微積分教學的初步探索

許曉雪

鄭州大學數學與統計學院 河南鄭州 450001

【關鍵字】微積分的本質；微積分教學

數學是一門基礎性學科，它具有豐富的內容和深刻的思想。隨著科學技術的發展，數學已被廣泛應用于信息、經濟、管理、醫學和生命科學等各個領域。微積分是高等數學的重要組成部分，目前已成為高等院校各個專業的必修課或選修課，在培養大學生的邏輯思維和思辨能力等方面扮演者重要角色。它是進入科學研究的大門，通常安排在大學一年級，為后續課程的學習做好準備。因此，微積分的教與學顯得尤為重要。

由于微積分本身的特點---高度的抽象性。很多學生覺得它枯燥無味，學習積極性不高，而且畏難情緒很大，使得課堂教學達不到預期的目標。那么，到底怎樣才能學好微積分呢？首先，要搞清楚微積分的實質。只有知道它是什么，研究什么問題，才能進行針對性的學習。其次，老師的教學方法很重要。好的教學手段能把冷冰冰的數學符號變得活靈活現，把數學的魅力展現給學生，進而提高課堂學習效率。最后也是非常關鍵的一步，學生必須投入足夠多的時間去學習，并不斷地總結，找到適合自己的學習方法。本文將圍繞這些問題進行展開。

一、微積分的本質

一直以來，微積分給人的印象就是不停地做習題，不停地計算，感覺很疲憊。其實在題目的海洋中隱藏著實質性的內容，一旦抓住了它，就會事半功倍。微積分的本質是“以直代曲”。“直”用數學的語言來說就是“線性”，物理上稱之為“均勻”；“曲”用數學的語言來說就是“非線性”，物理上稱之為“非均勻”。因此，“以直代曲”就是用線性研究非線性，用均勻來探究非均勻。線性的對象相對容易，因此由簡單的內容探討復雜的非線性確實是一個不錯的選擇。從計算層面上講，微積分實質上是以“導數”為出發點，尋求相應函數的局部性態。

微積分，顧名思義包括微分和積分。一元函數的微分等于導數與自變量改變量的乘積。我們知道導數的幾何意義是切線的斜率，求出函數在一點處的導數，運用點斜式就可得到過改點的切線方程。那么在研究函數的微分時，實際上是在做這樣一件事：用切線來近似代替函數圖像（一般為曲線），進而獲得函數在指定點附近的信息。這一點在微分中值定理中表現的淋漓盡致。比如拉格朗日中值定理，它就是借助函數在區間內某一點的導數值乘以區間長度來計算區間端點處函數值的增量，已被廣泛應用于近似計算中。此外，還可以用導數來研究函數的單調性、極值和最值、凹凸性、曲率等。綜合已得到的信息，最后甚至可以大致描繪出函數的圖形，至此已經把函數刻畫的很清楚了。對于積分，在某種意義上它可看成微分的逆運算。因此，見到函數就計算它的微分和積分，必有斬獲。

二、微積分的教學技巧

教學方法有很多種，就微積分而言，不僅要講清楚基本理論、基本思路和基本方法，還要教會學生如何運用所學的知識來解決問題。在這個知識大爆炸的時代，為了適應人類文明的進步，微積分教學的形式和內容都發生了許多變化。對教學方法來說，這既是機遇也是挑戰。在我看來，以下幾個技巧順應了時代的需求。

1、案例式教學法

微積分教材的結構是有規律可循的，每一節的內容都是從定義出發，引出相應的定理，最后以例題結尾。如果只看書自學的話，即使能看懂，也總是感覺抓不住。這就需要老師具有一定的駕馭能力，能夠把知識講活。首先，在引入新的概念之前，最好講一些相關的背景知識，讓學生清楚為何要研究這個問題，這樣他們容易接受新內容。我們可以從數學史上摘一些經典的例子，也可與實際生活相聯系來說明概念的意義和用途。其實課本上的例題就是很好的案例，但不能單一地只講例子，而要告訴同學們它考察了那些知識點，以及所學的新定義是如何被運用的。案例教學法能有效地培養學生分析問題和解決問題的能力。

2、啟發式教學法

課堂上，老師要不斷地引導學生，鼓勵他們發表自己的見解，通過師生的討論，找到解決問題的辦法。這就打破了傳統的滿堂灌的教學模式。比如在進行例題的講解時，可以先詢問同學們是怎么想的，甚至可以提供機會讓學生走上講臺寫出自己的思路，然后就按學生的想法去做，如果成功了，他們就會產生強烈地成就感，從而產生學習微積分的興趣；若失敗，師生可共同找出原因加以糾正。這種教學法能讓學生在課堂上親身經歷做題過程，刺激他們獨立思考，增強學生積極參與課堂的意識，活躍課堂氣氛。同時師生間的互動和交流，能促使教師及時更新知識，提高教學技能。教學相長，相得益彰。

三、微積分的學習技巧

正確的學習方法很關鍵。就微積分而言，首先要做到課前預習，這樣聽課時才有針對性。課堂上，由于多媒體輔助教學，學生沒要必要用筆不停做筆記，而是要重點聽老師的思路。畢竟數學是理科，需要理解性記憶。最后，上課時聽懂了并不等于你學會了，課后必須做一定量的練習。學數學很像學打球，教練只能告訴你技巧，要想打好，每天堅持訓練是必不可少的。因為現在網絡太方便，很多學生在做題時能從網上找到答案，于是就先看答案再做題，這在無形中剝奪了自己獨立思考問題的能力，對答案產生強烈地依賴性，到考試時還是沒有思路。這是目前大多數學生的壞習慣。因此，一定要嚴格要求自己，實在想不出來了再看答案或者問老師。只有這樣才能發現自己在微積分上的薄弱之處，以便有針對性的復習。實踐證明，這種學習方法對培養學生終身學習的能力很有效。

微積分教學的探索是一個長期的過程，需要各位教師在教學一線大膽嘗試，勇于創新。堅信微積分教學將更加具有科學性、合理性。