一種簡單的用于滾塑工藝加熱階段的傳熱模型

劉學軍

(北京工商大學材料與機械工程學院，北京 100048)

0 前言

滾塑工藝具有模具成本低、制品內部應力小、適宜于制造內部中空形塑料制品等優點。但也有諸如成型周期較長、能耗較大等缺點。為研究滾塑工藝的傳熱機理并對工藝參數進行優化控制，就需要對滾塑工藝的加熱階段建立一個既有較高準確度、數學求解又相對簡單的傳熱理論模型。本文只研究從滾塑模具在烘箱內開始受熱到其內部粉料開始熔融之間的這一段加熱過程，并將這段過程所花費的時間簡稱為加熱時間。在該過程中，粉料顆粒與內部空氣一邊運動，一邊混合。模具內壁面、粉料顆粒、內部空氣三者彼此之間都有對流換熱或導熱。這是運動和傳熱機理都非常復雜的氣固兩相流，通常是采用歐拉 - 歐拉模型或歐拉 - 拉格朗日模型來研究。但由于其數學建模過程及求解的復雜性，迄今為止在滾塑領域還未見任何研究采用這些模型。

對于粉料開始熔融前的滾塑加熱階段，大部分的理論研究都是采用2種簡化的傳熱模型：tumbling模型和static bed模型。tumbling模型[1-4]就是假設粉料與空氣混合非常均勻，整個混合物與模具內壁面發生對流換熱。這個模型的計算區域只有模具，因此計算量很小。但在給出內部混合物的熱平衡方程時忽略了空氣吸收的熱量，因此無法計算內部空氣的溫度。另外內部混合物與模具內壁面間的表面傳熱系數無法測量，也未見任何滾塑方面的文獻采用理論公式或經驗公式進行計算，因此一般都是按估計值作為已知條件給出，這對計算結果可能造成較大的誤差。static bed模型[5-8]假設加熱過程剛一開始，粉料就均勻緊密地粘附在模具內壁面上，即認為粉料在模具內部的運動狀態是離心模式，而在這一粉料層內部包裹的是內部空氣。該模型的傳熱機理是模具內壁面與粉料層進行導熱，而粉料層與內部空氣進行對流換熱。文獻[5-6]的計算區域為模具和粉料層，因此仍需要給出粉料層與內部空氣間的傳熱系數。文獻[7-8]的計算區域除模具和粉料層外還包括內部空氣，雖然不需要給出任何內部的表面傳熱系數，但由于內部空氣區域的體積很大，因此計算量將會大大增加。由于滾塑模具的轉速都不高，因此粉料在模具內部實際的運動狀態不是上述離心模式，而是所謂的雪崩或滾動模式[9]。為了符合真實的運動模式，文獻[10-11]建立了比tumbling模型和static bed模型更復雜的傳熱模型。他們認為內部空氣和粉料分別與模具內壁面部分接觸，即內部空氣、粉料、模具內壁面三者彼此間都在進行對流換熱，而且粉料內部還通過導熱進行傳熱。為此內部空氣和粉料都分別需要各自的熱平衡方程，這樣增加了數學上求解的難度。同時內部空氣、粉料區、模具內壁面三者間的傳熱系數仍需估計給出，也增加了計算結果的不確定性。

對于滾塑模具內粉料開始熔融之前的這一加熱階段，本文將在tumbling模型的基礎上做出以下改進，從而給出一種相對簡單的傳熱模型。首先假設內部空氣與粉料混合非常均勻，二者之間沒有溫差。在建立熱平衡方程時，采用內部混合物的物性參數，這樣就可以計算內部混合物的溫度，它同時等于內部空氣的溫度和粉料的溫度。其次對于模具內壁面與內部混合物之間的傳熱系數，不采用以前文獻中的估計值，而是由理論公式計算得出。另外忽略模具本身的溫度梯度，即模具只有一個隨時間變化的溫度。這樣可將偏微分方程簡化為常微分方程，從而進一步減小數學求解的難度。

在滾塑工藝的加熱過程中，烘箱通過對流換熱傳給模具的總熱量中，一部分被模具本身吸收，另一部分被內部空氣和粉料的混合物所吸收。本文將內部混合物所吸收的熱量與烘箱傳給模具的總熱量之比定義為加熱效率，它表示在加熱過程中滾塑工藝對能量利用效率的高低。

本文將這個新的傳熱模型應用在一個正方體的滾塑模具上，把內部空氣溫度的計算值與其實驗值相比較以驗證該傳熱模型的準確性。然后利用該模型分別給出了加熱時間和加熱效率隨烘箱內加熱溫度、外部表面傳熱系數以及塑料制品厚度的變化規律，從而為滾塑工藝參數的優化控制提供了理論依據。

1 傳熱模型

如圖1所示，一個中空的立方體形鋼制模具在烘箱中被加熱，外界環境通過對流換熱將熱量傳遞給模具，模具再通過對流換熱加熱內部空氣和粉料的混合物，即內部混合物。

Tm為模具溫度，℃；Tpa為內部混合物溫度，℃；Toven為烘箱內的加熱溫度，℃；ho為模具外壁面與外界加熱環境間的表面傳熱系數，W/(m2·K)；hi為模具內壁面與內部混合物間的表面傳熱系數，W/(m2·K)圖1 立方體模具的傳熱模型示意圖Fig.1 Schematic of heat transfer model for a cubic mould

本文假設在加熱階段，粉料與內部空氣充分混合，形成一個材質均勻的內部混合物。即在任意時刻內部混合物的溫度與內部空氣的溫度和粉料的溫度都相等。一般情況下滾塑模具的壁厚都很小，因此可以忽略模具壁的溫度梯度。也就是說在本傳熱模型里，內部混合物和模具的溫度都只隨時間變化，而與空間位置坐標無關。根據能量守恒原理可知，外界環境傳給模具的熱量等于模具內能的增量與內部混合物內能的增量之和，同時模具與內部混合物的對流換熱量等于內部混合物內能的增量。由此得到方程式(1)和(2)。

(1)

(2)

式中Ao——模具的外壁面面積，m2

Ai——模具的內壁面面積，m2

Cm——模具材料的定壓比熱容，J/(kg·K)

Cpa——內部混合物的定壓比熱容，J/(kg·K)

Ma——內部空氣的質量，kg

Mm——模具的質量，kg

Mp——內部粉料的質量，kg

t——時間，s

T0——模具和內部混合物的初始溫度， ℃

初始條件為t=0，Tm=Tpa=T0。

為考慮內部空氣對換熱的影響，內部混合物的所有物性參數都按內部空氣和粉料在混合物中所占的質量百分比來計算。即：

(3)

其中B為任一物性參數如定壓比熱容(C)、熱導率(k)或密度(ρ)。下標a、p和pa分別表示內部空氣、粉料和內部混合物。

雷先明等[12]研究了回轉窯內物料顆粒在貼壁運動過程中與窯壁之間的傳熱系數，利用物料的非穩態導熱方程推出該傳熱系數的理論計算公式。本文將采用該公式來計算滾塑內部混合物與模具內壁面之間的傳熱系數hi，但將原文獻中物料顆粒的物性參數改為由式(3)所得內部混合物的物性參數。即：

(4)

如果直接將式(4)代入式(2)，將會產生非線性的微分方程。為減少數學求解的難度，通過對式(4)在加熱時間內進行積分可得hi的平均值,即模具內壁面與內部混合物間平均的表面傳熱系數，如公式(5)所示。

(5)

其中Δt為從滾塑模具開始受熱到其內部粉料剛開始熔融之間的這一段加熱過程所花費的時間，即前述的加熱時間。當模具的溫度上升到了樹脂粉料的熔融溫度，即認為粉料開始熔融，此時就是加熱時間Δt的終點。由式(5)得出的平均表面傳熱系數在加熱時間內是個常數，因此式(1)和(2)就變成了由2個線性常微分方程構成的方程組，可由MATLAB軟件很容易求解。具體的求解步驟為：

(2)采用MATLAB軟件求解方程式(1)和(2)，可得出模具溫度隨時間的變化曲線。在該曲線上找到模具溫度達到粉料的熔融溫度所對應的時間，即為第一次迭代所得的Δt。

(3)如果該Δt等于Δt的初始值，那么迭代即可終止。如果二者不相等，那么將該Δt代入式(5)算出新的平均表面傳熱系數。然后重復第(2)和第(3)步進行新一輪的迭代，直到新一輪迭代所得的加熱時間Δt與上一輪迭代所得的Δt相等，則迭代終止，計算結束。

由式(1)和(2)可以得到加熱效率(η)的計算公式為：

(6)

2 計算參數的設置

首先應用本文的傳熱模型來計算文獻[11]中的一個情形，然后將內部空氣溫度的計算值與該文獻中的實驗結果相比較，以驗證本文傳熱模型和計算方法的準確性。所計算情形的所有參數如表1所示。其中的外部表面傳熱系數是指模具外壁面與外界加熱環境間的表面傳熱系數。

表1 所計算情形的參數Tab.1 Parameters for the calculated case

3 計算結果及分析

3.1 計算結果與實驗結果的比較

如圖2所示，計算結果表明在時間為135 s時，模具的溫度達到了粉料的熔融溫度128 ℃，即加熱時間為135 s。嚴格來講，本文的傳熱模型不再適用于此后的滾塑加熱過程。但從圖1可以看出在320 s之前內部空氣溫度的計算值與實驗值都吻合得比較好，也就是說本文的傳熱模型不僅可以用來計算粉料熔融之前的、也可以用來計算熔融之后一段時間里的內部空氣溫度。

—內部空氣溫度的計算值 —模具溫度的計算值 ○—內部空氣溫度的實驗值 ●—在135 s時，模具溫度達到粉料的熔融溫度128 ℃圖2 內部空氣溫度的計算值與實驗值的比較Fig.2 Comparison of calculated results of internal air temperatures with experimental ones

在剛開始加熱的一段時間里，由于內部空氣的質量很小，因此其溫度隨時間很快上升。而本文傳熱模型所計算的內部空氣溫度實際上是內部空氣和粉料混合物的平均溫度，混合物的質量比內部空氣的大很多，故計算所得的內部空氣溫度隨時間增加得比較慢。這就是為什么剛開始的時候，內部空氣溫度的計算值比實驗值偏低。隨著加熱過程的進行，內部空氣開始把一部分熱量傳給粉料，二者之間的溫差越來越小，內部空氣的溫度隨時間增加的速率放慢。此時內部空氣溫度的實驗值越來越靠近計算值。當粉料進入熔融階段時，它還要吸收額外的熱量用來提供相變所需的潛熱，另外已經熔融的塑料層粘附在模具內壁面上又增大了熱阻。這兩個原因使得內部空氣獲得的熱量就更少，其溫度隨時間增加得更慢。而本文的傳熱模型并不適用于熔融階段，即沒有考慮粉料的熔融潛熱，故計算所得的混合物溫度隨時間上升越來越快。所以到了后期，內部空氣溫度的計算值反而比實驗值偏高。

文獻[11]沒有給出模具壁面溫度的實測值，故由本文傳熱模型算出的模具溫度無法通過實驗驗證，但可以通過簡單的理論分析來驗證計算結果的合理性。如前所述，本文忽略了模具壁的溫度差，實際上是應用了非穩態導熱問題的集總參數法[13]。由于立方體模具的壁厚只有其邊長的1/100，因此可將模具壁近似看成是一維的無限大平板。要使得集總參數法算出的瞬態溫度場誤差不超過5 %，就要求模具內、外壁面的Bi≤0.1(Bi數為固體內部單位導熱面積上的導熱熱阻與單位表面積上的換熱熱阻之比)。按一維無限大平板考慮，這2個集總參數法的適用條件可分別表示為式(7)和(8)。

(7)

(8)

式中δ——模具的壁厚，m

k——模具材料的熱導率，W/(m·K)

3.2 烘箱內加熱溫度和外部表面傳熱系數的影響

圖3 加熱時間隨烘箱內加熱溫度的變化Fig.3 Variation of heating time with heating temperature inside chamber

圖3顯示了按照表1中的計算參數，當烘箱內的加熱溫度由200 ℃增加到380 ℃時，加熱時間的變化規律。可以看出加熱時間隨著烘箱內加熱溫度的增大而減少；在加熱溫度比較高時，加熱時間隨之減少的速率變慢。即當加熱溫度比較高時，通過繼續提高加熱溫度來縮短加熱時間的效果會越來越差。

圖4顯示在200、280、380 ℃ 3個不同加熱溫度下，加熱效率都是隨時間的增大而增大。這說明隨著加熱過程的進行，內部混合物所吸收的熱量在總的加熱量中所占的比例越來越高。原因是模具與外部加熱環境直接接觸，剛開始時模具本身吸收了更多的熱量，而通過模具繼續傳給內部混合物的熱量就很少。隨著加熱過程的進行，模具的溫度越來越高，模具本身吸收的熱量逐漸減少，而通過它繼續傳給內部混合物的熱量開始增多。由圖4還可以看出在相同的時刻，加熱溫度較高的情形對能量的利用率比加熱溫度較低的情形要好。

加熱溫度/℃：1—380 2—280 3—200圖4 在不同加熱溫度下加熱效率隨時間的變化Fig.4 Variation of heating efficiency with time at different heating temperatures

加熱溫度/℃： —380 —280圖5 在不同加熱溫度下加熱時間隨外部表面傳熱系數的變化Fig.5 Variation of heating time with outer heat transfer coefficient at different heating temperatures

由圖5可以看出加熱時間隨著外部表面傳熱系數的增大而減少，當外部表面傳熱系數比較大時，加熱時間隨之減少的速率變慢。另外，在加熱溫度比較低的情形，加熱時間隨外部傳熱系數增大而減少的速率比加熱溫度較高的情形要更快。這說明當加熱溫度比較低且外部表面傳熱系數比較小時，增大外部表面傳熱系數是縮短加熱時間的有效途徑。

圖6顯示當加熱溫度保持為280 ℃，外部表面傳熱系數分別為18、26和30 W/(m2·K)時，加熱效率都是隨時間的增大而增大。另外在相同的時刻，外部傳熱系數較大情形的加熱效率比外部傳熱系數較小情形的要高。總之提高烘箱的加熱溫度以及強化外部環境與模具表面的對流換熱不僅可以縮短加熱時間，而且還可以改善滾塑工藝對加熱能量的利用率。

傳熱系數/W·m-2·K-1：1—30 2—26 3—18圖6 在不同外部傳熱系數下加熱效率隨時間的變化Fig.6 Variation of heating efficiency with time at different outer heat transfer coefficients

3.3 塑料制品厚度的影響

圖7 加熱時間隨塑料制品厚度的變化Fig.7 Variation of heating time with thickness of plastic parts

按烘箱內加熱溫度為280 ℃，外部表面傳熱系數為26 W/(m2·K)來計算不同厚度的塑料制品所需的加熱時間。如圖7表示，加熱時間隨塑料制品厚度的增大而增加。但對于厚度超過3 mm的塑料制品，加熱時間隨之增加得非常慢。加大塑料制品的厚度，意味著模具內部裝載了更多的粉料，內部混合物必須吸收更多的熱量才能提高其自身的溫度。但由于模具的熱阻很小，又直接受到外界環境的加熱，因此即使模具內部裝載的粉料較多，模具從外界吸收的熱量也要先滿足其自身的溫度升高到粉料的熔融溫度，除此之外多余的熱量才會繼續傳遞給內部混合物。也就是說粉料的裝載量或者塑料制品的厚度對加熱時間的影響不明顯。

較厚塑料制品的加熱時間只比較薄塑料制品的稍微增加一些，說明在從模具開始受熱到粉料開始熔融之間的階段，二者內部混合物總共吸收的熱量相差不多。但前者模具內部粉料或混合物的質量更大，因此當粉料開始熔融時，前者內部混合物的溫度更低。即如圖8所示，此時內部混合物的溫度隨塑料制品厚度的增大而降低。對于較厚的塑料制品，當粉料開始熔融時其內部混合物的內能較小，故要使得粉料全部熔融還需花費更長的時間從模具吸收足夠多的熱量以將粉料溫度提高到熔融溫度并完成相變過程。也就是說如果以熔融過程結束作為加熱時間的終點，那么加熱時間隨塑料制品厚度增加的速率應該比圖7所示的要大很多，這與文獻[7]中的相關結論也是不矛盾的。

圖8 當粉料剛開始熔融時內部混合物的溫度隨塑料制品厚度的變化Fig.8 Variation of temperature of internal mixture with thickness of plastic parts when powder just starts to melt

由圖8還可以看出隨著塑料制品厚度的增大，在粉料開始熔融時內部混合物的溫度降低的速率變慢。本文所研究的塑料制品是一個中空的立方形殼體，其質量大小與其厚度并不嚴格成正比關系。也就是說隨著塑料制品厚度的增大，在模具內部粉料的質量比其增大的幅度要低一點。另外由圖7可知，內部混合物所吸收的熱量隨塑料制品的增厚要稍微增多一些。這2個因素的綜合影響起了一定程度的抵消作用，使得粉料開始熔融時內部混合物溫度的下降速率變緩。

圖9表示了塑料制品的厚度對加熱效率隨時間變化規律的影響。對于厚度較小的塑料制品，剛開始時其加熱效率隨時間增加較快，隨后隨時間增加的速率變慢，其變化規律為一條曲線。隨著塑料制品厚度的增大，其加熱效率隨時間的變化規律逐漸由曲線變成斜直線。在加熱過程中，較厚的塑料制品比較薄的塑料制品具有更高的加熱效率。這是因為較薄的塑料制品意味著模具內裝有較少的粉料，它只需要吸收較少的熱量就可以升到較高的溫度。但在加熱過程中粉料和內部空氣的溫度又必須低于模具的溫度，因此在烘箱所給總的傳熱量中就必須分配更多的份額給模具以使得模具的溫度能及時升上來，而留給粉料和內部空氣混合物的熱量所占的百分比就比較小，故具有較低的加熱效率。從經濟性來講，對于厚度較小的滾塑制品，在滿足強度和剛度的前提下，應盡量采用較薄的模具以改善能量的利用率。另外由于鋁的密度與其比熱容的乘積小于碳鋼的，因此采用鋁制模具也有利于提高較薄滾塑制品的加熱效率。

厚度/mm：1—1 2—4 3—9圖9 不同厚度塑料制品的加熱效率隨時間的變化Fig.9 Variation of heating efficiency of plastic parts of different thicknesses with time

4 結論

(1)為粉料開始熔融前的滾塑工藝加熱階段建立了一個簡單的傳熱模型，采用理論公式來計算模具內壁面與內部混合物間的傳熱系數，仿真所得的內部空氣溫度與其實驗值吻合較好；

(2)加熱時間隨塑料制品厚度的增大而增加，但當厚度超過3 mm時，加熱時間隨之變化非常小；

(3)加熱效率隨時間的增加而增大。較高的加熱溫度、較大的外部表面傳熱系數以及較厚的塑料制品都具有較高的加熱效率。

[1] GOGOS G, OLSON L G, LIU X J, et al. New Models for Rotational Molding of Plastics[J]. Polymer Enginee-ring and Science, 1998, 38(9): 1 387-1 398.

[2] GOGOS G, LIU X J, OLSON L G. Cycle Time Predictions for the Rotational Molding Process With and Without Mold/Part Separation[J]. Polymer Engineering and Science, 1999, 39(4): 617-629.

[3] OLSON L G, CRAWFORD R, KEARNS M, et al. Rotational Molding of Plastics: Comparison of Simulation and Experimental Results for an Axisymmetric Mold[J]. Polymer Engineering and Science, 2000, 40(8): 1 758-1 764.

[4] LIU S J, FU K H. Experimental Investigation and Numerical Simulation of the Heating/Cooling Process in Rotational Molding Enhanced With Fins[J]. Journal of Applied Polymer Science, 2008, 108(3): 1 696-1 705.

[5] GRECO A, MAFFEZZOLI A, VLACHOPOULOS J. Simulation of Heat Transfer During Rotational Molding[J]. Advances in Polymer Technology, 2003, 22(4): 271-279.

[6] SARRABI S, COLIN X, TCHARKHTCHI A. Kinetic Modeling of Polypropylene Thermal Oxidation During Its Processing by Rotational Molding[J]. Journal of Applied Polymer Science, 2010, 118(2): 980-996.

[7] 劉學軍.滾塑成型工藝加熱階段的數值研究[J].中國塑料，2012, 26(11): 88-92.

LIU X J. Numerical Study on Heating Phase of Rotational Molding Process[J], China Plastics, 2012, 26(11): 88-92.

[8] 劉學軍.滾塑工藝成型周期的數值研究[J].中國塑料，2013, 27(10): 58-64.

LIU X J. Numerical Study on Cycle Time of Rotational Molding Process[J], China Plastics, 2013, 27(10): 58-64.

[9] OLINEK J, ANAND C, BELLEHUMEUR C T. Experimental Study on the Flow and Deposition of Powder Particles in Rotational Molding[J]. Polymer Engineering and Science, 2005, 45(1): 62-73.

[10] LIM K K, LANAKIEV A. Modeling of Rotational Molding Process: Multi-layer Slip-flow Model, Phase-change, and Warpage[J]. Polymer Engineering and Science, 2006, 46(7): 960-969.

[11] BANERJEE S, YAN W, Bhattacharyya D. Modeling of Heat Transfer in Rotational Molding[J]. Polymer Engineering and Science, 2008, 48(11): 2 188-2 197.

[12] 雷先明，肖友剛.物料與窯壁間歇接觸對回轉窯傳熱過程的強化效應[J].中國工程科學，2006, 8(8): 39-44.

LEI X M, XIAO Y G. Enhancement Effect Towards Heat Transfer of Rotary Kiln by Intermittent Contact between Material and Kiln Wall[J], China Engineering Science, 2006, 8(8): 39-44.

[13] 楊世銘，陶文銓.傳熱學[M].北京:高等教育出版社，1998: 65-69.