例談消元法在初中數學解題中的應用

方逵香

（山東省萊蕪市萊城區花園學校，山東 萊蕪）

初識消元法，好多學生狹隘地以為消元法只是應用于解方程組，事實上消元是一種簡化運算的重要思想，它在初中數學題中有著廣泛的應用。本文通過魯教版七年級下冊中的部分題目，對消元法在初中數學解題中的應用作介紹，以供參考，希望能起到拋磚引玉的作用。

例1.解下列方程組

仔細觀察方程組（1），屬于比較對稱的一種，可以把分母為6的部分及分母為7的部分都各自視為一個整體，如分別設為m，n。采用整體換元的方法得到然后再化簡得到關于x，y的方程組，從而解得x，y的值。本題在解方程組的過程中，巧妙進行了換元，將方程組化繁為簡，從形式和計算上都大大簡化，降低了解題難度。這種整體換元的方法也是一種消元思想，它的妙處不言而喻。

方程組（2）也是由比較特殊的對稱方程組成的，題目比較簡單，學生解題時多數是采用了代入消元法，但是有的同學代來代去容易暈頭轉向而弄錯。針對題目特點，采用加減消元法，問題就相當容易處理。具體解的過程是：

①+②+③合并化簡得：

x+y+z=20④

④-①得z=5

④-②得x=15

④-③得y=0

選對了方法后整個求解的過程變得簡單輕松，視覺上也對仗整齊，利落美觀。

例 2.若 4x+3y+5=0，則 3（8y-x）-5（x+6y-2）的值等于 _____。

分析：本題中有兩個未知數，條件中卻只有一個方程，無法直接求得x，y的具體值，根據經驗必定有特殊解法。故而先將要求的代數式進行化簡。

原式=-8x-6y+10，對照已知條件，移項得4x+3y=-5，然后將其整體代入原式，消去兩個未知數，從而求得結果。本題通過整體代入消元，將未知數消滅的無影無蹤，消元的威力可謂大矣。

分析：本題給定了兩個方程，卻有3個未知數。如上題一樣，不能采用常規方法解方程組。觀察題目，發現兩個方程右邊n的系數相等，符合加減消元的特點，不妨欲揚先抑，先消去n再說。

故而，②-①得：x+2y=2 ③，結合已知中另一條件得到x+y=12 ④，將③④聯立可求得x，y的值，再代入①，即可求得n值。這樣做似乎已經很簡單了，但是，如果繼續采用加減消元的思想，將 ③+④得：2x+3y=14。驀然回首已知中的方程①，驚喜地發現n值已經躍然紙上。消元法再次給了我們一個驚喜！消元法不僅在解方程組、求值等代數運算中，起著化繁為簡，撥云見日的作用，在幾何題中也有著廣泛的應用。

例4.△ABC和△A1B1C1中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a，b，c，∠A1，∠B1，∠C1所對的邊分別是 a1，,b1，c1，∠A+∠B=∠C，∠B1+∠C1=∠A1，且 b-a=b1-c1，b+a=b1+c1，則這兩個三角形是否全等？若全等，請給出證明；若不全等，請說明理由。

分析：要想證明是否全等，必須知道對應邊和對應角的關系，題目中只有邊角的和差關系，并沒有單個邊或角的關系。故而要經過計算整理得到單個角或邊的關系。面對四個等式不少學生一籌莫展，可是只要借助代數的方法，巧用消元即可迎刃而解。

解：∵∠A+∠B=∠C，∠B1+∠C1=∠A1

又∠A+∠B+∠C=180°，∠A1+∠B1+∠C1=180°

∴2∠C=180° 2∠A1=180°（代入消元）

∴∠C=∠A1=90°

∵

①+②得：b=b1（加減消元）

將b=b1代入②得a=c1（代入消元）

∴△ABC?△A1B1C1（SAS）

例5.已知：如圖，AM、CM分別平分∠BAD和∠BCD。

求證：（1）如果∠B=32°，∠D=38°，求∠M的度數；（2）∠M=1/2（∠B+∠D）。

分析：不少學生只能通過三角形的內角和或外角定理求得第一問。對于第二問有的不知從哪里下手，有的求證過程相當麻煩，最后無疾而終。如果運用方程思想，列出方程，再借助代入消元和加減消元法，問題就大大簡化。如此一來，得到關于求∠M的算式，回過頭由一般到特殊，將第一問中的已知條件代入算式驗證，或者先做第二問就更簡單了，可謂一舉兩得。

證明：∵AM、CM平分∠BAD和∠BCD

∴∠BAM=∠DAM=1/2∠BAD=m ①

∠BCM=∠DCM=1/2∠BCD=n ②

∵∠B+∠BAM=∠M+∠BCM

∠D+∠DCM=∠M+∠DAM

將①②中相應的值代入上兩式得：

∠B+m=∠M+n ③

∠D+n=∠M+m ④

③+④得：

2∠M=（∠B+∠D）

∴∠M=1/2（∠B+∠D）。

數學學習中有許多先進的思維方式，比如方程思想，消元思想等等，培養學生運用這些思維方式，訓練學生抓住問題本質的能力，有利于快速準確地解決數學問題，提升學生的學習興趣和自信心。作為數學教師，引領學生的思維是我們的責任。