初中幾何證明的典型錯誤及其應對策略

□海南省東方市八所中學 吳東翔

初中平面幾何的學習是幾何學的入門學習。若學生掌握該學科的學習方法,則會激發他們對數學學科的學習興趣。因此培養學生自覺、主動地探求平面幾何的解題問題，不僅是鑄造學生優質的思維品格的基礎、是培養學生嚴密的邏輯推理能力的有效途徑，也決定著學生往后能否向更廣更深的領域學習，關系著學生的成長發展。為了讓學生的數學基礎牢固，提升他們的邏輯推理能力，在幾年的教學中，我觀察到了學生在學習初中幾何的種種情況。如，平面幾何學習中幾何證明是學生的痛點，幾何證明問題往往讓學生理不清頭緒，不知如何下手，久而久之，學生對幾何證明產生畏懼心理，對幾何的學習也失去興趣。“幾何證明難”是學生不想學平面幾何的原因，要想從源頭上解決問題，我們必須找出問題的根源，以問題為主線，通過對問題的研究分析，尋找出現問題的原因，從而“對癥下藥”，尋找解決問題的方法，使教師的教學引導更加高效，學生的學習更加科學，為學生獲取更多的“數學素養”、為學生未來的發展奠定基礎。

一、典型錯誤

經過多方面的經驗積累及調查分析，總結出幾何證明的典型錯誤主要表現在以下幾點：

1.概念定理，理解不透。

（1）學生對幾何的概念、判斷定理的識記與理解流于表面，容易忽略定理的內在含義，在應用時不考慮它的適用條件和范圍。

在線段的垂直平分線的性質學習中，學生沒有完全理解“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離才相等”的內在條件，在證明時，容易出錯。

例：如圖，在△ABC中，AB=AC,點D是BC的中點,求證：（1）△ABD≌△ACD ；（2）BE=CE。

錯誤分析：對于（2）的證明，很多學生都認為D是BC的中點，所以BE=CE，沒有去探討DE是BC的中垂線。

（2）在三角形全等的證明中，按照題目給出的已知條件，很多學生都會找出“邊邊角”的條件，然后就直接利用“邊邊角”直接得出兩個三角形全等了，錯誤原因就是“無中生有，自創定理”。

2.隱含條件，不善挖掘。

在初中幾何證明中，有一些題目，證明結論所需要的已知條件，不是直接給出來的，而是隱含的。對于這類題目，如果學生不善于挖掘這些條件，就沒有足夠的條件逐步推導出結論。這類題目學生共同的感覺就是“缺少條件”。

例：如圖，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂線MN交AC于點N，交AB于點M，求證：△ABC∽△BCN。

分析：本題的關鍵在于抓住∠A=36°，AB=AC這

兩個已知條件，由∠A=36°，AB=AC可得到∠ABC=∠C=（180-36）/2=72°，進而就可得所要證明的結論。但在實際證明中，很多學生都沒有挖掘出這個隱含條件，所以結論也就無法求證。

3.推理混亂，缺乏規范。

表達混亂，條理不清是屬于證明過程書寫不規范的問題，對于初學者來說，這種現象尤為常見。這種現象，常見的有兩種：

（1）不知如何下筆，是學生覺得“幾何證明難”的共同心病，拿到一個幾何證明題目，學生看了，心里明白怎么得到需要證明的結論，但下筆書寫時，不知怎么表達推理過程或者推理混亂，邏輯不嚴密。

（2）幾何證明的書寫要求有它的獨特性：書寫表達必須規范，然而在幾何證明中，學生表達不規范比比皆是。常見的情況有前因后果邏輯推理不嚴密、畫圖不規范、幾何符號語言應用不規范等等。

4.添線助證，無從下手。

眾所周知，很多幾何題的證明，往往利用原圖現有的“線”是難于證明的，這就需要添加輔助線。添加輔助線可以使復雜的幾何證明問題變得簡單，然而，因為沒有掌握添加輔助線的要領，證明時，沒有找到證明的突破口，題目也就無法得證。添加輔助線解決幾何問題是幾何證明的一大技巧，題目需要添加輔助線輔助證明時，學生沒有找到添加輔助線的切入口，因此無法進行解題，這也是學生解決幾何問題感到“無從下手”的原因。

5.文字命題，茫然無策。

在教學中，學生最難于應對的是文字命題的證明，對于此類問題，學生無法理解命題的含義，未能從中找出命題的題設和結論，不僅如此，學生還難于根據題意規范畫圖、不懂得用幾何符號語言寫出已知條件和求證。

6.生活問題，不善建模。

數學是來源于生活，又為生活服務的一門學科，生活中的很多現象，我們都可以把它歸納為數學問題，并用數學思維進行解決，然而，對于現實生活中的實際問題，學生往往不能把它進行建模，把生活問題轉化為數學問題。幾何尤其如此，學生沒有耐心理解實際問題和數學的關系，沒有更好地把實際問題歸納成幾何問題，沒有更好地畫圖加以直觀理解，從而就沒有達到解決實際問題的目的。

二、應對策略

以上是初中幾何教學中學生證明常見的幾類典型錯誤，在教學中如何有效應對呢？通過思考探索和與同伴探討交流，總結出以下幾點體會：

1.夯實基礎、強化應用。

學生幾何解題一切錯誤的原因都是基礎不扎實，如果基礎扎實了，而不善于應用，那就是平時缺少解題應用訓練。在平常教學中，老師必須幫助學生理清幾何定義、幾何定理、公理條件和結論之間的邏輯思維關系、掌握應用范圍，在解題實踐中，放手讓學生大膽嘗試，要知道“只有讓學生在實踐中發現自己解題存在的不規范及漏洞錯誤，學生才能體會深刻及更好糾正”。“夯實基礎、加強應用”是學生熟練運用的基礎，也只有基礎夯實，學生對幾何的學習才更有興趣，學生對學好幾何才更有信心。

2.深入挖掘，突破瓶頸。

幾何證明中，綜合題目都有“瓶頸”，題目中設置的“瓶頸”往往讓學生找不到解題的突破口，如果“瓶頸”突破了，學生證明也會豁然開朗，有一種“柳暗花明又一村”的感覺，此時的學生會無比興奮，也會很享受那種成就感，這給學生學習幾何帶來多大的興趣啊！何樂而不為呢？然而，幾何證明中的“瓶頸”如何突破呢？課堂教學中必須做好以下幾點：

（1）培養學生認真閱題、審題的良好習慣，在審題中能充分挖掘題目中的顯性和隱性已知條件的意識。幾何結論的證明，碰到最多的問題就是“結論的推導缺少條件”，然而題目給的條件肯定是足夠的，有顯性的，也有隱性的，只是學生不善于挖掘或利用而已。只有充分利用題目中的顯性和隱性已知條件，結論的證明才能順利推導出來。

（2）引導學生逆向分析，證明幾何問題時，要讓學生懂得從要證明的結論開始，逆向分析，結論的得出需要哪些條件，再從題目中去尋找這些條件，逐一突破。

（3）幾何結論的證明，學生心里往往明白由這些條件可以得出這個結論，但要書寫時卻不知如何下筆。對于這樣的問題，在教學中我們可以讓學生多模仿例題的書寫過程，讓學生多嘗試，學生之間相互糾正，這樣他們體會到的知識會更深刻。

（4）幾何文字命題的證明，學生的難點是：①無法找出命題的題設和結論，即找不出已知條件和需要證明的結論；②畫簡圖，不懂得用幾何符號語言寫出已知和求證，針對這樣的情況我們可以采取“化整為零，逐一突破”的策略。即要讓學生懂得把問題分成幾個步驟：第一，理清題意，畫出草圖；第二，根據題目中的條件和結論，用幾何符號寫出已知和求證；第三，從已知條件開始，逐一規范寫出推導過程。

（5）數學文化的精華就是“化為數學”和“數學化為”，生活中的幾何問題，要把它化為數學問題去求解，需要學生有良好的“建?！蹦芰?，在教學中，我們要注重數學“建模”思想的參透，多設置生活實例讓學生練習，老師和學生一起探討如何把“生活問題”化為“數學問題”之間的過渡關系。

3.方法歸納，形成思維。

方法歸納需要多思考，只有多思考才能找到不同問題的解決規律，例如添加輔助線證明問題時，不同類型的題目有不同的添加方法，但它們是有規律的，需要老師引導學生多思考、多體會、多總結。在幾何證明的訓練中，教師要多引導、幫助學生進行解題方法、解題技巧及分析思路的整理和歸納，只有這樣，學生才能把老師的分析思路、解題技巧和證明思維轉變為自己的方法，也就是要讓學會收“漁”而不是收“魚”，學生才能更好地開啟幾何證明的智慧之門。

解決問題的對策是很多的，在教學實踐中，師生只有“持之以恒”，“幾何證明難”的問題才能有效解決。