齊次化思想在解題中的應用探索

藍云波 張剛

摘 要：齊次化是數學解題的重要方法，通過在教學中對齊次化方法的深入探究，引導學生挖掘出齊次化的本質其實就是化兩元為一元，減少代數字母數量，從而使齊次化方法上升為一類解題思路。這種轉化思路在解決三角函數問題、求取值范圍問題、解析幾何問題、證明不等式、證明數列不等式、函數綜合問題等方面都可以得到廣泛的應用。教師應當通過設置不同角度的問題引領學生自主探究，促進學生理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向，將數學運算這個學科素養的發展落到實處。

關鍵詞：齊次化；優化解題；解題思想；學科素養

中圖分類號：G633.62 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2018）02-0009-05

齊次式各項的次數相同，因而具有對稱美和結構美的特征，這使得運算的處理往往會更容易、更簡潔、更容易發現規律。同時，對于一些涉及非齊次式的數學問題，如果學生能夠結合題設條件，將其轉化為齊次式問題來處理，則往往能化繁為簡，優化解題過程，起到事半功倍的效果。齊次化方法的本質是消參思想，齊次化運算步驟是各類考試中普遍熱點，是對學生數學運算這個學科素養的具體考察——要求學生“理解運算對象”，合理構造滿足題干條件的算式；“掌握運算法則”，能夠正確運用所學的數學概念、公式、定理；“探究運算方向”——消除待求算式中與題干無關的參數。筆者以近年來的各類試題為例，包括三角函數、代數式取值范圍、解析幾何、證明代數不等式、證明數列不等式、函數與導數等方面的齊次化解法，供廣大一線數學教師作為授課參考。

一、三角函數問題

考點是源于教材，如人教A版必修④第一章《三角函數》中的一道習題：已tanα=2知，求的值.解題思路是將該分式轉化為只關于tanα的式子。以下這道高考試題就可以看作本例題的一個變式。

【例1】（2015年高考廣東卷）已知tanα=2.

（1）求tanα+的值；

（2）求的值.

【解析】（1）tanα+=-3（略）；

（2）

=

=

=

===1

【點評】本題的第二問表面上不是齊次式，但在通過化簡和變形后，可化為一個關于cosα的二次齊次式。所用到的思想方法和課本上的習題如出一轍。這體現出高考源于課本而高于課本的命題原則。齊次化的目標是化多變量為單變量，如例1本來同時含有sinα，cosα，但在通過分子和分母同除以cosα之后，便轉化成只含有tanα的式子。

二、求取值范圍

關于求解在某個條件下代數式的取值范圍或最值的問題，此時教師需要引導學生把所求的代數式設為一個參變量，通過適當的運算代入已知條件中，并設法實現齊次化。

【例2】（2016年河北省高中數學競賽）實數x，y滿足x2+y2+xy=3，則x2+y2的取值范圍是 .

【解析】設S=x2+y2，則=1，

故x2+y2+xy=3·，

整理得（S-3）y2+Sxy+（S-3）x2=0.

①當x=0時，由x2+y2+xy=3，得y2=3

此時S=x2+y2=3.

②當x≠0時，且S≠3時，

方程（S-3）y2+Sxy+（S-3）x2=0，

可化為（S-3）2+S·+（S-3）=0.視此式為關于的一元二次方程，

則有△=S2-4（S-3）2≥0，即S2-8S+12≤0，結合S≠3，可解得2≤S≤6且S≠3.

由①②知2≤S≤6，故x2+y2的取值范圍是[2，6].

【點評】取值范圍問題的常見解法是利用基本不等式進行求解，技巧性較強。本題的關鍵是通過把=1代入已知條件并實現齊次化，然后利用整體思想將原題轉化為關于的一元二次方程有解問題，使問題的思路清晰，直接套用公式求取答案。

三、解析幾何問題

眾所周知，在各類考試中，解析幾何解答題通常以運算量大著稱，解題的最核心的方法是設而不求，在涉及直線與圓錐曲線的位置關系的問題中，常見的做法是曲線方程組進行消元。然而筆者發現，構造齊次式是解答解析幾何題的一大利器，具有一定的通性通法，視角獨特，令人耳目一新！由橢圓與雙曲線的離心率公式e=可知，若能在解題中，設法構建出關于a，c的n次齊次式，然后再同除以an，離心率問題便能快速實現問題的解決。

【例3】（2016年甘肅高中數學聯賽）雙曲線-=1（a>1，b>0）的焦距為2c，直線l過點（a，0）和（0，b），且點（1，0）到直線l的距離與點（-1，0）到直線l的距離之和s≥c，則雙曲線離心率e的取值范圍是 .

【解析】 依題意可設直線l的方程為

+=1，即bx+ay-ab=0.

所以點（1，0）到直線l的距離

d1=，又因為a>1，

所以d1=.

又因為點到直線的距離.

所以s=d1+d2=+

==.

由s≥c得≥c，即5ab≥2c2，

所以5a≥2c2，

所以25a2（c2-a2）≥4c4，

即4c4-25a2c2+25a4≤0，

所以4·4-25·2+25≤0，

即4e4-25e2+25≤0，解得≤e≤5，

又e>1，所以≤e≤。即雙曲線離心率的取值范圍是[，].

【點評】本題是經典的可通過構造齊次式解決的離心率問題，通過消去b，并構建不等式，得到一個關于a，c的四次齊次式，然后同除以a4，轉化為單變量問題，問題便迎刃而解.

【例4】（2015年廣東省高中數學聯賽）設拋物線y2=2px（p>0）上有兩個動點A（x1，y1）（y1>0），B（x2，y2）（y2<0）.

（1）設直線AB的連線與x軸交于C，拋物線在A、B的切線的焦點坐標D（x3，y3），證明：OD+x3=0，其中為O坐標原點；

（2）若OA⊥OB，求線段AB的中點的軌跡方程.

【解析】（1）略；

（2）設AB中點為M（x0，y0），直線AB方程為mx+ny=1，聯立y2=2pxmx+ny=1.

齊次化可得y2=2px（mx+ny），

即2-2mp-2mp=0。

由韋達定理可得·=-2mp，又·=-1，

所以-2mp=-1，即m=.

所以直線AB恒過定點（2p，0）.

以下對直線AB的斜率分兩種情形討論：

①若直線AB的斜率存在，

則kAB===；

又因為kBM=，且kAB=kBM，

所以=，即y=p（x0-2p）；

②若直線AB斜率不存在，此時M的坐標為（2p，0），它顯然滿足y=p（x0-2p）；綜上所述，AB中點軌跡方程為y2=p（x-2p）.

【點評】本題通過使用齊次化思想，可以大幅減低運算量，提高解題效率。

四、證明不等式

不等式的證明是高中數學競賽的重要考點，具有舉足輕重的地位。由于其方法繁多，技巧性極強，因此通常難度較大。在不等式的證明方法中，齊次化是一種較為重要的方法，通過齊次化處理，使得不等式更對稱、更完美，使得問題的難度降低，從而有利于求解。

【例5】（2014年全國高中數學聯賽二試）設實數a，b，c滿足a+b+c=1，abc>0。

求證：ab+bc+ca<+.

【證明】不妨設a≥b≥c.

（1）若c>0，因為a+b+c=1，故（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，原不等式等價于ab+bc+ca<+，即等價于的齊次式：2（ab+bc+ca）-（a2+b2+c2）<

2.

若2（ab+bc+ca）≤（a2+b2+c2），原不等式顯然成立；

若2（ab+bc+ca）>（a2+b2+c2），兩邊平方后等價于∑a4+6∑a2b2<4∑（a3b+ab3）.

注意到

2（ab+bc+ca）-（a2+b2+c2）·

（a2+b2+c2）-（ab+bc+ca）=

3∑（a3b+ab3）-4∑a2b2-abc（a+b+c）-∑a4≥0

故有4∑（a3b+ab3）>∑（a3b+ab3）+∑a4+4∑a2b2≥∑a4+6∑a2b2，故原不等式成立.

（2）若c<0，則b<0，a>0，

ab+bc+ca≤a（b+c）+

=（b+c）<0<+.

綜上，原不等式得證.

【點評】本題的難點在于c>0時的證明，本文給出的解法的關鍵是通過a+b+c=1這個條件，并通過平方之后，從而使得所要證明的不等式化為一個四次齊次式從而使問題的方向更明確，并最終實現問題的圓滿解決.

五、證明數列不等式

前面所舉的例題都是都過化為完全齊次式使問題得到巧妙的解決的。事實上，對于某些不能完全化為齊次式的問題，也可以利用相關的思想方法使問題得到完美的解決。這類問題，由于式子中只是部分齊次的，故可以稱之為部分齊次問題。這樣，可以使齊次化方法得到更為廣泛的應用，在指導學生備考階段有助于其拓展視野。以下是一道具有獨特處理方法的經典考題。

【例6】（2011年高考廣東卷理科）設b>0，

數列an滿足a1=b，an=（n≥2）.

（1）求數列an的通項公式；

（2）證明：對于一切正整數n，an≤+1.

【解析】（1）an=2，b≠2b≠2略；

（2）若b=2，顯然成立；

若b≠2，要證an≤+1，

即證≤+1，

即≤n+1+1.

令x=，不等式轉化為≤xn+1+1，

若x>1，不等式可化為

f（x）=x2n+1-（2n+1）xn+1+（2n+1）xn-1≥0（*）

注意到f（1）=0，

而f′（x）=（2n+1）x2n-（2n+1）（n+1）xn+n（2n+1）xn-1

=xn-1（2n+1）xn+1-（2n+1）（n+1）x+n（2n+1）

令g（x）

=（2n+1）xn+1-（2n+1）（n+1）x+n（2n+1），

且g（1）=0，

g′（x）=（2n+1）（n+1）xn-（2n+1）（n+1）>0，

故g（x）在（1，+∞）上單調遞增，

所以g（x）>g（1）=0，

故f′（x）>0，故f（x）在（1，+∞）上單調遞增，

所以f（x）>f（1）=0，所以（*）得證；

若0

綜上，對于一切正整數n，an≤+1.

【點評】本題官方給出的答案是利用試卷中給出的一個參考公式進行解答的，事實上，不用這個參考公式同樣可以使問題得到解決。本題中，雖然不能化為完全的齊次式，但是通過觀察發現，在≤+1中，，雖然不是齊次式，但是卻是齊次式，故可順手推舟，轉化為用n表示，從而實現問題維度的降低，最后再通過導數轉化為一個簡單的不等式的證明.

六、函數綜合問題

近幾年，隨著高考命題工作的不斷探索，函數與導數的問題興起了雙變量問題。對于這類問題，雖然也不能化為完全齊次式，但是卻同樣可化為部分齊次問題。

【例7】（2016年湖南省高中數學聯賽）已知函數f（x）=xlnx-mx2-x，m∈R.

（1）當m=-2時，求函數f（x）的所有零點；

（2）若f（x）有兩個極值點x1，x2，且x1e2.

【解析】（1）略；

（2）若f（x）有兩個極值點x1，x2，

則導函數f′（x）有兩個零點x1，x2.

由f′（x）=1nx-mx，

可知1nx1-mx1=01nx2-mx2=0要證x1x2>e2，

即證明1nx1+1nx2>2.

由1nx1-mx1=01nx2-mx2=0得m=，

m=.

所以=，

即1nx1+1nx2=.

故只需證>2，

因為x1

即證1n-<0，設t=，則0

故只需證1nt-<0（0

設g（t）=1nt-（0

故只需證g（t）<0.

因為g′（t）=-=>0。

所以g（t）在（0，1）上單調遞增，

所以g（t）e2得證.

【點評】本題以重要不等式——對數平均不等式為背景，考查了導數在研究函數中的綜合運用，解題的關鍵在于對通過等價轉化后，雙變量的處理，解答過程使用了消元思想，解題的關鍵把>2化為1nx1-1nx2<，右邊局部是一個一次齊次式，在通過化為用表示的不等式后，要構造的函數便呼之欲出.需要注意的是，在近幾年的各類考試中，以對數平均不等式為背景的試題屢見不鮮，且常考常新，應引起足夠的重視。

通過以上的案例可以說明，齊次化是源于課本的一種非常重要的數學方法。齊次化的本質就是通過代數變形，減少字母量，以此降低解題的維度。將齊次化僅僅作為一種解題策略實施教學是不夠的，應當使其升華成發展數學學科素養的手段，并指導學生更為高效地解決數學問題。

教師在平時的備課中，要重視對課本的理解和挖掘，并從中找出體現數學思想，并引導學生在實踐中運用。對重要的數學思想，教師還應使其從不同角度呈現出來，提高知識系統與數學思想的整合性，以達到提高學生數學素養的目的。

參考文獻：

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[2]藍云波.例談圓錐曲線問題的幾種解題新途徑[J].數學教學，2016，（8）：32～36.

[3]藍云波.活躍在各類考試中的對數平均不等式[J].數學通訊（下半月），2016，（2）：26～29.