數控激光切割機伺服進給系統的機電耦合建模與仿真分析

劉 沖,王金榮,涂芬芬，王萬杰，周 祥

（江蘇省金屬板材智能裝備重點實驗室，江蘇 揚州 225200）

伺服進給系統是一種典型的復雜機電系統，輸出的進給位移、速度和加速度一方面會影響機械系統的動態特性，另一方面也會影響伺服系統的動態特性，而伺服輸出力特性的變化作用到機械環節，又會影響系統的動態特性[1]。進給系統的運動精度與伺服驅動輸出特性、機械執行系統動態特性以及兩者的相互作用關系密切相關[2]。

在不同工況下，激光切割機的不同數控軸和運動部件對速度、加速度和精度等具有不同的要求[3]。例如，切割頭的隨動控制則要求與數控軸控制之間進行柔順的控制過程切換，保證隨動速度快而無過沖現象。因此，有必要研究數控系統、運動控制系統、伺服驅動系統、機械運動部件之間的機電耦合關系。本文以江蘇亞威某型激光切割機的X軸系統為研究對象，建立了該系統的機電耦合模型，并仿真分析了系統傳動剛度對伺服系統的影響。

1 激光切割機伺服進給系統模型

圖1 伺服進給系統組成圖

伺服進給系統包含控制器、驅動器、交流永磁同步電機、聯軸器、滾珠絲杠、導軌、滑枕、滑塊和反饋元件等，如圖1所示。其工作原理為控制器控制電機輸出力矩大小，然后電機將輸出力矩作用在滾珠絲杠上，絲杠在驅動力矩的作用下產生加速度，進而發生轉動，通過螺母的運動耦合作用，驅動滑枕的進給運動[6]。同時滑枕的進給位移、速度以及電動機轉速等機械系統狀態變量均通過傳感器反饋給控制系統，控制系統根據輸入指令和系統狀態變量等對伺服電機的力矩輸出指令進行調節，以達到跟蹤輸入指令的目的。

伺服進給系統的機電耦合方式主要為三類：第一類是電磁場產生的諧波分量對傳動系統的振動構成直接激勵，對系統的主運動產生擾動；第二類是控制變量與主體運動的力學參數構成參數弱變量耦合形式，如電樞回路中的諧波電流經反饋回路進入控制系統中，通過驅動系統的功率放大后，再作用于機械主運動，對其產生影響；第三類是外負載耦合影響主運動。可見，數控系統的運動控制指令、伺服驅動系統的電氣參數變化、外負載的波動均會通過機電耦合方式影響數控機床[7]，如圖2所示。

圖2 伺服進給系統的機電耦合

2 機電耦合建模

2.1 機械傳動系統

圖3 機械系統組成及參數

由于聯軸器和絲杠都是彈性體，因而傳動系統中存在扭轉變形和拉壓變形，因此將主軸伺服進給系統機械傳動部分簡化為圖3所示的等效動力學模型。其中 JL，CL，分別為系統中轉動部件總的轉動慣量和轉動阻尼系數；MT，BT分別為系統中移動部件（滑枕）的總質量和滑動導軌上的粘性阻尼系數。Kθ，Ks分別為機械傳動系統總的扭轉剛度和總的軸向剛度；F0為摩擦力和切削力。xi為螺母的軸向位移，x0為滑枕的軸向位移。

首先伺服電機驅動轉矩經過剛性聯軸器聯接轉化為滾珠絲杠的旋轉運動，忽略電機與絲杠間的轉角偏差，則電機和絲杠的旋轉運動間存在如下的動力學關系：

根據能量守恒定理，可知負載轉矩與驅動力FL之間的關系如下：

式中：TL——折算到絲杠軸上的負載轉矩；

θm、TM——分別為電機輸出轉角和扭矩；

Ls——絲杠導程；

η——絲杠傳動效率。

絲杠螺母將滾珠絲杠的旋轉運動轉換為滑枕的直線運動，則滑枕的動力學關系如下：

式中，驅動力FL可通過機械傳動系統的綜合等效剛度和機械傳動系統的軸向變形由下式計算：

K——機械傳動系統的綜合等效剛度，其計算公式如下：

其中：Kθ、KL——分別為機械傳動系統的扭轉剛度和軸向拉壓剛度；

Kcθ、Ksθ——分別為聯軸器、絲杠扭轉剛度；

Kbs、Knt、Ksb——分別為絲杠軸拉壓剛度、絲杠螺母接觸剛度、支承軸向剛度。其數值可查閱相關資料計算得到。

2.2 永磁交流同步電機

伺服驅動系統常采用永磁同步電機（PMSM）作為執行元件[8]。在定子結構上，鐵心直接與外界空間接觸，散熱情況良好，易于實現小型化和輕量化。在轉子結構上，用永磁體取代電勵磁，取消了勵磁線圈、滑環和電刷，無需額外的直流勵磁電路，提高了電機的效率和功率密度。由于沒有勵磁損耗，電機的發熱只取決于電樞電流。永磁稀土材料具有很高的剩余磁通密度和很大的矯頑力，可顯著減少電樞反應。然而，永磁同步電機的多變量動態數學模型結構復雜，分析求解困難，在實際應用中通常設法將其簡化。

直流電機的數學模型比較簡單，若將PMSM的物理模型等效變換為直流電機的模型，則分析和控制將大為簡化。因此采用clark和park變換將PMSM在ABC坐標系下的數學模型等效變換為d-q坐標系下的數學模型，并對電機做出如下假設：（1）忽略磁路飽和；（2）電動機氣隙磁場均勻分布，感應反電勢呈正弦波狀；（3）忽略磁滯及渦流損耗。采用矢量控制策略id=0的控制方式，則可得永磁同步電機的電壓方程式、電磁轉矩方程和轉矩運動平衡方程分別如下所示：

2.3 伺服控制系統

全閉環伺服驅動系統可分為位置控制器、速度控制器、功率放大器和伺服電機，如圖4所示。伺服驅動系統完成位置、速度、力矩的三閉環控制，并通過伺服電機帶動傳動機構使執行元件完成規定的目的運動。伺服電機上安裝的電流傳感器和速度傳感器分別把電流信號、速度信號反饋給功率放大器和速度控制器。執行元件上安裝的位置傳感器分別把位置信號反饋給位置控制器和數控系統。

在位置環，位置誤差為：

位置環控制器通常采用比例控制，則輸出信號為：

式中：Xr為參考位置；K1為位置環比例系數。

在速度環，速度誤差為：

速度環控制器通常采用比例積分控制，則輸出信號為：

式中：K2為速度環比例系數；T2為速度環積分時間常數。

在電流環，電流誤差為：

電流環控制器通常采用比例積分控制，則輸出信號為：

式中：K3為電流環比例系數；T2為電流環積分時間常數。

綜合式（1）～式（14），可得伺服進給系統的機電耦合數學模型，其系統控制結構框圖如圖5所示。

根據系統結構控制圖應用Matlab/Simulink建立了系統的仿真模型，如圖6所示。

圖4 全閉環伺服驅動系統

圖5 伺服進給系統的控制結構圖

圖6 Simulink仿真模型

3 傳動結合面剛度與整體傳動剛度變化對伺服系統的影響分析

在機床高加速下由于運動部件的慣性力使結合部的負載發生變化，進而導致結合部剛度發生變化或突變，出現變異。根據絲杠的具體型號，查閱手冊可得到其軸向的額定動載荷(或預緊載荷)，在螺母副不受負載的情況下，可得到每個滾子的法向力為：

式中：d0為絲杠的公稱直徑；db為滾球的直徑；α滾球與滾道的接觸角；φ為絲杠的螺紋升角；i為單螺母總的承載圈數；N為承載的滾子個數；F為雙螺母的預緊載荷；FA、FB為滾子的法向力。

由赫茲接觸理論和雙螺母絲杠預緊結構，對每個滾子進行受力分析，并利用剛度定義，便可得到絲杠螺母副的軸向接觸剛度。

式中：FA、FB、δA、δB為螺母副 A、B 滾子的法向力與變形量；FQ為兩個接觸對象之間作用力；G為柔度系數；Fa、Fb、δa、δb為螺母副 A、B 滾子的等效進給力與變形量；Ka、Kb為螺母副A、B中單個滾子的等效軸向剛度；Kaa、kbb為螺母副A、B的等效軸向剛度；Knut為絲杠螺母副的等效軸向剛度。

圖7為常用的雙螺母絲杠驅動結構，設質量m的負載在絲杠螺母副的驅動下，以加速度a向右運行，則慣性力向左，大小為ma，設此慣性力對每個滾子的作用力為Fq，對于螺母A而言，則受力FA=F+Fq，而螺母B受力為FA=F-Fq。下面討論螺母B的受力狀態。

（3）當 F＜Fq時，則 FB=F-Fq=0，此時出現間隙，剛度出現突變。

結合實際應用，選取軸承預緊力矩為20N·m，螺母副額定動載荷分兩種情況：3000×9.8N和5220×9.8N，負載質量也分兩種情況：216kg和432kg。利用經典赫茲接觸理論對螺母副的軸向剛度和加速度振動響應進行仿真分析計算，結果如圖7和8所示。從圖9可知，在不同的加速度下，絲杠螺母副的軸向剛度會發生變異；在螺母副的額定動載荷一定時，運動負載越大，其軸向剛度變異點的加速度越小；當運動負載一定時，其軸向剛度變異點的加速度隨螺母副額定動載荷的增大而增大。

圖7 絲杠螺母副內部滾子的受力圖

圖8 螺母副軸向剛度

圖9 加速度振動響應

當螺母副的額定動載荷為3000×9.8N，軸承預緊力矩為20N·m時，不同質量下該系統的進給方向的加速度振動響應如圖9所示。由圖可知，進給系統的加速度振動響應在不同的加速度下會發生變異；變異點處的固有頻率與加速度振動幅值都有明顯的變化；不同運動負載也會影響到進給系統進給方向加速度振動響應的變異點；運動負載較大下進給系統進給方向的加速度振動幅值較運動負載較小的幅值低。

改變傳動剛度分析伺服系統的響應發現：剛度越低，傳動部件的變形越大；系統的剛度越大，固有頻率越高，對系統的穩定性有利。從圖10中可以看出，剛度減少時，系統調節時間變長，響應速度變慢，啟動時有著明顯的抖動現象。

圖10 剛度變化的影響

4 結論

（1）通過分析激光切割機伺服進給系統的機電耦合關系，以系統各個環節為研究對象，建立了伺服系統的機電耦合模型；

（2）運用Matlab/Simulink對該模型進行了仿真，分析了傳動剛度對伺服系統動態性能的影響。受結合面剛度非線性的影響，機械系統的質量分布會隨著位置的不同發生偏移；絲杠螺母副以及軸承副的軸向剛度隨著加速度的不同而不同，并且隨著加速度的增大，存在剛度突變點，相應的額定動載荷和負載質量都會影響加速度對機械系統的影響。在高速高加速度下，機械系統的以上時變特性變得更加顯著。整體傳動剛度的變化會直接影響系統響應，傳動剛度越大越有利于系統穩定；

（3）利用系統的機電耦合模型，可快速對系統伺服參數進行優化，提升伺服進給系統的設計效率。

[1] 宋 玉，陳國鼎，馬術文.交流伺服進給系統數學模型研究及其仿真[J].機械，2010，（7）：9-12.

[2] 韋富基，譚順學.高精度數控機床伺服進給系統精度研究[J].制造業自動化，2012，（9）：69-71.

[3] 胡金龍，周鵬飛，翟東升，等.數控激光切割機傳動系統的研究[J].鍛壓裝備與制造技術，2012，（1）：22-25.

[4] 呂 浪，熊萬里，侯志泉.面向機電耦合振動抑制的電主軸系統匹配特性研究[J].機械工程學報，2012，（9）：144-154.

[5] 胡 秋.數控機床伺服進給系統的設計 [J].機床與液壓，2004，（6）：55-56，74.

[6] 林利紅，陳小安，周超群，等.精密傳動系統的機電耦合建模及仿真分析[J].重慶大學學報，2007，（11）：14-18.

[7] 孟 杰，陳小安，合 燁.高速電主軸電動機--主軸系統的機電耦合動力學建模[J].機械工程學報，2007，（12）：160-165.

[8] 薛 青，花銀群，程廣貴，等.基于永磁同步電機的高性能交流伺服控制系統研究[J].科學技術與工程，2009，（1）：29-33.