參考系的轉(zhuǎn)換在高中物理中的妙用

龍怡天

（麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校，湖南 長(zhǎng)沙）

要描述物體的運(yùn)動(dòng)首先要確定參考系，原則上可以選除研究對(duì)象自身以外的任何物體為參考系。選不同的物體為參考系，對(duì)同一物體運(yùn)動(dòng)的描述可能不同，因而常選能使運(yùn)動(dòng)的描述最簡(jiǎn)單的物體為參考系，實(shí)際常選地面為參考系。久而久之，在解題過(guò)程中不考慮參考系的選擇問(wèn)題，習(xí)慣性地選用地面為參考系，導(dǎo)致解決有些問(wèn)題的方法變得繁瑣，有時(shí)甚至感覺(jué)無(wú)從下手。本文的目的就是要拋開(kāi)習(xí)慣思維的束縛，靈活選用參考系，運(yùn)用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的有關(guān)知識(shí)，簡(jiǎn)化解題過(guò)程。

一、相對(duì)運(yùn)動(dòng)知識(shí)

小船在有一定流速的水中過(guò)河時(shí)，設(shè)水流速度為v水（水流相對(duì)地的速度）和小船靜水航速為v船（小船相對(duì)水的速度），小船實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度為v（小船對(duì)地的速度）。則有v等于v水和v船的矢量和。

由此可知若運(yùn)動(dòng)參照系對(duì)地位移為x運(yùn)、速度為v運(yùn)、加速度為a運(yùn)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)運(yùn)動(dòng)的參照物的位移為為x相、速度為v相、加速度為a相，質(zhì)點(diǎn)對(duì)地位移為x、速度為ν、加速度為a，則對(duì)地位移x等于x運(yùn)與x相的矢量和，對(duì)地v等于v運(yùn)和v相的矢量和、對(duì)地加速度為a等于a運(yùn)和a的矢量和。

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)對(duì)地運(yùn)動(dòng)和運(yùn)動(dòng)參考系的對(duì)地運(yùn)動(dòng)在同一直線上時(shí)，可將矢量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算。

二、追擊相遇問(wèn)題中的應(yīng)用

追擊相遇問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體在相同或不同時(shí)間內(nèi)能否到達(dá)同一位置。若以地面為參考系，則需考慮兩個(gè)物體的速度、位移及其關(guān)系。根據(jù)參考系的定義：假設(shè)靜止不動(dòng)、被選來(lái)作為標(biāo)準(zhǔn)的物體，若選擇其中一個(gè)物體為參考系來(lái)描述另一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)即相對(duì)運(yùn)動(dòng)，就將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。

例：2014年7月24日，受臺(tái)風(fēng)“麥德姆”影響，東部沿海多地暴雨，嚴(yán)重影響了道路交通安全。某高速公路同一直線車(chē)道上同向勻速行駛的轎車(chē)和貨車(chē)，其速度大小分別為v1=40 m/s，v2=25 m/s，轎車(chē)在與貨車(chē)距離x0=22 m時(shí)才發(fā)現(xiàn)前方有貨車(chē)，若此時(shí)轎車(chē)只是立即剎車(chē)，剎車(chē)的加速度大小為5 m/s2，兩車(chē)可視為質(zhì)點(diǎn).

（1）若轎車(chē)剎車(chē)時(shí)貨車(chē)以v2勻速行駛，通過(guò)計(jì)算分析兩車(chē)是否會(huì)相撞？

（2）若轎車(chē)在剎車(chē)的同時(shí)給貨車(chē)發(fā)信號(hào)，貨車(chē)司機(jī)經(jīng)t0=2 s收到信號(hào)立即以加速度大小a2=2.5 m/s2勻速前進(jìn)，通過(guò)計(jì)算分析兩車(chē)會(huì)不會(huì)相撞？

【分析】（1）勻減速追趕勻速，以勻速運(yùn)動(dòng)的貨車(chē)為參考系，則轎車(chē)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)是相對(duì)初速度大小為15 m/s、相對(duì)加速度等于對(duì)地加速度5 m/s2的勻減速運(yùn)動(dòng)。相對(duì)速度減為零時(shí)相對(duì)位移與開(kāi)始間隔距離22 m的大小關(guān)系，是撞上與撞不上的臨界條件，求出轎車(chē)剎車(chē)的相對(duì)位移比較即可。

（2）轎車(chē)前2 s的相對(duì)運(yùn)動(dòng)未變，2 s后相對(duì)加速度變?yōu)?7.5 m/s2，轎車(chē)相對(duì)速度減為零時(shí)的相對(duì)位移與開(kāi)始間隔的距離相等是臨界條件，分別將前后兩段時(shí)間的相對(duì)位移求解出來(lái)。

【解答】解：（1）轎車(chē)經(jīng)過(guò)s=160 m才停下來(lái)的過(guò)程，由v12=2 a1s得：轎車(chē)剎車(chē)過(guò)程的加速度大小：a1=5 m/s2。以貨車(chē)為參考系，轎車(chē)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的初速度、加速度分別為v1=υ2+υ相0得：v相0=15 m/s，a相=a1=-5 m/s2。轎車(chē)前進(jìn)的相對(duì)位移

因?yàn)椋簊相1=22.5 m＞s0，即：兩車(chē)會(huì)相撞。

因?yàn)椋簊相1+s相2=21.7 m＜s0，兩車(chē)不會(huì)相撞。

三、在牛頓運(yùn)動(dòng)定律中的應(yīng)用

高中階段涉及滑動(dòng)摩擦力的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)，解題時(shí)滑動(dòng)摩擦力的方向很容易弄錯(cuò)。原因是質(zhì)點(diǎn)受滑動(dòng)摩擦力的方向與質(zhì)點(diǎn)相對(duì)滑動(dòng)摩擦力的施力物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向相反，而不是與質(zhì)點(diǎn)相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)方向相反。因此確定滑動(dòng)摩擦力的方向，要先確定質(zhì)點(diǎn)相對(duì)滑動(dòng)摩擦力的施力物的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向。而且滑動(dòng)摩擦力的方向就可能不會(huì)與物體對(duì)地運(yùn)動(dòng)的方向共線，使物體做曲線運(yùn)動(dòng)。

例：如圖所示，生產(chǎn)車(chē)間有兩個(gè)相互垂直且等高的水平傳送帶甲和乙，甲的速度為v0。質(zhì)量均為m的工件離開(kāi)甲前與甲的速度相同，并平穩(wěn)地傳到乙上，工件與乙之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.乙的寬度足夠大，重力加速度為g。

（1）若乙保持靜止，求某工件在乙上滑行的距離；

（2）若乙的速度也為v0，求：某工件在乙上滑行的過(guò)程中產(chǎn)生的熱量。

【分析】（1）工件滑上靜止傳送帶乙，垂直乙傳送帶方向向前滑，沿水平方向做勻減速運(yùn)動(dòng)。

（2）工件的初速度沿水平方向，傳送帶乙的運(yùn)動(dòng)方向與之垂直，用相對(duì)運(yùn)動(dòng)知識(shí)確定相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向，可知滑動(dòng)摩擦力的方向與初速度方向有夾角，因此可判斷工件相對(duì)地面將做曲線運(yùn)動(dòng)。摩擦力方向是否變化無(wú)法判斷。如若將乙傳送帶選作參考系，由相對(duì)運(yùn)動(dòng)知識(shí)即可求得相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度大小和方向，因滑動(dòng)摩擦力方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向相反，故工件相對(duì)乙傳送帶做勻減速運(yùn)動(dòng)，直到相對(duì)靜止。根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求得相對(duì)于傳送帶的位移，由Q=μmgx即可求得。

（3）通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律即可求得。

【解答】解：（1）若乙保持靜止，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式μmg=ma解得工件在乙上滑行的距離

（2）沿甲與乙的運(yùn)動(dòng)方向建立坐標(biāo)系（如下圖所示）剛滑上乙時(shí)，工件相對(duì)乙運(yùn)動(dòng)的速度為方向如圖所示，θ=45°工件受到摩擦力的大小為f=μmg工件在乙上相對(duì)乙做初速度為加速度a=μg的與減速運(yùn)動(dòng)，直至相對(duì)靜止，故相對(duì)位移根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得

摩擦生熱 Q=μmgL 解得Q=mv02

四、在磁場(chǎng)問(wèn)題中的應(yīng)用

帶電粒子垂直磁場(chǎng)的方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，若不計(jì)重力，粒子將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如果該區(qū)域還有勻強(qiáng)電場(chǎng)粒子將做什么運(yùn)動(dòng)呢？

例.（2013福建）如圖甲，空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.讓質(zhì)量為m，電量為q（q＞0）的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到該磁場(chǎng)中，不計(jì)重力和粒子間的影響。

（1）若粒子以初速度v1沿y軸正向入射，恰好能經(jīng)過(guò)x軸上的 A（a，0）點(diǎn)，求 v1的大小；

（2）如圖乙，若在此空間再加入沿y軸正向、大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一粒子從O點(diǎn)以初速度v0沿y軸正向發(fā)射。研究表明：粒子在xOy平面內(nèi)做周期性運(yùn)動(dòng)，且在任一時(shí)刻，粒子速度的x分量vx與其所在位置的y坐標(biāo)成正比，比例系數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)大小E無(wú)關(guān)。求該粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度值vm。

【分析】（1）根據(jù)所受洛倫茲力情況，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，求出半徑大小，即可求出速度v1的大小；

（2）轉(zhuǎn)換參考系，運(yùn)用相對(duì)運(yùn)動(dòng)知識(shí)求解。

【解答】解：（1）根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡可以求出半徑為：

答：v1的大小

（2）若有一個(gè)觀察者，以速度v人沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，其速度滿足qv人B=qE，以觀察者為參考系，磁場(chǎng)相對(duì)觀察者以速度v人沿x軸負(fù)方向勻速運(yùn)動(dòng)，粒子相對(duì)磁場(chǎng)以初速度v0沿y軸正向發(fā)射，粒子相對(duì)于觀察者的速度為v粒，則三者速度關(guān)系如圖。由洛侖茲力計(jì)算公式得：f人=qv人B=qE，f0=qv0B，f粒=qv粒B，由三角知識(shí)可證明f0和f人的合力等于f粒，則粒子受洛侖茲力f0和電場(chǎng)力FE的合力等于f粒，粒子相對(duì)觀察者以速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。所以粒子相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)是觀察者對(duì)地的勻速運(yùn)動(dòng)和粒子相對(duì)觀察者的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)粒子逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到圓周的最低點(diǎn)時(shí)，合速度最大，有：

通過(guò)本題的分析，可以了解到粒子在勻強(qiáng)復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是一種周期性的運(yùn)動(dòng)，其周期由比荷和磁感強(qiáng)度決定。題干中所給的信息可以直接推出。

總結(jié)以上案例的解題思路不難看出，如何正確巧妙地選用參考系，將會(huì)使繁瑣的方法變簡(jiǎn)捷，復(fù)雜運(yùn)動(dòng)變簡(jiǎn)單。