二維非齊次不可壓縮Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck方程組的漸近分析

蘇云飛,姚磊

(西北大學數學學院,陜西 西安 710127)

1 引言

本文研究了二維空間中非齊次不可壓縮Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck方程組的漸近分析,這類方程組應用在各種工業問題中,如沉降問題,廢水處理,化學工藝[1-3]等方面.一方面,從微觀的角度考慮,粒子的運動是由依賴于時間t∈[0,T],空間位置x∈T2,粒子的速度v∈R2的分布函數f(x,v,t)描述的,滿足Vlasov-Fokker-Planck方程：

其中Fd=F0(u(x,t)?v),不失一般性令F0=1.

另一方面,流體是通過宏觀量描述,其中ρ(x,t)≥0是密度,u(x,t)∈R2是速度場,這些量滿足非齊次不可壓縮Navier-Stokes方程

其中

且假設壓力p=Aργ,不失一般性令A=1.

關于流體-粒子模型解的適定性問題已被廣泛研究,許多學者研究了流體-粒子模型解的全局存在性結果.文獻[4]討論了在有界區域中,Vlasov-Stokes方程組弱解的全局存在性和大時間行為.其次,文獻[5]證明了在三維周期區域中,不可壓縮Navier-Stokes-Vlasov方程組弱解的整體性.文獻[6]討論了不可壓縮Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck方程組在二維空間和三維空間中弱解的全局存在性以及二維空間中光滑解的全局存在性和唯一性.接下來,文獻[7-8]分別研究了三維有界區域中非齊次不可壓縮Navier-Stokes-Vlasov方程組和不可壓縮Navier-Stokes-Vlasov方程組弱解的全局存在性.在可壓縮的情況下,文獻[9]討論了在三維有界區域中可壓縮Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck方程組弱解的全局存在性.還有一些其它相關模型的解的存在性結果,讀者可以參看文獻[10-11].

本文主要研究下列方程組的漸近性(ε→0),

初始條件為:

其中x∈T2表示空間變量,t∈[0,T]表示時間變量,v∈R2表示粒子的速度,pε表示壓力,且

為了克服邊界條件的影響,這里討論二維周期區域T2.

近年來,有許多關于流體 -粒子模型的流體動力學極限的結果.對于一維的情形,文獻[12]討論了Vlasov方程與粘性Burgers方程耦合的方程組的動力學極限和分層極限.在多維情況下,文獻[13]證明了在三維有界區域中可壓縮Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck方程組的流體動力學極限結果.文獻[14-15]分別研究了在輕粒子和好粒子兩種情形下,不可縮Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck方程組的兩種流體動力學極限.文獻[16]基于相對熵和弱緊性方法研究了Vlasov型方程的流體動力學極限.關于其它相關模型的漸近分析研究,讀者可以參看文獻[17-18].

這篇論文主要是討論問題(3)-問題(4)的漸近極限,其極限解(n,ρ,u)滿足下列方程:

這篇文章的結構安排如下:第二部分做能量估計并陳述文章的主要結果;第三部分得到一些與ε無關的一致估計,并取極限,完成定理的證明.

2 主要結果

2.1 能量估計

首先,(3)1兩邊同時乘以再關于x和v求積分,得

其次,(3)3兩邊同時乘以uε,再關于x求積分,得

最后,結合上面兩個等式有:

其中,令

因此,將上式關于t積分可得

注 1.1關于二維空間非齊次不可壓縮Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck方程組弱解的全局存在性,結合文獻[4,19]可以得到.

2.2 主要結果

定理 2.1設初值滿足:

ρε0在L1(T2) 中收斂到ρ0.

那么,存在子列 (仍記為本身)使得下列收斂性成立:nε在中收斂到n,ρε在C([0,T];Lp(T2))中強收斂到在中強收斂到

uε在Lθ(0,T;Lr(T2))中強收斂到u,其中 1≤θ＜2.這里 (n,ρ,u)滿足其中

注 2.1定理2.1將文獻[14]的結果推廣到非齊次不可壓縮的情形.

3 定理2.1的證明

3.1 一致估計

命題 3.1在定理 2.1的假設前提下,設(fε,ρε,uε)是問題 (3)-問題 (4)的一個弱解,則下列估計成立:

(i)uε在L2(0,T;H1(T2))中有界;

(ii)fε(1+v2+|ln(fε)|)在L∞(0,T;L1(T2×R2))中有界;

證明首先,從能量估計(6)式可以得到(i)和(ii)中的第二項估計成立;其次,通過質量守恒

得到fε在L∞(0,T;L1(T2×R2))中有界.

接下來,證明(ii)中的第三項估計成立.

引入

令ω≥0,那么

取s=fε,ω=v2/8,則有

將此式與(6)式結合,可得

從而可以得出(ii)中的第三項成立.綜上,命題3.1得證.

其次,我們要對與微觀量fε相關的量做估計.

命題 3.2在定理 2.1的假設前提下,設 (fε,ρε,uε)是問題 (3)-問題 (4)的一個弱解,則下列估計成立:

(i)nε(1+|ln(nε)|)在L∞(0,T;L1(T2))中有界;

(ii)Jε?nεuε在L2(0,T;L1(T2))中有界.

證明首先,從命題3.1中的質量守恒可得到nε在L∞(0,T;L1(T2))中有界.

其次,因為h(s)=sln(s)是凸函數,所以由Jensen不等式得

那么有

則有

所以nε(1+|ln(nε)|)在L∞(0,T;L1(T2))中有界.

對于 (ii),有

則

所以Jε?nεuε在L2(0,T;L1(T2))中有界.

為了證相關結論,需要用到二維空間的一個引理.

引理 3.1[14]設?是R2中的有界區域,Φ∈L2(0,T;H10(?)).設n≥0滿足

那么存在僅依賴于?的常數C,使得下列不等式成立

命題 3.3在定理 2.1的假設前提下,設(fε,ρε,uε)是問題 (3)-問題 (4)的一個弱解,則下列估計成立:

(ii)對任意的 0＜T＜∞,BR?T2,nεuε在L2(0,T;L1(BR))中有界.

證明利用引理3.1,對令則

因此nεuε在L2(0,T;L1(BR))中有界.

最后,由于

所以Jε在L2(0,T;L1(BR))有界.

為取ε→0的極限,還需要用到如下結論.

引理 3.2[19]設X是可分,自反的Banach空間,Y是Banach空間使得X嵌入到Y,Y′是可分的,且在X′中稠密.假設gn滿足:對于1＜p≤∞時,

那么gn在C0([0,T];Xweak)中是相對緊的.

3.2 取極限

步驟 1極限方程的推導.

由上述估計,那么存在子列（記為本身）使得

(i)在L1((0,T)×T2)中,nε?n;

(ii)在D′((0,T)×T2)的意義下,Jε?J;

(iii)在L2(0,T;H1(T2))中,uε?u;

(iv)在L2((0,T)×T2)中,?xuε? ?xu;

(v)在D′((0,T)×T2)的意義下,

對于動力學方程,首先,(3)1關于v求積分得

當ε→0時,在分布的意義下,

成立.由于nε在L∞(0,T;L1(T2))中有界,Jε在L2(0,T;L1(T2))中有界,利用(7)式可得?tnε在L2(0,T;W?1,1(T2))中有界,因此利用引理3.2的結論可得在中nε收斂到n.

給(3)1式兩邊同時乘以v,再關于v求積分,并利用分部積分得

從而有

且

對(9)式的右邊第一項關于x,t求積分,結合Cauchy-Schwarz不等式,在關于ε一致有界的前提下,可以得出被O(ε)控制.右邊第二項在分布的意義下趨于0,即對任意的有

且第三項是nεI,從而在分布的意義下:

于是當ε→0時,有

對于流體方程,由上述得到在分布的意義下,?xn是nεuε?Jε的極限(ε→0),如果進一步可得到ρε,uε的強收斂,則有

于是得到下列極限問題滿足的方程組:

步驟 2證明ρε,uε的強收斂性.

首先,方程(3)2關于x求積分得

則

從而ρε在C([0,T];L1(BR))(?R∈(0,∞))中有界,且由能量不等式可得uε在L2(0,T;H1(T2))中有界.

接著,引入特征線X(s;x,t),滿足

則

從而

所以由假設

(a)0＜C1≤ ρε0≤C2,有C1≤ ρε≤C2;

(b)另外,在 T2×(0,T)上,幾乎處處成立,

(c)在分布的意義下,

成立;

(d)在L1(T2)中,在L2(0,T;H1(T2))中,

由 (a),ρε0在Lp(T2))(1≤ p＜ ∞)中收斂到ρ0,且由 (b)可得,在 T2×(0,T)上,divxuε=0幾乎處處成立.

其次,由能量不等式可得ρε|uε|2在L∞(0,T;L1(T2))中有界,由 (a)可得ρε是一致有界的,則

那么ρεuε?uε在中有界,這表明在中有界.

另外,△xuε在L2(0,T;H?1(T2))中有界.利用命題 3.2有Jε?nεuε在

中有界.

因此,?t(ρεuε) 在中有界.進一步,對任意的且 divφ=0,有

應用文獻[20]中的定理2.4得到下列收斂:

(i)ρε(或)在C([0,T];Lp(T2))(1≤p＜ ∞)中強收斂到

(iii)uε在Lθ(0,T;Lr(T2))中強收斂到u,其中1≤θ＜2,1≤r＜∞,ρ≥C1.

步驟3 證明其中

在分布的意義下,nεuε弱收斂到那么只需證明下面的引理,再利用極限的唯一性,則可以說明

引理 3.3在分布的意義下,nεuε收斂到nu,即v=nu.

證明首先,由命題3.2可得nε|ln(nε)|在L∞(0,∞;L1(T2))中有界.對有

由于nε在L1((0,T)×T2)中弱收斂到n,所以有

同理,利用uε在Lθ(0,T;Lr(T2))中強收斂到u,可得

其中θ′和r′分別為θ和r的共軛指標.

若能夠進一步證明

和

成立,則完成證明.首先,

其次,

然而,當M →0時,meas({|uφ|＞M})→0.所以由 Dunford-Pettis定理,nε和n的等度可積性,可得

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