一種特殊的非均勻水聲陣列稀疏重構方法

嚴雨霞，王 彪

(1.江蘇科技大學 電子信息學院，江蘇 鎮江 212003；2.水聲對抗技術重點實驗室，北京 100094)

0 引 言

波達方向[1]（Direction Of Arrival，DOA）估計被廣泛應用于各個領域，如無線電通信、雷達、聲吶超分辨、導航、地震探測和醫學等。而水下目標DOA估計[2]也有著極其重要的作用，如軍事偵察中通過被動聲吶系統，利用跟蹤目標的波達方向，捕獲諸如艦船和潛艇的輻射噪聲信息，從而獲得目標信息。

目前，空間譜估計算法的研究大多數基于均勻線性陣列上進行。最早提出的DOA估計算法是基于陣列的，即常規波束形成（Conventional Beamforming，CBF）法[3]，但其方位估計精度較低，且在一個波束寬度內無法分辨不同的空間信號。子空間分解類算法中最具代表性的是多重信號分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法[4, 5]，由于陣列接收數據的信號子空間與噪聲子空間相互正交，從而能構造空間譜函數，實現了超分辨DOA估計。但是這類算法要實現DOA估計，需要利用空間平滑等方法，嚴重地損失了陣列孔徑，算法的估計精度極大地降低，持續采樣耗時也較長。子空間擬合算法較典型的是極大似然[6-7]（Maximum Likelihood，ML）算法，這種算法不會損失陣列孔徑，由于這類算法本質上是尋找非線性函數最優解的過程，因而需要進行多維搜索，導致巨大的運算量及較長的估計時間。

在上述傳統的基于均勻線陣的DOA估計方法中，要達到擴展陣列孔徑、提高算法的空間測角分辨力的目的，只能增加陣元數，但是這會導致工程成本的急劇增加。此外，在實際環境中要實現每個相鄰陣元之間的間隔完全相等，具有一定的難度。而非均勻線陣[8–9]（Non-uniform Linear Array，NLA）能充分擴展陣列孔徑，但其并不增加陣元數。在進行水聲傳感器排布時，它的結構特點使得排布方式具有很大的靈活性。因此研究非均勻水聲陣列及其處理方法具有極大的實際意義。

壓縮感知[10-12]（Compressive Sensing，CS）理論是信息論和信號處理領域的一項新興技術。與傳統奈圭斯特采樣定理相比較，它的優點在于只要信號是可壓縮的或在某個變換域是稀疏的，那么就可以用一個與變換基不相關的觀測矩陣將變換所得高維信號投影到一個低維空間上。再通過求解一個優化問題，然后以高概率從這些少量的投影中重構出原始信號。這種方法的主要優勢在于陣元分布形式、接收信號的相干性都不會對DOA估計性能造成影響，而且其有比較低的快拍數要求，從而較好地重構信號。

現階段，壓縮感知DOA估計的研究大都以均勻線陣為基礎進行。最早將稀疏性的思想與陣列DOA估計相結合的是Malioutov等[13]，所提出的陣列模型是陣元數目一定、陣元間隔相等的一個均勻線陣，然后通過對空間角度的離散化建立稀疏重構模型；A.R.Kulaib等[14]提出均勻圓陣DOA估計的方法，將圓陣轉換為虛擬均勻線陣，由此得到的虛擬線陣進行壓縮感知DOA估計的方法與普通的均勻線陣一樣，但是這種方法計算量明顯增加；此后又有學者提出利用方型陣來實現DOA估計，但是方型陣結構復雜，需要硬件資源較多；Jian-Feng Gu等[15]提出由2個均勻線陣組成的L型陣列進行二維DOA估計，其具有較高的估計精度，但計算復雜度較大。為了解決陣元數對陣列孔徑的限制這一問題，眾多學者又提出了非均勻線陣的壓縮感知DOA估計方法。Piya pal等[16]提出一種基于累積量的非均勻線陣波達方向估計方法，但其計算量較大；文獻[17]提出一種快速求根的MUSIC方法，根據小角度范圍內的導向矢量有著可以利用低階多項式很好近似的特性，該方法將非均勻線陣DOA估計問題轉化為組低階實多項式求根問題。雖然在工程應用中適用，但還是存在高計算量的問題。

為了提高DOA測向精度，均勻陣列需要增加陣元數目，從而擴大陣列孔徑，但其增加了工程成本；傳統非均勻陣列DOA估計則存在高計算量的問題。針對上述問題，本文提出了一種特殊的非均勻水聲陣列稀疏重構方法，通過改進非均勻陣列的形成方式，以2個均勻線性子陣組成一個非均勻線陣，再利用壓縮感知稀疏重構的方法進行方向波達角估計。在相同條件下，該方法可以利用更少的陣元識別更多的目標；在低先驗知識、低信噪比條件下，能夠提高水聲陣列的測向精度。

1 陣列信號模型

圖1是2個位于同一水平線上的均勻子線陣，這2個子線陣互相穿插形成一個非均勻線陣[18–20]，如圖2所示。其中子陣1的陣元個數為N，陣元間距為Md0，這N個陣元的位置集合為；子陣2的陣元個數為2M–1，陣元間距為Nd0，這2M–1個陣元的位置集合為。因為這2個陣列在0位置共用一個陣元，所以得到的非均勻線陣為2M+N–1個陣元。M和N是滿足互質關系的2個整數，且M＜N。單位間隔d0為入射信號的半波長。

圖1 均勻線性子陣列Fig.1 Uniform linear sub-array

圖2 非均勻線陣Fig.2 Non-uniform linear array

假設有K個遠場信號，分別以方位角入射到非均勻陣列，且滿足t時刻陣列接收的信號可以表示為

2 稀疏重構模型

由壓縮感知理論和式（1）可得，稀疏表示的水聲目標DOA估計問題可以表示為：

式中：Φ為M×N的高斯隨機測量矩陣；為陣列的稀疏表示。從式（2）可以看出，陣列輸出是一個M×1矢量，由于M＜N，所以比傳統陣列輸出的值要小的多，從而減少了陣列輸出的數據量。這也就降低了對陣列硬件的要求和減小了數據處理的計算量。

為了保證估計的精度，需要多次采樣快拍，那么式（2）可以重寫為

3 特殊的非均勻水聲陣列稀疏重構方法

3.1 特殊的非均勻陣列分析

根據以上信號模型及假設條件，非均勻線陣的陣元間距可以大于信號半波長，但當陣元位置設置不良時將會導致柵瓣效應，使DOA估計出現模糊。本文的非均勻陣列在進行水聲信號DOA估計時，對水下空域目標信號采樣，把陣列的輸出信號轉換成虛擬陣列接收矢量，選擇無冗余的虛擬接收信號。

其中：p，q由虛擬陣元位置信息經過數學運算后得到。

根據實際應用，對yr進一步改進，得

3.2 特殊的非均勻陣列稀疏重構方法

將式（6）進行矢量化得

其中，b表示水聲信號空域稀疏向量。

本文以壓縮感知理論為基礎，提出用稀疏重構的方法求解式（7）。式（7）轉換為約束最小值問題：

其中，ε為特殊規定的邊界值。定義則式（8）變換為

根據入射信號源具有的空域稀疏特性，本文按如下方法構造B：將信號入射空域進行離散采樣，可將整個水下觀測空域離散為Q個角度，如式（10）所示：

求解式（9）屬于凸優化問題，可以利用CVX工具箱解決。CVX可以使上述規劃問題轉化為特殊的形式，使得上述復雜的規劃問題得到簡化，從而可以利用凸優化工具箱有效解決問題。

根據重構得到的信號矩陣b中，不為0元素所在向量的位置與水域空間方位角度的對應關系，可以估計出每個信號的角度。

4 仿真結果與分析

在上述理論基礎上，信號為遠場窄帶信號時，利用Matlab仿真。

仿真1：設2個均勻子陣線陣1、線陣2的陣元數分別為3，5，則非均勻陣列的陣元位置集合為S=仿真得到實際陣列位置矢量v如圖3所示，從而得到虛擬陣元位置集合。

圖3 實際陣列位置矢量信息Fig.3 Vector information of actual array position

仿真2：設2個均勻子陣的陣元數分別為3和4，陣元總數為9，單位間隔d0為入射信號波長的一半。水下空域2個非相干窄帶信號分別以和方向入射，信噪比為3 dB，快拍數N=1 000，圖4給出了本文算法的歸一化空間譜圖。從圖4可以看出：利用水聲信號源的空域稀疏性，得到稀疏解中大系數對應的角度即為水聲信號源的波達方向角。

圖4 本文方法實現DOA估計Fig.4 Proposed method for DOA estimation

仿真3：為了方便分析Capons算法、平滑MUSIC算法以及本文算法的綜合性能，分別改變陣元數、信噪比、陣元最小間距，對3種方法進行性能比較，結果如圖5所示。

圖5 不同參數條件下各種方法實現信號DOA估計比較結果Fig.5 The DOA estimation results of different method with different parameters

圖5（a）將本文方法與傳統的Capons算法和平滑MUSIC方法在條件下進行估計性能比較，從仿真結果可以直觀看出，傳統的Capons算法估計誤差比較大，平滑MUSIC算法和本文算法均能有效估計出目標角度，并且本文所提方法的DOA估計分辨能力更為精確；圖5（b）只是改變信噪比參數條件，從圖中可以看出，Capons算法不能有效地估計出目標角度，平滑MUSIC算法估計性能下降，本文算法仍能有效估計出目標角度，所以本文所提方法相對于其他傳統方法更適用于低信噪比的應用場合。圖5（c）只是改變最小陣元間距參數條件，從圖中可以看出，最小陣元間距變小時，Ca-pons算法完全失效，平滑MUSIC算法和本文所提的方法能精確估計出目標角度，但本文方法估計得更為精確；圖5（d）增加了陣元數，并且在低信噪比條件下，可以看出傳統的方法均不能估計出目標角度，而陣元數目的改變對本文算法性能沒有太大影響。

仿真4：在最小陣元間距、信噪比一定時，仿真了陣元數量相同的情況下本文算法和平滑MUSIC方法可以估計的最多信源數，如圖6所示。從圖中可以看出隨著陣元數量的增加，相對于平滑MUSIC算法，本文算法可以估計的最多信源數更可觀。

圖6 可估計的最多信源數比較Fig.6 The estimated maximum number of source comparison

仿真5：由2個陣元數分別為3，5的均勻線性子陣組成的非均勻陣列，單位間隔d0為入射信號波長的一半，快拍數N=500，圖7為在不同信噪比時的目標角度均方根誤差。從圖中可以看出，低信噪比時，平滑MUSIC方法誤差較大，本文算法誤差較小，隨著信噪比的提高，2種算法的估計誤差均趨于平緩，但本文算法的估計誤差一直低于平滑MUSIC算法。另外，平滑MUSIC算法的目標角度均方根誤差隨著信噪比的變化起伏較大，而本文提出的方法變化則比較平緩。

圖7 兩種估計方法均方根誤差比較Fig.7 The RMSE comparison of the two estimation methods

5 結 語

本文在傳統非均勻陣列研究基礎上，提出了一種水下空域環境中特殊的非均勻陣列DOA估計方法。該方法以2個均勻線陣形成接收陣列，且這2個子陣陣元數滿足互質關系。對接收的水聲信號進行分析處理，利用虛擬陣列接收的水聲信號進行DOA估計。仿真結果表明，與傳統的Capons算法和平滑MUSIC算法相比，該算法具有估計精度高、抗噪能力強的特點，且對陣列尺寸要求低，在陣元數目相同的情況下，該算法能測量更多的信號源，能夠降低估計的誤差，緩解了傳統方法在實際應用中所出現的精度低或失效的問題，為水下定位技術問題提供了一種參考。

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