇異坐標變換來解決非線性問題，主要應用于原系統可以實現狀態反饋的情況；時變穩定控制法通過參數在一定范圍內變化來實現控制系統的收斂，應用于系統參數實時可測的情況；混合控制法結合多種線性控制，通過控制器的切換來實現對穩健性要求不高的系統的控制；最優控制法通過構建一個特定的性能指標，對這個指標求極值來求解控制器，主要應用于非線性較弱的系統[3-7]。而欠驅動衛星姿態穩定控制主要有兩大類，即間斷定系數狀態反饋控制和連續時變狀態反饋控制[8-9]。國內外對CMG的研究主要針對CMG的奇異問題，集中在操縱律設計上[10-13]。關于欠驅動衛星最早的理論研究可以追溯到1984年，Crouch等基于微分幾何理論分別針對剛體衛星在有一、二、三個獨立控制輸入力矩的情況下，給出了衛星能控的充要條件[14]。并證明如果欠驅動衛星是非軸對稱的，則衛星在平衡點都是局部能控的。對于欠驅動衛星要實現其在兩個給定姿態之間進行機動，通常有兩種方式：基于最優控制策略的軌跡規劃算法或基于衛星特殊特性(微分平滑、微分包含等)的軌跡規劃算法[15]。

針對欠驅動衛星的姿態控制問題，在失控軸方向上無對應的執行機構提供控制力矩，只能通過其余兩軸上執行機構的耦合影響來實現控制，因此較難處理的就是失控軸角速度分量對衛星姿態的影響。SGCMG只能提供單自由度的控制力矩，通常構成一定構型如五棱錐構型、金字塔構型、雙平行構型等。前人對SGCMG的研究集中在組成特定構型后如何避免奇異問題，而未考慮只剩兩個SGCMG可用的欠驅動控制情況。戈新生[16]以兩個飛輪為執行機構，并在整星零動量條件下通過最優控制方法和Ritz近似理論，得到以兩個動量飛輪為執行機構的欠驅動控制律。SGCMG較飛輪有更強的控制力矩輸出能力，能實現對更惡劣工況的控制，但需要增加操縱律設計來解決SGCMG帶來的奇異問題。本文通過欠驅動衛星姿態穩定控制律和SGCMG操縱律的設計，實現了使用SGCMG的欠驅動控制。其中控制律決定如何用兩維控制力矩控制三軸姿態，操縱律決定如何用兩個SGCMG提供兩維控制力矩。

1 數學模型的建立

假設研究對象為剛體衛星，由歐拉方程導出姿態動力學方程，并建立用四元數描述的姿態運動學方程。

1.1 衛星姿態動力學模型

定義衛星本體坐標系的三個軸，分別沿其主慣量軸方向。剛體衛星旋轉運動方程為

(1)

(2)

定義中間變量

(3)

則動力學方程可以簡化為

(4)

式(4)為z軸欠驅動時衛星的姿態動力學模型，其中u1和u2為控制器的輸入變量，c3為常數。

1.2 衛星姿態動力學模型

設q是把參考系轉動到星體系時對應的轉動四元數，則衛星運動學方程為

(5)

四元數運動學方程不涉及三角函數，無奇點，且滿足歸一化約束條件。

2 控制器設計

根據系統動力學和運動學方程，首先設計一個能實現姿態動力學系統穩定的控制律，將衛星的角速度控制為零，使失控軸的角速度不會對姿態角產生影響；然后在失控軸的角速度分量已經收斂到零后，采用反步法對姿態角控制律進行設計；最后由SGCMG力矩方程導出兩個SGCMG的操縱律。結合姿態穩定控制律和SGCMG操縱律，能夠實現欠驅動衛星姿態穩定控制。

2.1 角速度控制律

為了剝離ωx和ωy對ωz的耦合影響，對動力學方程(4)中的第三式求導,可得到失控軸角速度分量的二階導數

(6)

(7)

結合式(4)、(6)、(7)求出控制律形式如下

(8)

式中：k1d，k1p為控制器參數；ε為一個用于避免奇異的小參數。

2.2 姿態角控制律

反步法的核心在于設計合適的中間控制律，控制系統實現三軸角速度的穩定后，反步法設計出的控制器只需實現四元數的收斂，這個控制器作用過程中角速度的變化直接決定四元數的變化，因此要設計一個合適的角速度中間控制律。

假設在角速度中間控制律的作用下姿態四元數q1、q2的目標收斂形式為

(9)

代入姿態運動學方程(5)中可解得角速度中間控制律為

式中：k>0為控制器參數；E2和H為參數矩陣

(11)

欠驅動軸角速度ωz是一個接近于零的小量，對式(9)進行修正，并引入耦合參數β，有

(12)

則角速度中間控制律式(10)調整為

由式(12)可知在ωz為小量的前提下，如果β收斂到零，則q1和q2收斂到零。令q3的收斂形式為

(14)

q3的收斂通過調節參數β的大小來實現。結合運動學方程(5)、角速度中間控制律式(13)和q3收斂形式式(14)可以求出包含耦合項的參數

(15)

式中：k3>0為反步法控制器的參數；e2>0是一個充分小的正數，可以使控制參數不會進入奇異。參數β跟隨ωz的變化進行收斂，q3也收斂。選擇合適的參數，可以使q3迅速收斂。在角速度跟蹤誤差消除之后，衛星的角速度能跟隨所設計的角速度中間控制律的變化而變化。參數β保持單調變化，且最終收斂到零。

2.3 SGCMG操縱律

SGCMG操縱律是指根據控制器產生的指令力矩，解算出相應的框架轉動指令，驅動電機使各個SGCMG的框架軸轉動，使得SGCMGs的總角動量發生改變，從而提供需要的控制力矩。理想情況下操縱律可以使SGCMGs的輸出力矩和控制器產生的指令要求的控制力矩大小相等。

(16)

式中hw為單個SGCMG角動量大小。對式(16)兩端進行求導，得

(17)

(18)

由式(18)可得操縱律，即SGCMGs的框架角速度為

(19)

3 仿真結果與分析

圖1 控制器輸入Fig.1 Input of the controller

圖2 控制力矩Fig.2 Controlling torque

從圖1、圖2可以看出，控制量和控制力矩都是一個小量。從圖3可以看出，SGCMG框架角速度和轉動的框架角也保持在初值的一個小的鄰域內。從圖4可以看出，在狀態反饋非線性控制器的作用下，在仿真時間780 s后欠驅動衛星角速度收斂到零。

圖3 SGCMG框架角速度Fig.3 Angular velocity of the SGCMG

圖4 星體角速度Fig.4 Angular velocity of the satellite

圖5 反步控制器作用下的控制力矩Fig.5 Controlling torque under with the back-stepping controller

圖6 反步控制器作用下的角速度中間控制律Fig.6 Angular velocity controlling law with the back-stepping controller

圖7 反步控制器作用下的姿態四元數Fig.7 Attitude quaternion with the back-stepping controller

圖8 反步控制器作用下的SGCMG框架角速度Fig.8 Angular velocity of the SGCMG with the back-stepping controller

4 結束語

針對基于SGCMGs的欠驅動衛星，首先建立剛體衛星姿態控制系統的數學模型；根據動力學方程設計狀態反饋控制器；根據運動學方程設計反步法控制器；再結合SGCMGs的操縱律實現欠驅動姿態控制。所提出的結合反步法控制器和SGCMGs操縱律的方法避免了使用SGCMGs控制過程中的奇異問題，實現欠驅動衛星的姿態穩定控制。本文設計的角速度中間控制律要求先將失控軸的角速度控制到零后再進行下一步控制，對控制過程中的誤差信號無法有效抑制，故控制器魯棒性和實時性較差。后續對于存在干擾力矩、非零慣量積等情況，需要進一步設計魯棒控制器。反步法設計過程中中間控制律的具體形式對控制效果影響較大，后續可以對不同形式的中間控制律進行研究。文中只研究了SGCMGs平行安裝時的姿態控制，對于如何提高SGCMGs的角動量利用率，以及非平行構型SGCMGs情況下的操縱律設計，也可以進行深入研究。

[1] 胡兵, 戈新生. 欠驅動衛星姿態穩定的非線性控制[J]. 北京機械工業學院學報, 2009, 24(1): 12-16.

[2] 莊宇飛. 帶有非完整約束的欠驅動衛星控制方法研究[D]. 哈爾濱： 哈爾濱工業大學, 2012: 2-14

[3] 金磊, 徐世杰. 帶有兩個飛輪的欠驅動衛星姿態穩定控制研究[J]. 中國空間科學技術, 2009, 29(2): 8-16.

[4] POPESCU M, DUMITRACHE A. Stabilization of feedback control and stabilizability optimal solution for nonlinear quadratic problems[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2011, 16: 2319-2327.

[5] 牛瑞艷, 許午嘯, 劉金琨. 欠驅動機械臂滑模控制與實驗研究[J]. 儀器儀表學報, 2016, 37(2): 348-355.

[6] 劉海穎, 王惠南, 陳志明, 等. 基于(w,z)參數化的欠驅動微小衛星姿態再定位控制[J]. 動力學與控制學報, 2008, 6(1): 14-18.

[7] 劉楊, 郭晨, 沈智鵬, 等. 欠驅動船舶路徑跟蹤的神經網絡穩定自適應控制[J]. 控制理論與應用, 2010, 27(2): 169-174.

[8] BROCKETT R W. Asymptotic stability and feedback stabilization[M]. Boston: Differential Geometric Control Theory, 1983: 181-191.

[9] XU R, ?zgüner ü. Sliding mode control of a class of underactuated systems[J]. Automatica, 2008, 44(1): 233-241.

[10] 張志方, 董文強, 張錦江, 等. 控制力矩陀螺在天宮一號目標飛行器姿態控制上的應用[J]. 空間控制技術與應用, 2011, 37(6): 52-59.

[11] 賈飛蕾, 徐偉, 李恒年. 采用變速控制力矩陀螺的航天器姿態跟蹤研究[J]. 空間科學學報, 2012, 32(1): 106-112.

[12] KWON S, OKUBO H, SHIMOMURA T. Pointing control of spacecraft using two single-gimbal control moment gyros[R]. Proceedings of the 27th International Symposium on Space Technology and Science, 2009: 47-51.

[13] 何昱. 基于單框控制力矩陀螺的敏捷小衛星姿態機動控制研究[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業大學, 2011: 1-11.

[14] CROUEH P E. Satellite attitude control and stabilization: Application of geometric control theory to rigid body models[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1984, 29(4): 87-95.

[15] TSIOTEAS P, LUO J. Control of underactuated spacecraft with bounded inputs[J]. Automatica, 2000, 36(8): 1153-1169.

[16] 戈新生. 欠驅動剛體衛星姿態運動規劃遺傳算法[J]. 動力學與控制學報, 2004, 2(2): 53-57.