小學數學教學的“通”與“聯”

/ 江蘇省蘇州市敬文實驗小學校長

小學數學是研究數量關系和空間形式的一門科學，承擔著諸如培養學生抽象、模型、推理、直觀想象、數據分析、運算能力等數學特質的關鍵能力和思維品質。自2017年3月起，我校數學組以蘇州市教科院規劃課題“‘通聯’視角下學科課堂教學的實踐與研究”為抓手，以“融通”“聯結”“整合”為著力點，以發展學生核心素養為目標，努力探索具有校本特色的數學教學方式。

融通：學科內的有意義學習

鞏固學科根基，回歸扎實的學科教學是跨學科整合的前提與依托。高度關注數學知識內部的系統性和整體性，充分挖掘知識背后承載的工具價值、認知價值和文化價值，以教師有意識地呈現與組織、示范與引領來幫助獲得“數、形、意、理、情”的融通，是學科內有意義學習的關鍵。

凸顯核心內容。所謂數學核心內容，是指能構成數學學科基本框架，并足以能夠組織與解釋大量的數量關系和空間形式，有較強遷移和思維訓練價值的內容。核心內容是開展有意義學習的切入點和載體。例如，小學階段計算的學習占了很大的比重。以加減法為例，它涉及整數、小數、分數加減法。雖然這些知識點分布在不同的學段，也不要求同時完成，但這些內容在教學中的核心應該把握為兩點：一是位值原則，即同樣的數在不同的數位上表示的大小是不一樣的；二是相同計數單位才能相加減。如果教師在教學中能抓住這兩個內核，學生關于計算技能的學習體驗必然指向集中，不拘泥于學期、單元、課時的進程安排，學習過程也就會刪繁就簡，對算理的理解也會高度概括，個體的學習經驗也將與教學的目標緊密貼合在一起，形成有意義的融合。

發展理性思維。抽象、推理、建模是數學最基本的思維方式。在教學中，教師要站在學生認知心理的角度，從數學知識本質屬性出發，幫助學生聯結自身經驗，主動思考前因后果，主動體會由此及彼的過程，主動尋求證據支持，從而幫助學生養成思考有序、推理有據的思維習慣，使數學學習的深入在思考習慣和思維方式上加以保障，從而為理性思維成為人的基本素養打下堅實的基礎。例如，五年級“用字母表示數”單元，其中有一節課是講諸如“3a+4a”的化簡問題，有些老師覺得很容易理解，跳開新授環節一下子進入練習，但從孩子的作業情況看，將“4x+3誤化簡為7x”，或者不能發現“4x+3x”可以化簡的學生大有人在。究其原因，不得不說是沒有從源頭上將“化簡”這個行為與“乘法分配律”這個原理建立起聯系，學生沒有經歷“推理”的思考過程和“說理”的表達過程，也就很難實現“悟理”的學習目標。如果老師在教學時能將這個過程充分展開，并輔以圖示，學生就有了數與形、直觀與抽象兩方面的支持，理解起來就容易了。所以，“理”是數學的根基，是知識由薄到厚，再由厚到薄的建構依據。同時，在這個“明理”的過程中，這些重要的數學思想也在引導著學生的科學精神和審美情操，學生學習的優秀品質也在潛移默化中得到發展。

催生經驗意識。有意義的學習本身就是一種知識與經驗的有機統整過程。這種統整是學生主動轉化與融合的結果，因此，需要教師以激發學生的學習興趣與動機為第一要義，創設真實的生活（問題）情境，提供典型的研究素材，關注學生多重體驗，促進情智同步發展。以五年級小數除以小數的教學為例，蘇教版安排在小數乘小數之后，讓學生先體驗用積的變化規律嘗試解決小數乘法的問題，讓學生理解小數乘小數可以先將小數轉化為整數算出積，然后再根據積的變化規律在積里點上小數點的方法，體驗“轉化”這一數學思想在具體計算中的作用，最后老師啟發學生根據類似的經驗去合理猜想，引出利用商不變的規律可以計算除數是小數的除法。這樣的設計，既體現了前后知識學習的關聯，更使學生計算方面的經驗與策略得到了融通，數學“轉化”的思想方法也在此過程中得到較為充分的體驗和感悟。所以，有意義的數學學習，必然是能夠促進學生的學習態度、思維習慣、思考經驗和思維策略等方面的發展，讓每個學生面對新的情境都能做出適當的回應。

聯結：學科間的同主題學習

對于小學生而言，年齡和認知水平正處于起步階段，所學習的內容也是每個學科最基礎、最根本的東西，因此，在沒有必備知識與能力儲備的前提下盲目進行跨學科學習是不理智的。我們認為，小學階段數學與其他學科間的整合，首先應體現在同主題聯結性學習，重在利用學科間共同的內容主題，以平行或提升的方式促進對所學知識、概念的全方位理解，幫助學生形成主動聯結的思維習慣，以此作為跨學科學習的基石。

梳理相關主題。經過對部分學科教材的梳理，我們發現，同樣的知識點不同學科在教學目標上有完全一致、部分交叉和不一致三種情況。部分學科內容的關聯與重疊帶來了重組優化教學素材的空間。如，三年級的勞技課制作“巧板”與二年級的數學課“七巧板”，既有重疊，又有延伸、豐富和拓展。同時，我們也發現，同樣的教學內容在學段要求上有不一致，時間安排上有不同步的現象，例如，科學課在一年級就讓學生感知長度單位，但數學課卻安排在二年級。類似這樣的情況往往會造成學生的重復學習或知識斷層，不利于完成認知結構的建立，而這正是需要通過對不同學科相關內容的梳理、修正與完善的。

分類確立目標。在以聯結為特征的學科間同主題教學時，教學目標的確定是非常重要的環節。學科橫向聯結應關注“序”的統一，縱向聯結則關注“度”的把握。以數學與科學的聯結性學習為例，我們通過跨學科聯合教研，首先找到了這兩門學科在內容上的三大重疊領域——量與計量、空間與圖形、統計與概率，以及所涉及的 “長度、溫度、時間、位置與方向、觀察物體、體積（容積）、形狀與結構、統計圖、統計表”等9大相關的學習主題；同時，對這些內容在教學目標、進度上的安排也做了比對。在此基礎上，進行分類并做了合理的目標設定。然后對于學科目標一致性的知識點，以“優化內容，確立合適的教學梯度”為聯結要點；對于學科目標交叉性的知識點，以“分析異同，形成不同的生長方向”為聯結要點；對學科目標不一致性知識點，以“尋找缺口，填補內容的中間地帶”為聯結要點。例如，對于“時間”這一主題的學習，兩門學科都關注時間單位的體驗，但數學課更強調不同時間單位之間的關系以及在生活的合理運用，而科學課則突出測量時間的工具的形成與發展，科學課學習的重點恰好能彌補數學課由于教學時間有限所導致的對數學文化感悟的一種缺失，將兩個學科的內容聯結重組，合理安排課時，學生對“時間”的體驗就非常豐滿了。

促進完整建構。上述學習過程，相關知識的教學不是簡單的疊加與混合，而是在教師的精心組織下有序的呈現，在學生主動的學習中有效的建構，學科的界限變得模糊，知識向四面八方打開，且迅速以結構化的方式重新組合。例如，六年級學生學習反比例應用問題：在相同的條件下，毛細管直徑x與水上升的高度y成反比例，xy=k。有學生受到啟發，聯想到科學課上曾經學過用兩片玻璃夾一些紅墨水研究毛細現象，隨著玻璃片越緊，縫隙越小，紅墨水爬升越高，紅色墨水攀升的軌跡透過玻璃片形成了一條美妙的曲線，恰好呈現了小學數學中反比例函數的圖像，完美地實現了學科知識的聯結。在這樣的課堂里，知識不是以碎片化的點狀出現，而是以知識鏈、知識網的形式呈現，學生借助于不同情境整理知識點之間的邏輯關系、層級關系的過程，便是一種整體學習和系統思考。更重要的是，在以聯結的方式學習的同時，學生以往在不同學科學習中獲得的經驗、方法、策略、思想都能得到有效的類比和遷移，這樣的學習過程更容易讓學生找到解決問題的切入口，體驗到成功的快樂，從而更愿意去迎接復雜情境下具有挑戰性的問題，形成積極的學習心向。

整合：跨學科的拓展性學習

圓周率是一個大家熟知的無限不循環小數，有音樂愛好者將每一個數字固定成一個音符，譜寫出超神秘的鋼琴曲《song of π》，曲譜可由不同的節拍演繹成抒情與激昂的多種變化的版本。數學與音樂的結合給毫無規律的數字賦予了美妙的節拍和韻律，枯燥的數字因動人的旋律而變得靈動起來，數字由“看見”變成“聽見”。可見，整合學習使不同學科之間能互相產生靈感，學習變為一個有趣的探索，以往刻板的數字符號有了多元的表達，數學之美躍然紙上，這不得不說是整合成就了意想不到的精彩。

精選研究主題。在具體的實踐中，如何確定適當的整合主題需要師生共同關注，正所謂教什么比怎樣教更重要。好的研究主題超越了單一的數學知識，能激發學生主動綜合多個學科學習的經驗，從整體上生成無限的創意。所以，跨學科學習主題一定是既有意思又有意義的。“有意思”是體現在它能以一種嶄新的姿態呈現在學生面前，以真實有趣的情境或貼合生活的現實問題引起學生好奇和探索的欲望，并隨著思考的深入會越來越被其豐富的內涵深深吸引；“有意義”是指研究內容不僅指向知識技能的跨學科，更能通過題材的組合變化呈現出更豐富的學習內涵，有利于有高階思維的參與和智慧的生成，使學習真正發生。

培育問題意識。跨學科拓展性學習中的主題從何而來呢？一方面，可以由各學科教師協同設計，但更應該來自于學生。我們認為，學習者感興趣和關注的焦點可以生成有價值的問題，這些問題往往是獨特而有新意的，這才是跨學科拓展性學習中的內核。例如，學生在學習“軸對稱圖形”后發現，圖形中有對稱現象，音樂中的旋律也有，更有學生發現語文中的一些詞語短句甚至是詩歌也有類似的特征。于是，“對稱”成了學生關注的焦點。課堂上，學生搜索和分享有關“對稱”的各種表達，由對稱的數字、漢字、圖形入手，逐漸拓展到回文詩、回文句、回文數，進而發現他們之間的規律，并在此基礎上自由地創作。這樣的學習活動，學生不僅能感悟到不同事物之間神奇的聯系，更感受到文學之美、藝術之美的數學表達。

從上面的例子可以看出，主動的問題意識，能幫助學生尋找到學科間的聯系，發現自己所感興趣的領域，并迅速進入問題情境，自覺尋求信息所提供的條件和關聯，從而以積極的狀態調用多學科的知識技能和個性學習經驗，生成新的體驗，建構新的知識，實現新的遷移和創造。

體驗重于結果。跨學科的拓展性學習以更廣闊、更全景的視角進入學生的真實生活，自覺地運用已有的數學經驗，參與較復雜的問題解決。在真實的問題或生活情境中，學生的許多感受、思考、想法會伴隨著信息的呈現、活動的進展、實驗的成敗等接踵而至，個體與同伴的合作、對話與交流又會催生許多新的思考與想法，活動中產生的感悟和體驗為進一步豐富、修整、完善學習者的知識結構提供了真實和鮮活的原料，解決問題的策略與能力也在此過程中得到提升，這個過程變得十分有意義。此時，學生對抽象的數量關系和空間形式的理解已經有了跨領域的詮釋，數學的學習意義也因豐富的跨學科背景而更具生命的活力和文化的意蘊。因此帶來的對跨學科拓展性學習的評價，就不能只關注學習結果，還要關注學生在學習過程中的興趣、動機、情感、意識的綜合表現，只有喚醒兒童學習的內在自覺，保持他們的敏銳之心，進而打開思維之門，才能使兒童在將學科知識融會貫通的同時，個體學習的知、情、意、行也得到高度融合。這是核心素養提升的根本內驅力。