奇異分數階Laplacian方程正弱解的存在性及正則性

王興

(西安理工大學理學院,陜西 西安 710054)

1 引言

隨著現代科技的發展,經典的Laplacian算子在描述物理、化學、生物甚至是金融學中的新現象和新的客觀規律時具有很大的局限性.上個世紀八十年代以來,隨著相變理論、反常擴散、黏彈性力學、材料力學、多孔介質力學、多重散射、量子力學、信號和系統識別[1-4]等領域的發展,研究人員發現分數階Laplacian方程相較于整數階微分方程能更好地描述涉及記憶、遺傳效應以及路徑依賴和全局相關性的物理過程.因此,近些年來,分數階微分方程理論及應用方面的研究得到了許多學者的廣泛關注并有著迅猛發展.

本文討論一類來源于非牛頓流體、彈性電介質膜和微型機電系統中的含奇異項的分數階Laplacian方程:

其中?是N維空間RN中的有界光滑區域,是非負函數,λ＞0是實參數.由于所以,稱此類方程為奇異方程.

自上世紀60,70年代以來,含有奇異項的經典Laplacian方程:

得到了廣泛關注.1977年,文獻 [5]利用逼近方法得到,當λ=0,p(x)∈Cα(?)時,奇異Laplacian方程(Q)有唯一的古典解,成為該領域奠基性工作.2001年龍以明院士等[6]利用Ekeland變分原理,研究了次臨界增長下奇異Laplacian方程:

證明了當λ較小時,方程有2個正弱解.2013和2014年,文獻[7-8]將上述工作推廣到臨界情形得到了當λ較小時,上述方程正弱解和古典解的存在性.2017年,文獻[9]又得到了超臨界增長時,上述方程正弱解的存在性與正則性.目前,針對奇異分數階Laplacian方程的研究更為少見.已有的主要工作是,2014年,文獻[10]考慮了如下奇異分數階問題:

其中0＜s＜1,γ＞0.利用擾動方法,作者得到了該問題正弱解的存在唯一性.文獻[11]運用構造逼近解序列的方法,得到了如下具有臨界增長指數的奇異分數階Laplacian方程在特定弱意義下解的存在性和多重性,

其中

本文將在已有工作的基礎上,首次運用閉錐上的臨界點理論,研究非線性項具有任意增長性的奇異分數階Laplacian方程.此方法,為研究奇異分數階方程提供了新的有效途徑.

2 預備知識[12]

定義 2.1設??RN是光滑有界區域,p≥1,s∈(0,1),則分數階Sobolev空間定義為

并賦予范數

特別地,當p=2時,記Hs(?)=Ws,2(?),且Hs(?)依內積

構成Hilbert空間.

定義 2.2設??RN是光滑有界區域,p≥1,s∈(0,1),則分數階Sobolev空間定義為按照范數的完備化空間.特別地,當p=2時,記

定義 2.3設s∈(0,1),定義分數階Laplacian算子(??)s為:

引理 2.4(嵌入定理)設 ??RN是光滑有界區域,s∈(0,1),N＞2s,則存在常數C?=C(N,s,?),使得不等式

成立,其中

定義 2.5若,使得等式

成立,則稱u是問題(P)的弱解.

引理 2.6設λi是Laplacian方程

的特征值,φi是相應的特征函數,s∈(0,1),N ＞2s,則是分數階Laplacian方程的特征值,φi是屬于λsi的特征函數.

根據橢圓方程理論知,引理2.6中的特征函數列φi是L2(?)空間的一組完備正交基,所以可定義如下空間.

定義 2.7設函數u∈L2(?),若存在序列{μi}滿足

使得

則稱u屬于空間H,即

并賦予范數為

由文獻[13]知,空間H在范數‖·‖H下構成Banach空間,且H ?H?s(?).

3 主要結果

定理 3.1設??RN(N≥3)是有界光滑區域,

f(t)是局部Lipschitz函數,滿足下列條件f(0)=0,f(t)＞0,以及

則存在Λ＞0使得當λ∈(0,Λ)時,方程(P)至少有一個正弱解

其中λ1,φ1分別是Laplacian方程的最小特征值及其特征函數.

注 3.1由于分數階Laplacian方程(P)具有奇異非線性項p(x)u?γ,所以方程(P)相應的能量泛函

在全空間不是Frechet可微的.因此不能直接運用臨界點理論尋求方程的弱解,這給問題的研究帶來本質上的困難.經過計算發現,當能量泛函限制在正則函數構成的閉錐上是Frechet可微的.所以,針對奇異分數階Laplacian方程我們首次運用閉錐上的臨界點理論證明定理3.1.

4 定理3.1的證明

令

顯然E是分數階Sobolev空間的稠密子集,且對于任意的ε＞0集合是E的閉錐.下面給出能量泛函在閉錐上的Frechet可微性.

引理 4.1能量泛函Jλ(u)在上Frechet可微,且在弱意義下Jλ(u)的Frechet導數為:

證明首先令

則

因此

即在弱意義下有J1′u=u成立.

其次,令

下證J2(u)在閉凸集上Frechet可微.對于任意取定的以及任意ν ∈E,當t充分小時由積分中值定理得

其中θ(x)∈[0,1]是?上的可測函數.注意到由u≥εφ1,可得

意義的.進一步計算得

即在弱意義下有J2′(u)=K(p(x)u?γ).

最后令

利用f的局部Lipchitz連續性,令t→0,得

因此,在弱意義下有J3′u=K(f).綜合上述討論可得Jλ(u)在 Πε上Frechet可微,且引理4.1得證.

引理 4.2對于任意取定的λ＞0,若是方程 (P)的正弱解,則存在實數ε(λ)＞0 使得u ∈Πε(λ).

證明由定理3.1的 (F1)得:存在常數M1＞0,δ1＞0,使得當

時,有

再由定理3.1的(F2)得:存在常數M2＞0,δ2＞0使得,當

時有

因此,由定義 2.7,存在h(x)∈H?s(?),使得

即在弱意義下有

由文獻 [13]中引理2.4和引理2.5得:存在緊子集ω???,有ηω=essinf|ωu＞0;且存在常數Cω＞0使得u(x)＞ Cωd(x),?x∈?ω,其中d(x)=d(x,??)是點x到邊界?? 的距離.從而,再利用φ1的整體正則性得:存在常數ε(λ)＞0,使得u(x)≥ ε(λ)φ1(x),?x∈?.

進一步,得

由文獻[14]中的定理1.5得:正弱解

因此,存在實數ε(λ)＞0 使得u ∈Πε(λ).

引理4.2得證.

引理 4.3存在 Λ＞0,使得當λ∈(0,Λ),條件(F1)與(F2)成立時,能量泛函Jλ(u)在閉錐 Πε(λ)上滿足 PS 條件.

證明設{un}?Πε(λ)是Jλ(u)對應的PS序列,即|Jλ(un)|≤C,且下證{un}有子列在Πε(λ)中收斂.因為所以對任意的有

特別地,取φ=un,得

因此可得

另一方面,由(1)式和H?lder不等式知,存在C′＞0使得

由條件(F1)與(F2)得:存在常數C′＞0使得

由引理2.4的(1)式,上式(4)可進一步放縮為:

將(3),(5)式代入(2)式得

顯然存在充分小的 Λ＞0,使得當λ∈(0,Λ)時,有 1?λC′C?＞0.從而由 (6)式得有界,即{un}是中的有界集.

另一方面,由引理4.1得:

因此

其中 (7)式左邊的K=(??)?s是緊算子.借助于{un}的有界性,得到o(1)+Kgλ(x,un)是中的列緊集.因此 (7)式右端的{un}是中的列緊集,所以有子列在中強收斂于

因此,u ≥ ε(λ)φ1,且運用引理4.2同樣的證明方法,得到綜上得u ∈Πε(λ),所以Jλ(u)在閉錐 Πε(λ)上滿足 PS 條件.

引理4.3得證.

定理 3.1的證明由于Jλ(u)在閉錐Πε(λ)上滿足PS條件,由變分學知識,我們只需證明能量泛函Jλ(u)是強制的.從而Jλ(u)在Πε(λ)上存在臨界點,即為方程(P)的正弱解.

由(3)式,存在常數C1＞0使得對于任意的u∈Hs0(?),有

由條件(F1)得:存在常數N1＞0,ε1＞0,使得當x∈?1={∈?|0≤u(x)＜N1}時,有

由條件(F2)得:存在常數N2＞N1,ε2＞0,使得當x∈?2={∈?|u(x)＞N2}時,有

顯然,當x∈?(?1∪?2)時有N1≤u(x)＜N2.因此,存在常數C2＞0,使得

從而

因此,由 (8),(10)以及 (1)得:對于任意的u∈Πε(λ),有

所以,Jλ(u)在閉錐Πε(λ)上是強制的下方有界的.

定理3.1得證.

[1]Caffarelli L.Further regularity for the Signorini problem[J].Comm.Partial Differential Equations,1979,4:1067-1075.

[2]Caffarelli L,Vasseur A.Drift diffusion equations with fractional diffusion and the quasi-geostrophic equation[J].Annals of Mathematics.Second Series,2010,171:1903-1930.

[3]Craig W,Groves M.Hamiltonian long-wave approximations to the water-wave problem[J].Wave Motion,1994,19:367-389.

[4]Craig W,Schanz U,Sulem C.The modulational regime of three-dimensional water waves and the Davey-Stewartson system[J].Ann.Inst.H.Poincare,Anal.Non-Lineaire,1997,14:615-667.

[5]Crandall M G,Rabinowitz P H,Tartar L.On a Dirichlet problem with a singular nonlinearity[J].Comm.Partial Differential Equations,1997,2:193-222.

[6]Sun Y J,Wu S P,Long Y M.Combined effects of singular and superlinear nonlinearities in some singular boundary value problems[J].J.Differential Equations,2001,176:511-531.

[7]Wang X,Zhao L,Zhao P H.Combined effects of singular and critical nonlinearities in elliptic problems[J].Nonlinear Anal.,2013,87:1-10.

[8]Wang X,Zhao P H,Zhang L.The existence and multiplicity of classical positive solutions for a singular nonlinear elliptic problem with any growth[J].Nonlinear Anal.,2014,101:37-46.

[9]Wang X,Qin X Q,Hu G.Existence of weak positive solution for a singular elliptic problem with supercritical nonlinearity[J].Anal.Math.Phys.(2017).http://doi.org/10.1007/s13324-016-0162-4.

[10]Fang Y.Existence,uniqueness of positive solution to a fractional Laplacians with singular nonlinearity[J].Mathematic.Preprint(2014),http://arxiv.org/pdf/1403.3149.pdf.

[11]Mukherjee T,Sreenadh K.Critical growth fractional elliptic problem with singular Nonlinearities[J].Preprint(2017),http://arxiv.org/pdf/1602.07886.pdf.

[12]Giovanni M B,Vicentiu D R,Raffaella S.Variational Methods for Nonlocal Fractional Problems[M].Cambridge:Cambridge University Press,2016.

[13]Capella A,Davila J,Dupaigne L,et al.Regularity of radial extremal solutions for some non-local semilinear equations[J].Comm.Partial Differential Equations,2011,36(8):1384-1353.

[14]Caffarelli L,RaulStinga P.Fractional elliptic equations,Caccioppoli estimates and regularity[J].Ann.Inst.H.PoincaréAnal.Non-Linéaire,2016,33:767-807.