巧用一題多解，滲透核心素養

唐 洵

（福建省福清第三中學，福建 福清）

一題多解是數學解題過程中的思維能力的體現，其本質是緊扣習題本身，靈活運用定義、定理等基本原理，通過不同的途徑，呈現問題的解答過程.在教學過程中，合理滲透對數學問題的多解，有利于促進學生靈活運用數學知識能力，同時能活躍學生的數學思維，提高學生分析解決問題的能力，并且激發學生對數學學習的興趣.

作為一線教師，筆者常常思考，我們能否在數學的教學中尋找發展學生數學核心素養的途徑，通過一題多解來滲透核心素養.本文就通過對例題的一題多解來談一談筆者對于核心素養在課堂教學中落實的思考.

問題呈現：已知△ABC為等腰三角形，AB=AC，BD是其腰AC的中線，且BD=3，求△ABC面積的最大值.

視角一、適度轉化，一統天下

思路1（角化邊）：在學習解三角形的過程中，學生已經熟練掌握了三角形的面積公式，介于本題中△ABC的特殊性——等腰，容易想到此時發現該式中有兩個變元，因此，如何消元成為解題的難點；考慮到BD是其腰AC的中線，因此，可以在△ABD中利用余弦定理，建立cos∠BAC與AB之間的關系，最后利用sin2∠BAC+cos2∠BAC=1，將S△ABC轉化為關于AB的函數，在正確求解AB的取值范圍的前提下，我們可以輕松求得△ABC面積的最大值.

解法一：設 AB=2x，AD=x，∠BAC=θ，因為在△ABD 中，故 1＜x＜3，故其中x∈（1，3）；

在△ABD 中，由余弦定理，BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosθ，解得

解法二：設，AB=2x，AD=x，∠BAC=θ，θ∈（0，π）

在△ABD 中，由余弦定理，BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosθ，解得

接下來，可以從三種視角來求解（*）式的最值：

注：由于篇幅關系，這里不驗證φ的具體情況；

評注：構造函數法是處理最值問題的常用方法之一，解法一、二都是通過代數的角度進行切入，解法一的難點在于如何從直觀的圖形中抽象出具體的函數，以及函數初步生成時的雙變元如何處理比較得當，解法二的難點在于如何通過（0，π）的表達式結構，抽象出其最值的求解；兩種解法都體現了數學抽象能力是形成理性思維的重要基礎.

視角二、數形結合，化繁為簡

思路3（基本不等式）：數形結合是解題時化繁為簡的重要途徑之一，基于等腰三角形三線合一的重要性質，我們可以過A點做BC邊的中線（或垂線），中點（或垂足）為E，AE與BD的交點為F，再配合余弦定理以及勾股定理，在△ABC或△BEF中構造基本不等式進行求解.

解法三：方法一：如圖所示，作AE⊥BC于 E，設∠ACB=α，

則 AE=2xsinα，BC=4xcosα，則 S△BEF=4x2sinαcosα；

在△BCD中，由余弦定理，BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cosα， 解 得 x2=

方法二：如圖所示，取BC的中點E，連接 AE 交 BD 于 F；設 BE=x，EF=y，則故 S△ABC=當且僅當時等號成立；故△ABC面積的最大值為6.

思路4（三角形觀點）：在解法三方法一、解法二的啟示下，部分同學會引發思考，能否不通過基本不等式，而直接利用必修五中學習的三角形的面積公式，通過三角函數自身的取值范圍，來求解出△ABC面積的最大值；基于上述想法，BD=3在的提示下，我們可以構造AB邊上的中線，記兩條中線的交點為O，進而將△ABC的面積轉化為△OBC的面積，求解△OBC面積的最大值即可.

解法四：如圖所示，取AB的中點E，連接 CE，設 CE∩BD=O，因為 BD=3，故CO=BO=2，故OC·sin∠BOC=6sin∠BOC≤6，當且僅當時結論成立；故△ABC面積的最大值為6.

評注：數形結合、直觀想象，能夠降低解題的難度，提升數學思維的同時，減少了繁雜的計算，在解題發揮不可替代的作用；而這種能力素養，是在數學學習過程中逐步積累形成的；利用基本不等式的觀點解決最值問題的時候，要注意構造“一正二定三相等”的條件，發揮和定積最大，積定和最小的優勢作用求解最值.

視角三、坐標引路，曲徑通幽

思路5（坐標解析化）：本題中的三角形為等腰三角形，是一個特殊圖形，因此十分利于我們建立平面直角坐標系，通過解析化的手法，能夠使得問題的處理變得更加簡練，而不同的建系方案往往能夠多角度揭示的本質，我們可以通過建系的方法，將橢圓以及阿波羅尼斯圓融入這道解三角形的問題中來.

解法五（橢圓觀點）：取BC的中點E，連接AE；以E為原點，BC所在直線為x軸，AE所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，則 A（0，b），B（-a，0），D由可得故而S△ABC=ab；

解法六（阿波羅尼斯圓觀點）：以F為原點，BD所在直線為x軸，建立平面直角坐標系如圖所示；因為且 D（1，0），B（-2，0）設 A（x，y），則故（x-1）2+y2=4，故 y≤2，故

評注：在解題時，利用坐標法，將幾何問題解析化，是以數助形的重要途徑，此方法的關鍵在于合理構建平面直角坐標系，準確表示點坐標，通過發現問題中的幾何關系，得到關于動點的方程，進而尋覓到動點的軌跡，如解法五中得到的是橢圓的方程，解法六中得到的是阿氏圓的方程.