場方法的改進及其在積分Riemann-Cartan空間運動方程中的應用?

王勇梅鳳翔曹會英郭永新

1)(北京理工大學宇航學院,北京 100081)

2)(廣東醫科大學信息工程學院,東莞 523808)

3)(遼寧大學物理學院,沈陽 110036)

4)(遼東學院影像物理教研室,丹東 118001)

1 引 言

Hamilton-Jacobi方法是求解Hamilton正則方程的重要方法,其特點之一是把求解常微分方程組通解的問題轉化為尋找一個一階非線性偏微分方程(Hamilton-Jacobi方程)完全解的問題.經典Hamilton-Jacobi方法本質上體現了完整保守系統Hamilton正則方程與Hamilton-Jacobi方程特征曲線之間的關系,因而被廣泛應用于經典力學、幾何光學、流體力學、粒子物理、廣義相對論、量子力學、宇宙學、最優控制、化學等諸多研究領域.但由于存在非常嚴苛的限制,經典Hamilton-Jacobi方法很難直接推廣至非完整或非保守系統中[1].20世紀80年代,南斯拉夫學者Vujanovi?[2?4]提出了用于處理完整非保守問題的場方法,和Hamilton-Jacobi方法類似,這種方法把求解常微分方程組滿足初始條件特解的問題轉化為尋找一個一階擬線性偏微分方程(基本偏微分方程)完全解的問題.由于沒有像Hamilton-Jacobi方法那樣強的限制條件,Vujanovi?場方法很快被推廣至非完整系統、Birkhoff系統和可控力學系統等諸多研究領域中,取得了一系列重要研究成果[5?19].但Vujanovi?場方法在實際應用中仍然存在一個基本困難,即Vujanovi?場方法依賴于求出基本偏微分方程的完全解,而這通常是很困難的.

本文把Vujanovi?場方法改進為尋找動力學系統第一積分的場方法.改進后的場方法只要能夠找到基本偏微分方程的包含若干個任意常數的解(完全解是此類解中包含有最多數目任意常數的特例),那么就可以由此找到系統若干個第一積分.特殊地,如果能夠求出基本偏微分方程的完全解,那么就可以由此找到系統全部第一積分,從而完全確定系統的運動,Vujanovi?場方法等價于這種特殊情況.

然后本文使用改進后的場方法來積分Riemann-Cartan空間中的運動方程.在我們已有的研究中已經指出[20?24],對一些比較復雜的一階線性定常齊次非完整約束系統,可以先用一階線性非完整映射把系統的位形空間約化為低維Riemann-Cartan空間,從而使問題得以簡化.本文簡要介紹了用一階線性非完整映射構造非完整約束系統在Riemann-Cartan位形空間中運動方程的方法,然后用改進后的場方法就有可能找到系統的若干個第一積分.

2 場方法及其改進

Vujanovi?場方法指出,對于描述力學系統運動的形如

的常微分方程組,如果把x1看作是其他xi和時間t的函數,那么就可以構造出形如

的基本偏微分方程.如果能夠找到基本偏微分方程(2)的一個完全解

其中Ci為任意常數,并將初始條件

代入完全解(3)中求出其中任意一個常數,例如C1,代回完全解(3),得到

那么將(5)式和(n?1)個代數方程

聯立后解出全部xi就可得到常微分方程組(1)的滿足初始條件的特解.

可以將上述求常微分方程組特解的場方法改進為尋找力學系統第一積分的如下命題.

命題1 對描述力學系統運動的形如(1)式的常微分方程組,如果把x1看作是其他xi和時間t的函數,就可以構造出形如(2)式的基本偏微分方程.如果能夠找到基本偏微分方程的一個包含m(m≤n)個獨立的任意常數CB的解

則只需將該解中任意(m?1)個常數固定,就可以得到系統的一個第一積分;重復這一操作,分別將該解中不同的(m?1)個常數固定,即可得到系統如下m個獨立的第一積分:

其中,每一個第一積分中除Cα外其他CB都固定.特別地,如果解(7)是基本偏微分方程的一個完全解,即m=n,那么用上述方法就可以得到系統的全部n個獨立的第一積分,并可由此完全確定系統滿足初始條件的特解.

要想證明命題1,首先注意到把解(7)中任意(m?1)個常數固定,所得結果(即(8)式中的任意一個)包含一個任意常數,且仍然是基本偏微分方程的解,因而一定滿足描述系統運動的微分方程組(1),因此(8)式中的任意一個等式都是系統的一個第一積分.再考慮到解(7)中常數CB的獨立性,即可知(8)式中的m個等式是相互獨立的.綜上可知(8)式是系統m個獨立的第一積分.證畢.

命題1擴展了場方法的適用范圍.如果試圖用Vujanovi?場方法直接求出系統滿足初始條件的特解,則必須要找到基本偏微分方程(2)的包含n個獨立的任意常數的完全解,對大多數問題而言這是一件非常困難的任務;在很多情況下,雖然不能找到完全解,但卻有可能找到基本偏微分方程(2)的包含m(m≤n)個獨立的任意常數的解,此時根據命題1就可以得到系統m個獨立的第一積分.

例1 Chaplygin雪橇的慣性運動[5].

系統的Lagrange函數和約束方程分別為

令q1=x,q2=φ,q3=y,可得系統Chaplygin方程的顯式表達為

令x1=q1,x2=q2,x3=q˙1,x4=q˙2,則 由(10)式可得

考慮到初始條件

容易求出

代入(11)式的第一和第三式可得

令x1=u(t,x3),則與(14)式對應的基本偏微分方程為

該基本偏微分方程的一個通解為

其中c1和c2為任意常數.依次固定c1和c2,例如分別取c1和c2為零,即可得到如下兩個第一積分:

由此即可直接解出

可以驗證(19)式確實是(14)式的通解,利用初始條件確定常數c1和c2后即得滿足初始條件的特解,所得結果和文獻[5]中的結果一致.

質點的運動方程為

這是一個非線性非齊次二階常微分方程,按照通常的方法很難直接求出其通解.

我們無法求出該基本偏微分方程的完全解,但容易驗證

是(21)式的包含一個任意常數的解.根據命題1,該解就是系統的一個第一積分,所以有

由此可得

3 場方法在積分Riemann-Cartan空間中運動方程中的應用

本節中所有i,j,k=1,2,···,n; μ,ν,σ,π =1,2,···,m;α,β,γ =2,···,m;m ＜ n.

對于受到(n?m)個一階線性定常齊次非完整約束的系統,從它的n維歐式位形空間[X]出發,利用一個隱含非完整約束的不可積一階線性映射

可以把位形空間[X]映射為一個有撓率的Riemann-Cartan空間[Π],其中x˙i為系統在位形空間[X]中的速度,ωμ為由映射(25)所定義的系統的一個準速度.由映射(25)可以計算出Riemann-Cartan空間[Π]的度規和聯絡分別為

描述系統運動的運動方程為

其中Fi為系統所受外力.將(25)和(28)式聯立,就得到了由(n+m)個方程所構成的Riemann-Cartan空間[Π]中描述系統運動的完備的一階常微分方程組.

用場方法求解上述常微分方程組,需要將(n+m)個變量x˙i和ωμ中的一個,例如ω1,看作是依賴于其他變量和時間t的場函數,即取

則有

由(25)和(28)式,可得對應的基本偏微分方程為

根據命題1,如果能夠找到基本偏微分方程(31)的包含h(h≤n+m)個獨立任意常數的解,就能確定出系統的h個第一積分.特殊情況下,如果能夠找到包含(n+m)個獨立任意常數的完全解,就可以由(n+m)個獨立的第一積分和(n?m)個約束完全確定系統的運動.

例3受非完整約束(x1+x2+x3)x˙1?x˙3=0的質點,所受非保守力為

求質點的運動.

質點帶乘子的Lagrange方程為

和非完整約束聯立后可以解得乘子為

代入(32)式即得消去乘子后的方程,該方程很難直接求解.

取一階線性非完整映射

代入(28)式并和(34)式聯立后可得系統在Riemann-Cartan位形空間[Π]中的運動方程為

顯然,(37)式是一個可以直接求解的常微分方程組,但為了驗證命題1的結論,下面仍然采用場方法來求解.

為了一次得到系統全部獨立的第一積分,對問題不加任何簡化,直接將(37)式代入(30)式中,所得基本偏微分方程為

基本偏微分方程的一個完全解為

將完全解中五個獨立的任意常數中的任意四個固定,例如都取為零,即可得到系統的五個獨立的第一積分:

將這五個第一積分和約束方程聯立后即可完全確定粒子的運動,所得結果與直接求解(37)式的結果相同.從五個第一積分中消去兩個準速度即得質點的運動方程,代入(32)和(33)式即可驗證結果的正確性.

求質點的運動方程.

質點帶乘子的Lagrange方程為

和非完整約束聯立后可以解得乘子為

代入(32)式即得消去乘子后的方程.可以看出該方程很難直接求解,但利用一階線性非完整映射的方法和改進后的場方法可以得到兩個第一積分.

取一階線性非完整映射

由(26)和(27)式計算出系統對應的Riemann-Cartan位形空間[Π]的度規和聯絡分別為

代入(28)式并和(34)式聯立后可得系統在Riemann-Cartan位形空間[Π]中的運動方程為

我們無法求解(50)式,但在此基礎上用場方法可以得到兩個第一積分.

應用場方法,由(50)式后兩式可得與之對應的基本偏微分方程為

如果能直接解出(52)式,就能得到基本偏微分方程的一個完全解,但這一步比較麻煩.注意到如果令(52)式中的c=0,則可以很容易求得基本偏微分方程的如下只包含一個任意常數的解:

由命題1可知,這是系統的一個第一積分.將(53)式代入(50)式中的第五式,可得

和(53)式聯立,消去c1后即得系統第二個第一積分:

由(50)式中的后兩式可直接驗證兩個第一積分的正確性.

4 結 論

Vujanovi場方法依賴于求出基本偏微分方程的完全解,而這通常是很難的,這就極大地限制了場方法的應用.本文把Vujanovi場方法改進為尋找動力學系統第一積分的場方法.改進后的場方法不僅計算相對簡單,而且具有更大的靈活性.如果可以求出基本偏微分方程的完全解,則改進后的場方法等價于Vujanovi場方法.但更一般地,根據改進后的場方法,只要能夠找到基本偏微分方程的包含任意常數的解,即使不是完全解,也能由此直接得到動力學系統的若干個第一積分,這必將拓寬場方法的適用范圍.此外,本文介紹了用一階線性非完整映射構造一階線性非完整約束系統在Riemann-Cartan位形空間中運動方程的方法,并用改進后的場方法研究了Riemann-Cartan空間中運動方程的積分問題,通過算例可以看出這是研究某些非完整非保守運動問題的一種有效方法.最后需要指出的是,盡管本文只是應用改進后的場方法求解了一些非完整系統和非保守系統的例子,但可以看出,只要采用和文獻[5–19]完全相似的方法,就可以把改進后的場方法應用于Vacco動力學系統、Birkhoff系統、變質量系統、相對運動的力學系統、可控力學系統、相對論系統、轉動相對論系統等研究領域.

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