探索畫圓求解線段最值的簡便方法

姚躍貞

摘 要：近年來，關(guān)于線段最值問題受到名地中考試題的青睞，利用畫圓求解線段最值，會使此類問題化難為易。

關(guān)鍵詞：動點(diǎn)；線段最值；圓；基本模型

近年來，關(guān)于線段最值問題受到各地中考試題的青睞，并且問題呈現(xiàn)變化多、涉及面廣、形式靈活的景象，解決此類問題常用的定（公）理有“兩點(diǎn)之間線段最短，垂線段最短，三角形兩邊之和大于第三邊或兩邊之差小于第三邊”。本文探索一種畫圓求最值的方法。

一、基本模型

如圖1，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，利用“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”易證得點(diǎn)P到⊙O的最小距離為PA，最大距離為PB。

如圖2，點(diǎn)P是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，同理可得點(diǎn)P到⊙O的最小距離為PA，最大距離為PB。

歸納：利用“平面內(nèi)一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)連線中，到過該點(diǎn)和圓心的直線與圓的近交點(diǎn)距離最短，遠(yuǎn)交點(diǎn)距離最長”解題。

例1，如圖3，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸正半軸上，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動時，點(diǎn)C隨之在y軸運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，求點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離和最小距離。

解析：點(diǎn)A、B、C都是圖形中的動點(diǎn)，點(diǎn)B的運(yùn)動路徑并不規(guī)則，但直角邊AC的中點(diǎn)D的運(yùn)動路徑是規(guī)則的，始終在以O(shè)為圓心，OD為半徑的圓上。當(dāng)B、D、O三點(diǎn)在同一條直線上時，OB的長取得最大值或最小值。

由基本模型可知，最大值為OD+DB=4+2[13]，最小值為DB-OD=2[13]-4。

例2，如圖4，在△ABC中，∠ACB=30°，AB=5，BC=8，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ABC，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動點(diǎn)，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)是P，求線段EP長度的最大值與最小值。

解析：線段AB的中點(diǎn)E的運(yùn)動路徑為以B為圓心，BE長為半徑的圓，P點(diǎn)離B點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)為C，最近的點(diǎn)為D（BD⊥AC于點(diǎn)D），因此最小值為D、E、B三點(diǎn)在同一條直線上時，即點(diǎn)P與點(diǎn)D重合。由已知∠ACB=30°，BC=8，得BD=4，則EP=4-2.5=1.5，當(dāng)C、E、B三點(diǎn)在同一條直線上，且點(diǎn)EC分別在點(diǎn)B的兩側(cè)時，即點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，則EP的長取得最大值，最大值為EP=8+2.5=10.5。

例3，如圖5，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=120°，O是AD邊上的中點(diǎn)，P是AB邊上的一個動點(diǎn)，將△AOP沿OP所在直線翻折得到△AOP，連接AC，則AC長度的最小值是多少？

解析：因?yàn)樵诜圻^程中OA長始終不變，所以點(diǎn)A的運(yùn)動路徑在以O(shè)為圓心，OA長為半徑的圓弧上，所以當(dāng)C、A、O三點(diǎn)在同一條直線上時，AC的長有最小值。由已知可得OC⊥AD，則OC=[3]，所以AC=OC-OA=[3]-1。

例4，如圖6，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點(diǎn)，滿足AE=DF，連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H，若正方形的邊長為2，求線段DH長度的最小值。

解析：由已知條件可知△ABE≌△COF，△ADG≌△CDG，則∠ABE=∠DCF=∠DAG，又因?yàn)椤螦BE+∠AEB=90°，所以∠DAG+∠AEB=90°，則∠AHB=90°，所以無論E、F如何運(yùn)動，點(diǎn)H始終在以AB長為直徑的圓上運(yùn)動，設(shè)AB的中點(diǎn)為O，連接OH、HD，則當(dāng)O、H、D三點(diǎn)在同一直線上時，DB長度最小。由已知易求得OD=[5]，則DH=[5]-1。

二、拓展提升

例5，如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中已知A（2，0），B（5，0），點(diǎn)P為線段AB外的一動點(diǎn)，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求線段AM長度的最大值和最小值。

解析：將△APM繞著點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△PBN，連接AN，則△APN就是等腰直角三角形，所以PA=PN=2，BN=AM；則線段AM的最大值和最小值即線段BN的最大值和最小值。點(diǎn)N在以A為圓心，AN長為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)N在BA的延長線上時，BN的長度取得最大值，最大值為2[2]+3；當(dāng)點(diǎn)N在AB上時，BN的長度取得最小值，最小值為3-2[2]。

三、歸納反思

上面5個例題的解題關(guān)鍵都是找到動點(diǎn)運(yùn)動路徑為圓心的條件，再由三點(diǎn)共線求出線段長的最大值或最小值。由上述例題可歸納為兩種動點(diǎn)路徑為圓的條件：①到定點(diǎn)的距離等于定長；②動點(diǎn)與定線兩端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，以動點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，在以定線為半徑的圓上。

利用畫圓來求線段最值，可以減輕學(xué)生的思維負(fù)擔(dān)，讓學(xué)生輕松獲得知識，這是令人感到欣慰的。