一種基于拋物線預測去卷疊的LFM參數估計方法

劉 康，陳 政

（昆明理工大學信息工程與自動化學院，云南 昆明 650504）

0 引言

線性調頻信號因其具有大時寬、帶寬積、距離分辨率高、低峰值功率等優良特性而廣泛應用于通信、雷達、地震勘探等領域，其頻率特征的提取是估計參數最重要的問題之一，也是相關領域重要的研究內容。

作為最常用的非平穩信號之一，在一些情況下，對于LFM信號頻率特性的快速、精確估計顯得尤為重要，傳統具有代表性的估計方法有：各種基于最大似然估計的算法，該類算法估計精度高，但運算量大，不利于工程上的快速實現[1-3]；一些以短時傅里葉變換（STFT）、分數階傅里葉變換（FrFT）為代表的時頻分析方法[4-8]充分利用了 LFM 信號的時頻聚集特性，也可用于該信號的參數估計，但需復雜的搜索和計算，同樣有待研究改進。總的來說，提出一種不需要參數搜索的快速、精確的線性調頻信號參數估計方法具有重要的現實意義，本文基于文獻[9]中提及的使用希爾伯特變換提取出的瞬時相位會產生卷疊的問題[9]，提出了一種新的去卷疊方法，新方法具有計算簡單、易于實現、能真實還原相位的特點。

1 LFM信號瞬時相位及頻率分析

不失一般性，假設接收到的線性調頻實信號表達式為：

其中：1f為調頻率，0f為起始頻率，0φ為初始相位，這里1f和0f為待估參數，由（1）式可知，LFM信號的瞬時相位可表達為：

由（2）式可知，LFM信號的瞬時相位為時間t的二次函數，因此只要提取信號的瞬時相位，再對提取的瞬時相位利用二次多項式 y = a x2+ b x + c 進行擬合，根據擬合獲得的二次式系數與參數 f1和 f0的對應關系，即可得到參數估計值。

對式（1）表達的信號進行希爾伯特變換，并將信號表示為解析信號的形式：

其實部、虛部分別表達為：

瞬時相位表達式為：

利用希爾伯特變換構建解析信號，然后計算（6）式的反正切函數值即可得到瞬時相位。

2 拋物線預測去卷疊算法原理

通過反正切函數計算出的相位值域在/π-2~/2π之間，按模π計算相位序列會使相位發生卷疊，因此需對得到的相位進行去卷疊，此時引入拋物線預測矩陣[10]：

考慮一個形式為二次多項式的信號：

其無偏估計可以由下式表示：

其中 hl（ i）是受高斯白噪聲影響的系數，在沒有噪聲影響的情況下x?( n ) = x( n)，若各系數中的噪聲統計獨立，那么噪聲的功率為：

各項約束條件為：

為使噪聲的功率最小，使用拉格朗日乘子法，可得拉格朗日方程：

其中jλ可由下面的矩陣方程解得：

K=3 時，系數 h（1）=3，h（2）=-3，h（3）=1，即： x ( n ) = 3 x( n - 3 )- 3 x( n - 2 ) + x ( n - 1 )寫成矩陣形式： F = [ 3 - 3 1]. 得到預測系數矩陣后，即可根據前三個相位值預測下一個相位，然后將預測相位和反正切值進行比較、修正，即可還原真實相位，達到去卷疊的目的。

使用多項式最優系數陣可以對瞬時相位進行去卷疊處理，處理后的瞬時相位仍會存在部分異常點，本文使用最小二乘對瞬時相位序列進行擬合，減少異常點對參數估計精度的影響，同時根據得到的瞬時相位使用高階差分計算瞬時頻率[11]，可以降低噪聲的影響。

3 算法仿真

本節通過仿真實驗來驗證本文算法的參數估計性能。選用的LFM信號為 u ( t) = c os(10 t + 2 0 t2)，采樣頻率f s =1 kHz，采樣點數N =1 024點，噪聲為加性高斯白噪聲，信噪比 15 dB，文獻[8]中利用希爾伯特變換提取的未進行去卷疊處理的瞬時相位如圖（1）所示。

使用本文拋物線預測去卷疊方法處理后得到的真實相位如圖2所示。

瞬時相位、瞬時頻率擬合得到參數估計結果如表（1）所示，初始頻率真值為10 rad/s，參數估計結果為10.1288 rad/s，調頻斜率真值為40 rad/s^2，參數估計結果為 39.9024 rad/s^2。證明本文方法能有效用于LFM信號參數估計中的相位卷疊問題。

圖1 未進行去卷疊處理的瞬時相位Fig.1 The phase without Unwrapping

圖2 拋物線預測去卷疊后的瞬時相位Fig.2 The phase by using the Parabola Prediction

表1 參數估計結果Tab.1 results of parameters estimation

4 結束語

傳統的線性調頻信號參數估計算法往往需要大量的搜索和計算，這給參數估計帶來了困難。本文基于文獻[9]中在提取瞬時相位的過程會發生相位卷疊的問題提出了一種新的去卷疊方法，并簡述了算法原理，以及仿真分析。新方法具有計算簡單、易于實現、能真實還原相位的特點，仿真實驗說明了本文算法的有效性。

[1] Peter O’Shea. A Fast Algorithm for Estimating the Parameters of a Quadratic FM Signal[J]. IEEE Transactions On Signal Processing, 2004, 52(2): 385-393.

[2] Abatzoglou T. Fast Maximum Likelihood Joint Estimation of Frequency and Frequency Rate[J]. IEEE Trans on AES, 1986,22(6): 708-715.

[3] Liang R M, Arun K S. Parameter Estimation for Superimposed Chirp Signals[C]// IEEE International Conference on ASSP, San Francisco, CA: [s.n.], 1992: 273-276.

[4] 齊林, 陶然, 周思永, 等. 基于分數階Fourier變換的多分量LFM信號的檢測和參數估計[J]. 中國科學(E), 2003,33(8): 749-759.QI L, TAO R, ZHOU S Y, et al. Detection and Parameter Estimation for The Multi-Component LFM Signal Based on Fractional Fourier Transform[J]. SCIENCE CHINA (E),2003, 33(8): 749-759.

[5] 張希會. 線性調頻波檢測與估計的簡化探討[D]. 電子科技大學, 2007. 1-3.ZHANG X H. A simplified approach to the detection and estimation of LFM waves[D]. University of Electronic Science and Technology of China, 2007. 1-3.

[6] 袁振濤, 胡衛東, 郁文賢. 用FrFT插值實現LFM信號的參數估計[J]. 信號處理, 2009, 25(11): 1726-1731.YUAN ZH T, HU W D, YU W X. Parameter Estimation of LFM Signals Using FrFT Interpolation[J]. SIGNAL PROCESSING, 2009, 25(11): 1726-1731.

[7] Roshen J, Tessamma Thomas. Applications of Fractional Fourier Transform in Sonar Signal Processing[J]. IETE Journal of Research, 2009, 55(1): 16-26.

[8] 陳蓉, 汪一鳴. 一種新的基于分數階Fourier變換的線性調頻信號的參數估計方法[J]. 新型工業化, 2011, 1(2): 84-92.CHEN R, WANG Y M. A Novel Parameter Estimation Method of LFM Signals Based on Fractional Fourier Transform[J]. New Industrialization Straregy, 2011, 1(2): 84-92.

[9] 張西托, 饒偉, 黃信榮, 陳珊珊. LFM信號參數估計算法研究[J]. 雷達科學與技術, 2009, 7(03): 219-221.ZHANG X T, RAO W, HUANG X R, CHEN SH SH. Algorithm Research for Parameter Estimation of LFM Signals[J].Radar Science and Technology, 2009, 7(03): 219-221.

[10] P. Heinonen, Y. Neuvo. FIR-median hybrid filters with predictive FIR substructures. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1988, 36(6): 892-899.

[11] 張春杰, 郜麗鵬, 司錫才. 瞬時相位法線性調頻信號瞬時頻率提取技術研究[J]. 彈箭與制導學報, 2006, 26(3):290-292.ZHANG CH J, G L P, S X C. Research on Distilling Instant Frequency of LFM Signals Based on Phase[J]. Journal of Projectiles, Rockets, Missiles and Guidance, 2006, 26(3):290-292.