三維分形接觸熱導的建模與多參數影響分析

李小彭， 劉 洋， 王 雪， 戶丹丹， 毛 昕， 王冰冰

(東北大學 機械工程與自動化學院， 沈陽 110819)

機械系統中存在大量的結合面[1]，當結合面相互接觸時，微凸體間會產生間隙，從而使熱量的傳遞受到阻礙，產生不同的接觸熱導。隨著強化傳熱技術的發展，接觸熱導對機械制造、微電子、航空航天以及低溫超導、熱交換器等領域的影響，引起了人們極大的重視[2]。

研究表明，接觸熱導是受材料熱物性、機械特性、表面性質、接觸面壓力、表面粗糙度及負載、溫度、介質等眾多因素影響的非線性問題[3]。溫度對接觸熱阻的影響表現為溫度使接觸表面的形狀發生變化并產生蠕變現象[4]。王宗仁等[5]采用帶有補償加熱的接觸熱導測試設備對高溫合金進行試驗研究，黃明輝等[6]通過瞬態法初步測試了接觸熱導隨壓力的變化規律，證明了接觸熱導與壓力基本呈正相關。馬麗娜[7]建立了接觸熱導二維分形模型，并分析了分形維數、法向載荷、材料性能參數對熱導的影響。近年來，李小彭等[8-9]對三維分形理論、接觸熱導的研究取得進一步成果。不過，以往分析僅研究單一變量的影響，對其他參數只零散取點分析，取值連續性及結論準確性不足，而本文耦合兩種因素的影響，更清晰地體現了多參數的影響規律，提高了結論的準確性。

本文基于傳統M-B接觸模型，結合W-M修正函數，推導三維分形結合面的接觸模型，建立了三維分形接觸熱導模型，仿真分析了法向載荷、實際接觸面積、分形維數、分形尺度參數、材料特性參數對接觸熱導的耦合影響。

1 三維分形結合面的接觸模型

1.1 三維分形微凸體表面輪廓的數學模型

為了更準確地描述構件的真實接觸表面，Yan等[10]對用二維分形曲線描述表面形貌的傳統W-M函數進行改進，得到三維分形曲面下的W-M修正函數，此時2

利用修正后的W-M函數可得三維微凸體的表面輪廓，而微凸體的變形量δ就是微凸體波峰與波谷的幅值差，即

δ=2(11-3D)/2G(D-2)(lnγ)1/2π(D-3)/2a(3-D)/2

(1)

式中：γ為表征頻率密度的參數，γ>1，近似計算時常取γ=1.5；a為單個微凸體實際接觸面積。

微凸體的曲率半徑可以表示為

(2)

1.2 微凸體的法向接觸載荷

根據Hertz接觸理論，單個微凸體發生彈性變形時，法向載荷與接觸變形量δ的關系為[11]

(3)

式中：E為材料等效彈性模量；R為微凸體曲率半徑。

由式(1)、式(2)與式(3)可得，單個微凸體發生彈性變形時，載荷與接觸面積的關系為

(4)

當接觸表面的單個微凸體發生塑性接觸時，載荷與接觸面積的關系為[12]

Pp(a)=λσya

(5)

式中：λ為與硬度H和屈服強度σy相關的系數，三者的關系為H=λσy。

1.3 三維分形結合面的接觸模型

1.3.1 結合面的接觸面積

n(a)為接觸點處的面積分布，與最大接觸面積al的關系為[13]

(6)

式中：Ψ為分形區域擴展系數，與分形維數D有關，可通過查閱文獻[13]表B1得到。

結合面的實際接觸面積Ar，應包括有塑性接觸面積與彈性接觸面積，即

(7)

式中：ac為塑性變形與彈性變形的臨界接觸面積。

1.3.2 結合面的接觸載荷

① 當al>ac且D≠2.5時，結合面所受的總載荷為塑性接觸載荷與彈性接觸載荷之和

(8)

將式(8)無量綱化為

(9)

② 當al>ac且D=2.5時，結合面所受的總載荷為

(10)

將式(10)無量綱化為

(11)

2 三維分形接觸熱導模型

2.1 接觸熱導

組合機械中，當熱流經過結合面時，傳熱方式有[14-15]：①接觸面間的熱傳導；②通過間隙中介質的熱傳導；由于間隙中介質的導熱系數和固體本身的導熱系數相差很大，會形成一種阻礙熱傳遞的附加阻力，稱為接觸熱阻，接觸熱阻的倒數即為接觸熱導。接觸熱阻對熱流的阻力很大，會導致結合面處溫度發生突變。工程中，實際結合面的熱傳遞如圖1所示。

圖1中，A為接觸平面，Q為流經該機械的總熱流，Qi為流經單個微凸體接觸區的熱流，T1為部件1上表面的溫度，T2為部件2下表面的溫度，T1A、T2A分別為部件1、2在接觸區的溫度。

2.2 三維分形接觸熱導的數學模型

文獻[16]給出了微凸體的單點接觸熱導

(12)

圖1 結合面微觀接觸熱傳導示意圖

式中：hi為單個微凸體的接觸熱導，W/(m2·K)；λs為導熱系數，表征微凸體接觸區的導熱能力，W/(m·K)，據文獻工程經驗常取λs=13.8 W/(m·K)；R為微凸體的曲率半徑；p為單個微凸體的接觸載荷；φ為接觸熱導因子，是單點接觸半徑與曲率半徑之比r/R的函數，φ=(1-r/R)3/2，一般r?R，故近似計算時常取φ=1。

則整個結合面的接觸熱導為

(13)

將式(2)、式(4)、式(5)與式(6)代入式(13)中，得結合面的接觸熱導為

(14)

將式(14)無量綱化為

(15)

3 三維分形接觸熱導模型數值仿真

3.1 法向載荷對接觸熱導的影響

根據式(9)、式(11)與式(15)，分析接觸熱導h*與法向載荷P*在不同分形維數D下的關系。根據前文所述，取φ=1.0，λs=13.8 W/(m·K)，λ=1.0；且多數材料的材料特性參數在0.5～1.8之間[17]，本文選取φ=1.0；無量綱G*通常取值10-11～10-9，本文選取G*=10-10進行分析，分析結果如圖2所示。

從圖2可以看出，隨著法向載荷P*的增大，接觸熱導h*也在增大；且當2.1≤D≤2.4時，接觸熱導h*與法向載荷P*存在著明顯的非線性關系；當2.5≤D≤2.9時，接觸熱導h*與法向載荷P*趨于線性關系。

3.2 分形維數與分形尺度參數的耦合影響

3.3 分形維數與材料特性參數的耦合影響

3.4 分形尺度參數與材料特性參數的耦合影響

(a) D=2.1

(b) D=2.2

(c) D=2.3

(d) D=2.4

(e) D=2.5

(f) D=2.6

(g) D=2.7

(h) D=2.8

(i) D=2.9

(1) h*與D和G*的關系

(2) G*取值過程中h*與D的峰值關系

(1) h*與D和G*的關系

(2) G*取值過程中h*與D的峰值關系

圖3 分形維數和分形尺度參數對接觸熱導的影響

Fig.3 Influence of fractal dimensions and fractal scale parameters on contact thermal conductivity

(1) h*與D和φ的關系

(2) φ取值過程中h*與D的峰值關系

(1) h*與D和φ的關系

(2) φ取值過程中h*與D的峰值關系

圖4 分形維數和材料特性參數對接觸熱導的影響

Fig.4 Influence of fractal dimensions and material characteristic parameters on contact thermal conductivity

(b) D=2.5

(c) D=2.7

(d) D=2.9

(e) D=2.95

(f) D=2.99

從圖5可以看出，接觸熱導與分形尺度參數呈負相關，與材料特性參數呈正相關；隨著分形尺度參數G*的減小和材料特性參數φ的增大，接觸熱導h*先是平穩增大；當分形尺度參數G*減小和材料特性參數φ增大到一定程度時，接觸熱導h*陡然增大，產生了很大的數量級差，且分形維數D越大該現象越明顯。

4 結 論

經過上述研究，得到結論：

(1) 本文引入三維分形理論修正的W-M函數并推導結合面三維接觸模型，考慮多參數對接觸熱導的影響，建立了三維分形接觸熱導模型，為后期的接觸熱導研究提供了理論基礎。

(2) 接觸熱導與法向載荷呈正相關，當2.1≤D≤2.4時，兩者存在非線性關系，當2.5≤D≤2.9時，兩者趨于線性關系，即隨著分形維數的增大，兩者由非線性關系趨于線性關系。

(3) 接觸熱導與實際接觸面積呈正相關；較大的接觸熱導發生在分形維數較大、分形尺度參數較小、材料特性參數較大的區域，且在靠近該參數區域時接觸熱導變化趨勢明顯增強。D=2.95是接觸熱導與分形維數正負相關的分界點，當2.0

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