“思”中遇見本質，“教”中發現價值

周靜

在蘇教版的教材中我們把分數定義為，把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫分數。這樣定義比較直觀，通俗易懂，強調了“平均分”，分母是平均分成的若干份，分子是這樣的一份或幾份，對理解以后的分數運算也有重要的價值。但是用份數來定義分數，也有一定的缺陷，因為份數中的一份或幾份還是與自然數比較接近，并沒有讓學生能真正體會到分數是一種新的數，是由于自然數已經無法滿足我們的需求而產生的一種新數，是實際生活的需要。也會給學生帶來思維定式，認為分數就是小于1的，分子都是要比分母小的，對于接下來學習假分數造成負遷移。

張奠宙先生曾在《小學教學》2010年第一期關于《“分數”教學中需要澄清的幾個數學問題》一文中，對分數的意義進行了深入的解讀，分數的定義一般有以下四種：

定義1（份數定義）：分數是一個單位平均分之后中的一份或幾份。

定義2（商定義）：分數是兩個數相除的商。

定義3（比定義）：分數是q與p之比。

定義4（公理化定義）：有序的整數對p，q，其中p≠0。

分數的產生，是除法除出來的，當得到的結果無法用整數來表示時，就產生了分數，也是數系的一次擴張。同時也說明了，“商定義”才是分數最本質的定義。因此，份數定義只能是起點，在教學的過程要選擇合適的模型進行建模，逐步向更為抽象的分數定義去轉移。

一、課前思

由于蘇教版教材已在前面安排了兩次學習，對于把一些物體看作一個整體其實已經出現過，所以在涉及分數的“份數”意義理解上應該沒有什么問題。但是知識之間如何串聯？分數的意義、單位“1”、分數單位、分數的發展史，這些知識有的是互相牽扯，有的是互有聯系，如何過渡？學生動手操作是否必要？學生在三年級時已經學過分數的初步認識，有過一些經驗，從圖中也可直觀看出平均分后的結果，那么還要不要動手操作？如何順利導入？是否要逐字逐句地摳概念？對于分數的意義中的重點詞如“一個物體”“一些物體”“一個整體”“平均分”“若干份”“一份”“幾份”，對知識的拓展到什么程度？學生對概念的認知需要從初步理解到深入理解，那么也需要有一定程度上的延伸，如何把握這個度？

在上這節課之初，我努力想擺脫“份數”的定義，努力向除法和比的意義靠攏，但這樣做似乎在行進的過程中竟然“忘記了當初出發的目的是什么了”，因為分數與除法的關系以及比的認識在五、六年級都安排了專題進行學習。于是，我又把教學目的進行適度回歸，重新回到“份數”的定義上來，只不過突出強調學生借助直觀的操作和數線模型，溝通分數和整數之間的聯系和區別，加深對單位“1”的理解，從而理解分數的意義。

二、行中悟

分數的本質究竟是什么？數學家史寧中教授曾在《數學與數學教育》一書中，闡述它代表一件事物的一部分，其本質意義是它的無量綱性。分數無量綱性的意義在于，可以把事物許多不可比的狀態變為可比的狀態。在本節課中，我先從一個蛋糕到一個圖形，再到一個計量單位，最后到一組圓片（單位“1”），突出分數意義的相對性。然后以此為起點抽象到數線上表示，體現分數意義的無量綱性——僅僅是一個新數而已。

在過渡到分數的本質意義時，“分數是相對于整體‘1而言的。在數射線上的0和1之間，標出分數等，是認識分數關鍵的一步，及早進行，十分重要” 。這是因為數線是一個半抽象模型，它是“圓模型”和其他平面模型的“再抽象”，可以充當分數的“份數模型”向“除法的商”定義過渡的幾何載體。用線段的長度表示分數的大小，無論是一個，還是一些，都是單位“1”。這樣表示的好處有很多。首先，它的單位是抽象的“1”。雖然與圓片、三角、長方形等幾何圖形相比較抽象，但仍然是幾何直觀，可以幫助學生感知分數的含義。其次，這是數軸的雛形，學生早在學習自然數的時候就已經接觸過，這樣就很好地溝通了分數與自然數之間的聯系。

三、教后感

通過教學發現，用數線表示分數的優越性（譬如分數的性質、分數的大小比較、分數的抽象性、以及0到1之間分數個數的無限性）并沒有讓學生很好地體會，特別是最后一個環節，在數線上出示整節課所學的分數后，教師沒有很好地引導，深為遺憾。

回顧整個教學過程，本來是想借助操作，讓學生明白不管分的物體是多是少，只要平均分成三份，其中的兩份都可以用三分之二來表示，進而將一個整體的概念擴展到大數目。但是對于操作后的思考，引導得不得力，導致學生無法說出“核心”。

在求同比較環節，突出了三分之二這個分數的本質：與分的東西是什么無關，與分東西的數量多少也無關，只要將這些物體平均分成三份，其中的兩份就是這個物體總數的三分之二。

求異環節比較中，使學生認識到：之所以表示的個數不同，是因為單位“1”不同，單位“1”里物體的個數不同，雖然都是單位“1”的三分之二，表示的個數自然也不相同。三分之二這個分數在這里并不是表示一個具體的量，而是表示部分與整體的一種關系。

最后，就是沒有處理好學生的自主學與老師的講授間的關系。感覺老師在課堂上說得比較多，學生說得少。有的需要學生多說的地方，學生不說，師就自己包辦了。希望在接下來的教學中要多加反思，力爭避免一些不該出現的問題。

四、結語

《分數的意義》這一節課具有很特殊的意義。要重視從學生已有知識經驗出發，抓住新知識的生長點。注重讓學生在應用中鞏固和加深對分數意義的理解。不僅要給學生提供較豐富的學習材料，通過觀察比較、分析討論，歸納概括出分數的意義，而且還要注意讓學生經歷分數在生活中的應用，深化對分數意義的理解和認識，從而把對分數的認識提高到一個新的層次，同時也為今后學習分數的有關知識打下基礎。

【作者單位：太倉市港城小學 江蘇】