壓電纖維材料驅動下復合板扭曲變形效率分析

李琳，薛錚，范雨，*

（1.北京航空航天大學 能源與動力工程學院，北京 100083；2.先進航空發動機協同創新中心，北京 100083； 3.空間物理重點實驗室，北京 100076）

為了進一步提高傳統飛行器的性能并實現飛行器的智能化，基于智能材料的自適應機翼結構已逐漸成為研究熱點，尤其是在高速發展的無人飛行器（UAV）設計領域。其中，“Morphing”（變體）［1-3］的概念在機翼的設計中得到了廣泛關注。人們希望能夠通過對機翼的變形控制實現對飛行的控制或對飛行器結構參數的調整。相關的研究主要包括可變弧形翼（翼面展向彎曲）［4-5］、上反角可調機翼［6］和可扭曲機翼［7-9］幾種形式。最早提出的變形設計方案是通過改變機翼扭轉角的分布來提高飛行性能和控制能力。但在早期的剛性機翼結構設計中卻因結構重量和剛度而難以實現。隨著飛行器的小型化、無人化，并得益于材料科學與技術的發展，越來越多的飛行器開始采用柔性構件［10］。柔性機翼的出現也使得可扭轉機翼的設計重新受到研究者們的關注。特別是在柔性結構中采用主動材料結構一體化設計的方式，其有著傳統驅動方式無可比擬的優勢。利用智能材料的特性人為驅動機翼扭曲變形可為機翼減輕陣風和機動載荷、提高升力和取代傳統控制面。因此對自適應機翼扭曲變形的研究尤為重要。

壓電纖維材料（Macro Fiber Composite，MFC）［11］克服了傳統壓電材料易損、難結合的缺點，具有高輸出、高帶寬及能量密度高的優點，因此在飛行器自適應結構中具有更好的應用前景［12-13］。在采用壓電材料對結構進行形狀控制的一些基本研究中，文獻［14］研究了指定扭曲變形下壓電片厚度、布置位置和驅動電壓的優化。文獻［15］通過拓撲優化基板結構實現了壓電驅動扭曲變形效率的提升。文獻［16］采用非矩形壓電片對壓電復合板進行扭曲變形控制。文獻［17］針對形狀控制的應用優化了壓電片的幾何形狀。已有的研究多是基于傳統壓電片進行形狀控制的分析，而采用MFC來進行形狀控制也多是基于45°的對稱鋪設的方案［18］。這些研究忽略了壓電纖維方向對形狀控制的影響，同時也缺少壓電纖維材料與不同驅動方案結合所帶來不同效果的相關研究。

板結構作為機翼結構最基本構成形式，如何設計才能使得復合板在壓電纖維材料的驅動下獲得更高的扭曲變形效率，對于采用這種主動復合材料的自適應機翼的性能提升有著重要的參考意義。本文基于 Ritz法假設雙向梁函數組合級數的位移場，建立了壓電纖維材料驅動下復合板變形的求解方法。在此基礎上針對壓電纖維材料的方向性以及正負輸出的差異性（MFC的電壓驅動范圍是 -500～1 500 V，導致正負輸出能力不對稱）對壓電纖維材料驅動下復合板扭曲變形效率進行了詳細分析，為 MFC鋪設角度的選擇、獲得單層和雙層壓電纖維復合板的最佳扭曲變形提供了理論依據。

1 MFC復合板分析模型

圖1 MFC復合板的幾何結構及坐標系Fig.1 Geometry and coordinate system of MFC composite plate

在自適應結構中為了獲得較大的形變量多采用薄板結構。本文的分析亦基于薄板理論，采用的坐標系如圖1所示，其中x軸為板長方向，y軸為板寬方向，z軸垂直于板面；①和②分別對應具有單層MFC和雙層MFC的復合板結構。采用單層MFC時材料主軸方向與x軸夾角為θ，雙層MFC時，上下兩層材料主軸方向與x軸夾角分別為 θup和 θdown。t為復合板厚度，t1和t2分別為單層和雙層MFC復合板厚度，ta為MFC厚度，tb為基板厚度，L和W分別為板的長度和寬度。以下分析不受外力作用的MFC復合板在電壓驅動下的變形。

設u，v，w為板內任意一點（x，y，z）沿 3個坐標方向的位移分量；u0和v0分別為板的中面沿x和y方向的位移分量。根據薄板理論，在薄板整體坐標系中有如下關系式：

由式（1）的位移關系可得 MFC復合板應變向量的表達式為

式中：ε0為中面應變向量。κ為中面曲率變化向量。這2個變量的表達式為（式中右上方標“0”的變量對應中面的變量）：

在沒有外力作用的情況下，主動材料結構的變形可通過改變外界電壓（電流、磁場或溫度場）引起，稱對應的應變Λ為主動應變。在復合材料結構中主動材料的變形受到被動材料的限制，因此MFC復合板的應變ε由2部分組成：

設第k層應變為主動應變Λk，則與該應變對應的等效加載應力為

式中：Qk為復合板坐標系下第k層材料的剛度矩陣。當該層材料主軸坐標系與復合板坐標系的夾角為θup時，Qk與材料主軸坐標系下的剛度矩陣

式中：T為各層纖維方向與主軸夾角所對應的轉換矩陣。復合板坐標系下主動纖維材料的輸出應變Λk與其在材料主軸坐標系下的應變的關系為

根據復合板應力、應變的關系可以推導出復合板內力與位移的關系。

對應板中的彈性變形，復合板厚度上單位長度的內力N和內力矩M為

式中：zk為各層界面在復合板坐標系下所對應的縱坐標。將式（2）和式（5）代入式（9）并化簡得到

式中：矩陣A、B和D構成了主動復合板的剛度矩陣。同理，由式（6）可得對應主動應變的等效驅動力NΛ和等效驅動力矩MΛ為

式中：λ為 MFC復合板層數，單層時 λ＝2，雙層時 λ＝3。

基于上述復合板內力與變形的關系即可獲得主動復合板的能量表達式，進而可利用最小勢能原理對復合板的形變進行求解。

復合板的應變勢能U為

主動材料驅動應變的等效力和等效力矩做功WΛ為

通過式（12）和式（13）相減得到主動復合板的總勢能Et為

根據最小勢能原理，在所有滿足變形協調和邊界位移條件的結構位移中，對應系統實際位移的勢能最小。以下應用Ritz法，將復合板的位移表示成具有待定系數的、一系列滿足位移邊界條件的雙向梁函數（Ritz基）的組合，然后通過對復合板的總勢能求極值來確定位移表達式中的待定系數。假設主動復合板的位移場為

式中：Θi（x）為復合板在x方向的 Ritz基函數；Θj（y）為復合板在y方向的 Ritz基函數。根據Ritz法原理，Θi（x）和 Θj（y）僅需滿足位移邊界條件，因此取滿足位移邊界條件的梁振型函數作為Ritz基函數。I和J分別為在x和y方向所采用的梁函數階數為待定系數。對應不同邊界條件的各階次梁函數在有關振動基礎理論方面的著作中均可查到［19-20］。

將基于位移場表達式（15）的主動復合板的應變場和應力場代入式（9）～式（14），即可推導出主動復合板總勢能的表達式，再將該表達式代入式（16）便可得到位移場待定系數的求解方程組：

式中：p為位移場待定系數向量；q為與主動材料輸出相關的常數向量；C為3IJ×3IJ階系數矩陣，可以劃分為9個子塊矩陣

C中的每個子塊均為I×J階矩陣。經推導各子塊矩陣中元素表達式為

式（20）中：Aij、Bij、Dij（i＝1，2，6；j＝1，2，6）分別為式（10）中矩陣 A、B、D中的元素；gi、gij和hi、hij為與所選取梁函數相關的積分值，其中gi、gij為與x方向梁函數相關的積分值，表達式為

將式（26）中的i，m，Θi（x）和L分別替換為j，n，∏j（y）和W，可以得到與y方向梁函數有關的積分值。

將各積分值及式（18）～式（26）逐次代入到式（17），式（21）作為一個以 p為未知元的向量方程，其系數矩陣C和常數矩陣q得到完備，由

便可求得假設位移場中梁函數組合級數的待定系數，從而獲得 MFC復合板驅動變形的位移結果。

2 實驗驗證

為驗證本文所建立的分析模型、所采用的基本假設以及計算方法在求解MFC主動應變驅動下復合板位移場時的有效性，對由2片 M-8528-F1 MFC構成的MFC復合板試件進行了相關實驗測試。MFC、基板的材料參數和試件的幾何參數分別在表1、表2中給出，其中E、υ和G分別為材料的彈性模量、泊松比和剪切模量，1、2表示材料的主軸方向。

表1 MFC和基板的材料參數Table1 Material parameters of MFC and substrate

表2 試件的幾何參數Table2 Geometric parameters of specimen

測試時復合板的固定方式為固定1個邊，其余3邊為自由狀態（見圖2）。2片MFC均采用最高正電壓驅動（1500V/1500V），對應的驅動應變參見表1。采用激光位移傳感器對MFC復合板上沿x方向的 5條等距線（L0，L1，…，L4）進行了撓度測試，從而獲得復合板不同位置處相應位置的位移。

測試之前先對測試狀態下復合板的形變按本文第1節給出的方法進行理論預測。在計算中x方向選取固支-自由邊界條件對應的梁函數Θ（x），y方向選取自由-自由邊界條件對應的梁函數，上下層 MFC纖維的角度分別為45°和 -45°；在函數階次選取方面，采用滿足邊界條件的梁函數作為李茲基函數來模擬板的靜力彎曲變形時，一般取前3階即可以得到較好的結果。而復合板在電壓驅動下不僅產生彎曲變形還同時產生扭曲變形。理論上Ritz法隨函數階數的增加會提高精度但取值的無限增加會急劇的加大計算量；綜合考慮計算量和精度，在x和y方向均取前10階梁函數進行計算，所得MFC復合板試件的位移場如圖3所示。

圖2 MFC復合板扭曲實驗測試Fig.2 Experimental test of twist actuation of MFC composite plate

實驗所測得的撓度同計算得到的位移進行了對比，對比結果在圖4中給出。圖中離散點為測試結果，連續的線段為理論計算結果。

圖4中的實驗結果與計算結果吻合得較好，驗證了第1節所建立的模型、基本假設及計算方法在求解MFC驅動下復合板位移場的有效性。通過該模型可以對MFC復合板的相關參數特性進行準確分析。

圖3 MFC復合板試件在MFC驅動下的位移場預測Fig.3 Predicted displacement field of specimen（MFC composite plate）under actuation of MFC

圖4 MFC復合板多點撓度測試與計算結果的對比Fig.4 Comparison of deflection measurement on multipoints and calculation results of MFC composite plate

3 受MFC驅動的復合板的扭曲變形效率

理論與實測結果表明，主動纖維驅動下復合板產生了彎扭耦合變形。如何布置MFC纖維的方向并選擇合理的驅動方式才能獲得更大的扭曲變形效率是本文分析的主要目的。本文針對MFC在自適應翼面中應用的2種典型模式（見圖5）進行研究，其力學模型可以分別簡化為邊界條件為1邊固支3邊自由（CFFF，對應圖5（a）中的應用模式）和2邊固支2邊自由（CFCF，對應圖5（b）中的應用模式）的復合板。

為了衡量MFC復合板的扭曲變形程度，定義與固支邊平行的任意截面相對固支邊的等效扭轉角為：變形后該截面中線兩端點連線與固支邊所形成的夾角β，如圖6所示。

圖5 主動材料在一體化自適應翼面中的典型應用模式Fig.5 Typical application modes of active material in integrated adaptive wing surface

圖6 MFC復合板等效扭轉角βFig.6 Equivalent torsional angleβof MFC composite plate

根據幾何關系有如下表達式：

式中：wL（x）和wR（x）分別為垂直于固定邊的兩側邊的撓度；若其中一個邊也被固定，以y＝0的一側邊被固定為例，則有wL（x）＝0。顯然與固定邊相對的自由端截面（x＝L時）的等效扭轉角為最大扭轉角。

為了衡量MFC復合板的彎曲變形程度，定義與固支邊平行的任意截面相對固定截面的等效彎轉角α的正切為：該截面中線撓度的均值與該截面至固定端的距離之比（如圖7所示）：

式中：Wi（x）為垂直固定邊的第i個截面中線的撓度；n為所計算或所測試的垂直固定邊的截面撓度個數。顯然與固定邊相對的自由端截面（x＝L）的等效彎轉角為最大彎轉角。

即使受到同樣的電壓驅動，對應不同的結構形式、電壓驅動方式或不同的 MFC纖維方向，復合板所獲得的扭曲程度也不同，扭曲變形越大說明扭曲變形效率越高。為了評估MFC復合板在不同條件下的驅動效果，定義壓電纖維復合板驅動扭曲變形效率為

式中：β（L）為與固定截面平行的截面中最大的等效扭轉角，即自由端截面（x＝L）的等效扭轉角。該效率的物理意義是單位面積的壓電纖維材料復合板所能實現的扭曲變形程度。

由式（30）可知，當復合板的幾何尺寸一定時，復合板自由端截面（x＝L）的等效扭轉角β（L）（式（28））即可被用來衡量復合板的扭曲變形效率。

以下在對MFC復合板驅動扭曲變形效率的計算分析中，MFC和基板采用表1中所給出的相關參數。

圖7 MFC復合板等效彎轉角αFig.7 Equivalent bending angleαof MFC composite plate

3.1 單層 MFC驅動下復合板扭曲變形效率分析

由于正電壓下MFC的驅動能力高于負電壓，單層MFC復合板一般采用正電壓驅動模式。在單層MFC驅動下，壓電纖維布置的方向對MFC復合板扭曲變形效率的影響是分析的重點。根據復合板扭曲變形效率的定義，對于給定的復合板，在最高正電壓（1 500 V）驅動下自由端截面等效扭轉角隨MFC鋪設角度的變化就反映了扭曲變形效率隨MFC鋪設角度的變化。

3.1.1 CFFF約束下單層MFC驅動下復合板的扭曲變形效率

此次調研的科研眾包培育平臺中，除了純市場化經營的商業平臺外，也有以公益性為主的公共服務平臺。調研發現，在平臺盈利模式上，純商業化的平臺大都摸索出如服務傭金、高附加值產品開發提成、廣告收入、平臺增值服務(專利項目申報、科技人才獵頭)等盈利模式，為平臺的深入發展和持續創新提供現金流支撐。公益性為主的平臺也在服務中慢慢探索能夠“自我造血”的商業模式(見表1)。

在復合板的結構參數中，復合板的長寬比例與纖維的布置方向關系密切。圖8給出了具有不同長寬比的單層MFC驅動復合板扭曲變形隨壓電纖維鋪設角度的變化；利用結構的對稱性，θup的取值范圍為0°～90°。

由圖8可以看出，隨著壓電纖維鋪設角θnp的增加，MFC驅動下復合板的自由邊截面等效扭轉角均為先遞增后減小的規律。而隨著復合板長寬比（L/W）的減小，自由邊截面等效扭轉角極值所對應的鋪設角度值（圖中點劃線與每條曲線的交點對應的θup角度）逐漸遞增。所得到的結果表明對于具有CFFF邊界條件的單層MFC復合板，為了獲得更高的扭曲變形效率，其壓電纖維的鋪設角度一般不為45°或復合板對角線所對應的角度，而是具備隨長寬比減小而增加的規律。

圖8 單層MFC驅動下壓電纖維方向對復合板的自由邊截面等效扭轉角的影響（CFFF）Fig.8 Effect of piezoelectric fiber direction on equivalent torsional angle at free edge section of composite plate actuated by single layer of MFC（CFFF）

3.1.2 CFCF約束下單層MFC驅動下復合板的扭曲變形效率

邊界條件為CFCF的單層MFC驅動復合板的扭曲變形效率如圖9所示。

圖9 單層MFC驅動下壓電纖維方向對復合板的自由邊截面等效扭轉角的影響（CFCF）Fig.9 Effect of piezoelectric fiber direction on equivalent torsional angle at free edge section of composite plate actuated by single layer of MFC（CFCF）

對應不同的長寬比，扭曲變形效率隨壓電纖維鋪設角的增大也具有先增加后減小的規律。與CFFF邊界條件不同的是其壓電纖維的優選鋪設角度（圖中點劃線與每條曲線的交點對應的θnp角度）隨復合板長寬比的增加而增加。由于邊界條件的對稱性，在復合板長寬比為1時，壓電纖維的鋪設角應選為45°。

3.2 雙層 MFC驅動下復合板扭曲變形效率分析

相對單層 MFC復合板，雙層 MFC復合板（MFC分設于基板的上下層，參見圖1）存在更為多樣性的驅動模式，驅動電壓模式可分為2種，2層MFC均采用正電壓（+/+）驅動和一正一負（+/-）的電壓驅動模式。壓電材料的特性使得MFC的驅動電壓在正負范圍內不對稱，一般的電壓驅動范圍為（-500～1 500 V）。本節分別討論正電壓取1 500 V、負電壓取-500 V情況下（此時對應 MFC的最大驅動能力），正電壓（+/+）對稱驅動和一正一負（+/-）非對稱驅動方式下壓電纖維的鋪設方向對扭曲變形效率的影響。設θup和θdown分別為上下壓電纖維鋪設角度，取值范圍均為-90°～90°。

3.2.1 CFFF約束下雙層MFC驅動下復合板扭曲變形效率

圖10和圖11分別給出了雙層MFC（+/+）電壓驅動模式和（+/-）電壓驅動模式下復合板的自由邊截面等效扭轉角（圖 10（a）、11（a））和等效彎轉角（圖 10（b）、11（b））隨上下層壓電纖維方向（θup和θdown）的變化規律。如前述，在驅動電壓保持不變的條件下（+/+）驅動模式的驅動電壓為（1 500 V/1500 V），（+/-）驅動模式的驅動電壓為（1 500 V/-500 V），復合板的自由邊截面等效扭轉角的變化就代表了扭曲變形效率的變化。

圖10和圖11的結果是在復合板長寬比為1的條件下得出的。對比不同長寬比的計算結果表明，圖10和圖11所展現出的規律不受復合板長寬比的影響，不同長寬比改變的是等效扭轉角和等效彎轉角的極值。因此在以下的分析中，2種驅動模式所獲得的自由邊截面等效扭轉角及對應的纖維鋪設角不再以云圖的結果展示，僅以表3形式列出。

圖10 雙層MFC復合板在（+/+）電壓驅動模式下自由邊截面等效扭轉角、彎轉角隨壓電纖維方向的變化（L/W＝1，CFFF）Fig.10 Evolution of equivalent torsional and bending angles at free edge section of composite plate with piezoelectric fiber direction（two layers of MFC，（+/+）actuation mode，L/W＝1，CFFF）

從表3中可以看出：①對于具有同一長寬比的復合板，（+/+）電壓驅動模式所能獲得的自由邊截面等效扭轉角大于（+/-）電壓驅動模式下的自由邊截面等效扭轉角，因此在CFFF的邊界條件下，（+/+）電壓驅動方式是更佳的驅動方案。②對于（+/+）的電壓驅動方式，上下兩層的壓電纖維鋪設角度滿足關系式 θup＝θdown時扭曲變形效率最高。從圖10（a）可看出，當 θup＝θdown時復合板自由邊截面的等效扭轉角最大；圖 10（b）表明在滿足對稱軸條件 θup＝θdown時復合板的等效彎轉角為零，由此解釋了此時扭曲變形效率最大的原因。如第1節實驗中采用的反對稱鋪設的MFC復合板在MFC驅動下，復合板在y＝W/2的軸線上不存在平面外的位移（矩形板的中間對稱線即圖2中的L2沒有產生撓度）。這一特性具有較大的工程意義，它使得設計和制備都相對簡單。在設計時，最佳的上下兩層壓電纖維的鋪設角度便可簡化到在滿足關系 θup＝θdown的方案中尋找。

圖11 雙層MFC復合板在（+/-）電壓驅動模式下自由邊截面等效扭轉角、彎轉角隨壓電纖維方向的變化（L/W＝1，CFFF）Fig.11 Evolution of equivalent torsional and bending angles at free edge section of composite plate with piezoelectric fiber direction（two layers of MFC，（+/-）actuation mode，L/W＝1，CFFF）

當滿足關系θup＝-θdown時，扭曲變形效率隨鋪設角的變化如圖12所示。

圖12所得到的關系與單層MFC驅動下的規律相似，即對應最高扭曲變形效率的鋪設角度（圖中點劃線與每條曲線的交點對應的角度）隨著復合板長寬比的減小而增加。然而相對單層MFC復合板，該效率對板的長寬比的敏感性要小得多，長寬比從0.25到2增加了7倍，反映扭曲變形效率的自由邊截面等效扭轉角僅變化了3°左右。此外圖12還表明，在最高扭曲變形效率所對應的鋪設角度附近，復合板扭曲變形效率對鋪設角度的變化不敏感。因此從MFC復合板制備工藝的角度來看，采用 θup＝-θdown的鋪設工藝時，長寬比的影響可以忽略。

表3 CFFF約束的MFC復合板在2種驅動模式下的自由邊截面等效扭轉角極值Table 3 Maxim um equivalent torsional angles of free edge section of MFC composite plate under two actuation modes with constraint condition of CFFF

圖12 雙層MFC復合板 （+/+）電壓驅動模式下壓電纖維鋪設角度（θup＝-θdown）對復合板扭曲變形效率的影響（CFFF）Fig.12 Effect of piezoelectric fiber laying angle（θup＝-θdown）on efficiency of twist deformation of bimorph MFC composite plate under（+/+）actuation mode（CFFF）

3.2.2 CFCF約束下雙層MFC驅動下復合板扭曲變形效率

CFCF約束的雙層復合板在2種電壓驅動模式下的自由邊截面等效扭轉角和等效彎轉角隨上下層壓電纖維方向的變化規律如圖13、圖14所示。同CFFF邊界條件，該規律也不受復合板長寬比的影響，不同長寬比改變的是自由邊截面等效扭轉角和等效彎轉角的極值。2種電壓驅動模式下的自由邊截面等效扭轉角在表4中列出。

圖13 雙層MFC復合板在 （+/+）電壓驅動模式下自由邊截面等效扭轉角、等效彎轉角隨壓電纖維方向的變化（L/W＝1，CFCF）Fig.13 Evolution of equivalent torsional and bending angles at free edge section of composite plate with piezoelectric fiber direction（two layers of MFC，（+/+）actuation-mode，L/W＝1，CFCF）

圖14 雙層MFC復合板在（+/-）電壓驅動模式下自由邊截面.等效扭轉角、等效彎曲角隨壓電纖維方向的變化（L/W＝1，CFCF）Fig.14 Evolution of equivalent torsional and bending angles at free edge section of composite plate with piezoelectric fiber direction（two layers of MFC，（+/-）actuation-mode，L/W＝1，CFCF）

表4 CFCF約束的MFC復合板在2種驅動模式下的自由邊截面等效扭轉角極值Table 4 Maxim um equivalent torsional angles of free edge section of MFC composite plate under two actuation modes with constraint condition of CFCF

與CFFF邊界條件的復合板相反，相同長寬比的復合板在（+/+）電壓驅動下所能獲得的自由邊截面等效扭轉角總是低于（+/-）驅動模式產生的自由邊截面等效扭轉角，因此在CFCF的邊界條件下，（+/-）的電壓驅動方式是更優的驅動方案。不過二者的差別不像CFFF約束的復合板那樣顯著，而且除了方板（L/W＝1）外，2種電壓驅動模式下最高扭曲變形效率的MFC鋪設方案都不再滿足關系式θup＝-θdown的特點。

由圖14（a）中的等高關系可看到在（+/-）電壓驅動模式下，最大扭曲變形效率對MFC纖維的鋪設角度不是特別敏感。這說明在一些簡單的應用中采用θup＝θdown＝45°的傳統鋪設方案也可以得到不錯的驅動效率。

4 結 論

在自適應翼面等結構的設計中，盡可能提高MFC驅動下復合板結構的扭曲變形效率至關重要。為了對MFC驅動復合板變形特性進行分析，本文推導了MFC的主動應變與復合板的內力與變形之間的關系，建立了復合板受主動應變驅動時的位移求解方程，所得分析結果經由實驗驗證。為了評價具有彎扭耦合變形特點的MFC復合板對扭曲變形的驅動效果，本文定義了MFC復合板在主動應變驅動下的等效扭轉角和等效彎轉角，并提出了主動復合板驅動扭曲變形效率的概念。在此基礎上，研究了2種約束條件的壓電纖維復合板結構受電壓驅動的扭曲變形效率，得到以下結論：

1）單層MFC復合板受電壓驅動時，其最大扭曲變形效率對應的MFC鋪設角度與復合板長寬比相關；板邊界的約束為CFFF形式時，長寬比越小，MFC鋪設角度越大。板邊界的約束為CFCF形式時則相反，且長寬比為1時對應最大扭曲變形效率的鋪設角度為45°。

2）雙層MFC復合板受電壓驅動的模式可以分為（+/+）對稱驅動和（+/-）非對稱驅動2類。板邊界的約束為CFFF形式時，（+/+）電壓驅動模式的扭曲變形效率較高。在這種電壓驅動模式下，為實現高扭曲變形效率，上下2層MFC的鋪設角應滿足關系θup＝θdown。

3）在CFCF邊界條件下，雙層MFC復合板的驅動電壓應選擇上下層（+/-）驅動模式。在該種驅動模式下對應高扭曲變形效率的鋪設角度可選范圍較大（即在這種情況下扭曲變形效率對纖維方向的改變不敏感），可取 θup＝θdown＝45°的傳統鋪設方案。

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