有效提高數學總復習教學效率

□海南省陵水黎族自治縣陵水中學 趙李三

高三數學總復習教學一般要經歷章節單元復習、專題復習、綜合訓練和仿真模擬等過程。總復習教學中，有許多師生存在著復習效率不高，例題、練習求難貪多，試卷講評針對性不強，分析答題情況不到位，學生解題能力不強、不規范等問題，針對這些問題，怎樣有效提高數學總復習教學效率？下面根據自身的教學經歷談談一些觀點和做法，以便更好指導數學總復習教學。

一、引導學生全面系統復習掌握數學基礎知識與思想方法

鉆研教材、考試說明及課標，研究高考試題，根據學生實際，有針對性地運用多種教學方法和手段，引導學生積極主動地復習掌握數學的基礎知識和基本技能及它們所體現的數學思想方法。從以下兩方面進行。

1.恰當利用信息技術，引導學生復習掌握數學基礎知識與思想方法。

恰當利用信息技術，將復習課的知識結構課件展示，引導學生按章節復習掌握基礎知識與思想方法，說明考綱要求及其復習注意點，學生能理解和掌握基礎知識和思想方法。如復習解三角形，投影本章知識結構（圖1），先由學生回顧完成，全班學生能寫出這兩個定理，引導學生弄清應用正弦定理和余弦定理解決三角形問題的基本思路，會用面積公式，注意將實際問題轉化為解斜三角形的問題，然后展示知識，其余章節數學知識復習類似進行，這樣復習內容全面，學生通過自己復習，構建良好知識結構，再師生互動，強化知識及其聯系，有利于學生加深理解和掌握數學基礎知識和思想方法。學生通過復習，進一步掌握函數與方程、數形結合、分類討論、轉化與化歸等數學思想和分析、綜合法、歸納法、待定系數法、代入法等；若遇到有關不等式、方程及最值之類的問題，利用函數觀點加以分析，容易找到一種適當的解題途徑；對空間圖形的平行與垂直關系都可以轉化為向量的平行與垂直來解決。在復習立體幾何的平行與垂直時，由學生結合圖形對判定定理與性質定理做比較復習，尤其證明思路：線∥線?線∥面?面∥面；線⊥線?線⊥面?面⊥面，學生用符號語言表達定理；在復習導數時，由學生寫出求導公式，導數的四則運算法則，復合函數求導法則并運用進行求導計算，要求熟記公式，注意導數應用，學生能應用公式求導；在復習等差數列與等比數列時，由學生寫出它們的定義、通項公式、判定方法、前n項和、等差（比）中項、主要性質，然后比較加深理解掌握解題，要求熟記公式，注意思想方法技巧，如等差數列中的函數思想、等差（比）數列中的方程思想，設項技巧，公式法，錯位相減法，求數列通項的方法。這些復習都是由學生復習完成，學生參與度高，及時反饋與糾正，點評表揚優點，投影展示，這樣復習效果好，有效提高復習效率。

2.加強學法指導，有效提高復習教學效率。

復習教學中，對學生加強學法指導，有效提高復習教學效率。如三角函數的復習，引導學生注意角所在的象限及三角函數值的符號規律，誘導公式注意讓學生理解“奇變偶不變，符號看象限”；引導學生注意三角函數圖象變換，如平移變換、對稱變換、伸縮變換等，時間足夠，讓學生構建函數圖象變換知識結構。如讓學生寫出y=sinx→y=sin（x+φ）→y=sin（ωx+φ）→y=Asin（ωx+φ）；y=sin x→y=sin ωx→y=sin （ωx+φ）→y=Asin（ωx+φ）變換過程，然后比較寫出y=cos x→y=cos（x+φ）→y=cos（ωx+φ）→y=Acos（ωx+φ）y=cos x→y=cosx→y=cos（ωx+φ）→y=Acos（ωx+φ）變換過程，這樣，學生通過比較，結合圖象容易理解，復習效果較好。對函數性質復習，引導學生對指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等結合圖象寫出各定義域、值域和最值、周期、奇偶性、對稱性、單調區間，及時反饋與糾正，同時進行針對性訓練，構建函數性質良好知識結構，形成良好認知結構，這樣，有效提高復習效率。

對三角恒等變換的復習，注意讓學生理解公式之間的關系及導出過程，公式比較多，要把握好公式的結構特征，熟悉公式的來龍去脈，特別是公式中的“+”、“-”號要熟記，學生寫出公式，二倍角的余弦是容易混的地方，還要注意公式的逆用、變形運用；三角變換是解決實際問題中的常見思路技巧，包括變角、變名、變冪、變結構等，特別注意變換的等價性，解題過程中要善于觀察差異，尋找聯系，實現轉化。注意三角函數的最值問題：用三角方法求三角函數的最值常見的函數形式，y=a sin x+bcos x=，其中，用代數方法求三角函數的最值常見的函數形式：y=asin2x+bcosx+c可轉化為cosx的二次函數，根據二次函數知識解決，但要注意角的取值范圍。如求三角函數的最值時，設計下列變式題：函數y=2sinx（sinx+cos x）的最大值為_____；函數的最小值是_____；函數y=2cos2x+sin2x-4cosx的最大值是_____。這樣，比較好地加強學生思維方法的訓練，及時反饋與糾正，有效提高能力，有效提高復習效率。

概率的復習，通過更多實例幫助學生理解，認清互斥事件、對立事件，便于學生解決概率問題。其余知識復習的學法指導類似進行，由學生復習構建知識結構，然后進行相應的訓練，或將與其聯系的各部分知識進行橫向、縱向聯系，完整構建知識體系。有效地落實數學基礎知識和思想方法，關注學生的學習，鼓勵學生積極參與復習，根據學生實際引導幫助學生構建良好的數學知識結構，形成良好的認知結構，很好理解和掌握所學的數學基礎知識和思想方法，進行針對性應用與及時反饋，有效實施課堂教學，有效提高復習教學效率。

二、加強知識應用，提高解決問題能力

根據學生的實際，選擇符合考綱要求的典型題作為例題與練習題，精心研好考題，注意題型歸類復習，增強復習的針對性與有效性，加強知識應用，強化專題訓練，提高解決問題能力。從以下三方面來加強知識應用。

1.選擇題方面。

選擇題在高考題中有12道共60分，要求準確、熟練、靈活、迅速、簡捷地解決。為此，讓學生體會選擇題解法。如直接求解法，數形結合法，特殊值法，定性、定量邏輯分析法等。

問題1（海南2008理）已知a1＞a2＞a3＞0，則使得（1-a1x）2＜1（i=1，2，3）都成立的x取值范圍是（ ）A（.0）B（.0）C（.0）D（.0

我引導學生用直接法、或用特殊 法、或定性、定量邏輯分析法等求解。

問題2（海南2014理）設x,y滿足約束條件

A.10 B.8 C.3 D.2

讓學生思考完成，巡視指導，對學困生及時給予幫助理解線性規劃的解題方法，注意數形結合，作圖求解。

2.填空題方面。

題型多數是計算型，概念性質型等，引導學生體會解法，如直接法、特殊法、數形結合法、轉化等。要求推理、運算的每步都正確，答案表達要準確、完整。為此，讓學生訓練以下題：

問題3（海南2013理）等差數列{an}的前n項和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為_____；這類問題，引導學生用數列求和公式及方程思想求出a1、d，再構造函數，利用導數知識求最值。

問題4（海南2014理）已知偶函數f（x）在［0，+∞）單調遞減，f（2）=0.若f（x-1）＞0，則x的取值范圍是_____。這類問題，引導學生用數形結合、函數的性質解決。

學生通過練習，體會知識與思想方法的應用，訓練思維，及時反饋與糾正，這樣，有效提高學生的解題能力，有效提高復習教學效率。

3.解答題方面。

解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。復習時，我根據高考試題的命題特點，有的放矢地選擇有代表性的、典型的習題進行訓練。同時，強練數列、三角函數、立體幾何、圓錐曲線、函數與導數等主干部分知識。訓練中，強化審題意識，從三方面訓練：（1）要求學生認真讀題，獲取信息。讀題是解題的基礎環節，通過讀題知道考查什么數學知識，涉及哪些數學方法和思想，弄清已知量和需求量。（2）抓住關鍵詞句，把握隱含條件，這是解決問題的關鍵。如在求解三角形的問題中，需要注意利用三角形內角和定理等隱含條件。（3）對題目所給的數學式子、圖形等進行認真觀察、仔細分析，從中捕捉有用信息，對那些熟悉的習題，要防止思維定勢的影響，仔細分析，找出差別所在。訓練中，強化知識與思想方法的應用，規范解題，提高解題能力，提高復習效率。

如圓錐曲線綜合性強，為了提高學生的復習質量，采用以下策略：（1）學生寫出定義、標準方程、幾何性質及a、b、c、e、p之間的關系，要求理解并熟練掌握，能靈活應用解決問題。（2）要求熟練掌握焦點坐標、頂點坐標、焦距、離心率等概念，對于“a、b、c、e、p”基本量的運算要加強訓練；（3）在直線與二次曲線的類型問題中，注意應用二次函數，一元二次方程等知識（韋達定理、判別式和圖象）；（4）在求圓錐曲線的方程和求圓錐曲線有關的軌跡問題時，要注意應用平面幾何的基本知識；（5）要加強思想方法和能力訓練，特別是運算能力的訓練和應用數形結合思想方法解決問題的能力訓練。

問題5（海南2010理）設F1F2分別是橢圓=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過F1斜率為1的直線i與E相交于A、B兩點，且成等差數列。

引導學生畫圖分析，涉及到了焦點三角形，考查橢圓的定義，涉及到了弦長，考查弦長公式、根與系數的關系等。

通過一題多解，一題多變，分類討論，數形結合，通性通法等訓練，加強數學思維和方法的訓練，切實提學高生的解題能力，有效提高復習教學效率。

問題6（海南2010理）設數列滿足

（1）求數列an｛｝的通項公式；（2）令bn=nan，求數列的前n項和Sn

問題7（海南2011理）等比數列an｛｝的各項均為正數，且2a1+3a2=1，a23=9a2a6.

（Ⅰ）求數列an｛｝的通項公式。

（Ⅱ）設bn=log3a1+loga2+……+log3an，求數列的前n項的和。

通過以上試題強練數列，掌握數列的常考要點和方法。通過一題多變等形式，真正讓學生掌握常考知識的解題方法。

問題8（海南2012文）設函數 （fx）＝ex－ax－2，求 （fx）的單調區間。

引導學生利用有關知識分析解答，有效滲透了分類討論的思想。

問題9（海南2010理）設函數 （fx）＝ex－1-x－ax2，若當x≥0時 （fx）≥0，求a的取值范圍。引導學生將求a的取值范圍問題轉化為求函數（fx）的最值問題這一通法來解決。對二次函數的最值，可用配方法、公式法、導數法、單調性法求得。

強化知識應用時，注意避免過于繁雜和技巧性過強的訓練，學生通過解題，總結解題方法，注意通性通法，做一題，得一法，通一類，提高學生解決問題能力。應用中及時反饋，及時糾正，再針對性復習，有效提高復習教學效率。

三、及時掌握復習反饋與糾正，進行針對性復習與強化訓練

學生復習回顧知識，然后投影展示，點評表揚優點，及時讓學生自己發現并糾正錯誤，很好地理解和掌握數學基礎知識和思想方法；強化訓練時，要求學生在獨立思考基礎上，與同伴交流，嘗試解題，巡視指導，學生有足夠的時間和空間去解決問題，充分調動學生學習的積極性，讓學生板演，及時發現問題，及時糾正，點評表揚優點；考試要求認真解答。講評題時，要注重引導學生分析條件，有效尋求涉及的知識和方法，清楚試題考查什么知識點，解題突破口在哪里，解答時需要注意什么，有哪些解法，哪些最佳解題途徑等問題。這樣，充分調動學生學習的積極性與主動性。應用知識強化測試，認真分析各題的錯誤率，找出錯誤的癥結，對錯誤率比較高的題目和典型的問題要重點評，特別是數學知識與思想方法的講評，強調規范解答，及時有效幫助學生分析總結錯誤，進行針對性復習與強化訓練，有效提高解題能力。

如學生解決離散型隨機變量的均值與方差問題時，容易寫出變量的可能取值，會寫出均值和方差公式，但不容易求出相應的概率，以致出錯，針對這類情況，教師要重點引導學生分析概率問題的類型，弄清它們的特點，熟練掌握各種概率分布的公式，注意與排列、組合知識聯系，注意基本思想方法，熟練求解離散型隨機變量的分布列、均值和方差，熟練地將實際問題轉化為概率問題，準確得出相應的概率，解決均值和方差的問題，同時進行針對性訓練。對出錯多的問題有針對性訓練，如學生解答題時往往是因缺少嚴密的推理步驟，不準確的計算等造成丟分，及時進行針對性訓練；對解答不夠規范的及時讓學生自己糾正，規范解答；對學困生給予較多指導，多鼓勵。及時掌握復習反饋與糾正，進行針對性復習與強化訓練，有效提高復習教學效率。