分形維數約束ICA-RLS的遙測振動信號降噪方法?

玄志武 商諾諾 劉 學

1 引言

受試驗環境、飛行器本身的振動和沖擊以及測量傳輸等因素的影響，采集到的遙測振動信號夾雜著大量的高頻、低頻和沖擊噪聲、各階次的諧波分量，頻譜成分異常復雜。噪聲的存在對于信號包絡的有效提取是一種障礙，致使分解得到的包絡信號變得不準確，對自適應時頻分析技術的影響尤為明顯，從而影響對信號進行進一步的時頻處理。好的降噪效果對提高時頻分析的分辨率、提高算法性能以及對信號特征的提取具有重要的實際價值和理論意義。

自適應降噪一直是信號處理領域研究的熱點，如文獻［1］提出利用樣本熵方法對眼電信號中的偽跡成分進行自適應降噪，文獻［2］提出采用模板匹配方法對眼電信號中的偽跡成分進行自動去除，且無需設置參考信號，但這兩種方法需要根據先驗信息或者歷史經驗去設定閾值，受人為因素影響較大。文獻［3］提出直接利用RLS濾波器進行自適應濾波，但是RLS自適應濾波本質也是一種回歸濾波方法，需要輸入參考信號，因而它也回歸濾波方法固有的“雙邊干擾”問題，且對遙測振動信號處理時，由于缺乏先驗信息，很難確定參考信號。最近文獻［4］提出一種獨立分量分析（ICA）與遞歸式最小均方（RLS）相結合的ICA-RLS方法［4］對腦電噪聲進行自適應降噪的方法，但是該方法是將ICA分解后的所有源信號進行濾波，很可能將部分信號當作噪聲濾除，這對遙測振動信號處理是不可接受的，如果故障信息因濾波而損失或被濾除，將對試驗的分析與鑒定產生嚴重影響。針對這一問題，本文提出一種基于分形維數約束的ICA-RLS的遙測振動信號降噪方法，首先提出基于峭度最大化的牛頓迭代ICA方法，對振動信號進行盲源分離；然后采用分形維數去篩選所需濾波的源信號，可以有效地避免把振動信號作為噪聲被濾除；最后通過實際采集的遙測振動信號進行仿真驗證，結果表明所提算法可以有效避免有用信息不受損失，且具有較好的降噪效果。

2 基于ICA的盲源分離方法

2.1 相空間重構

遙測振動信號通常采用單通道觀測，其結果往往是一個矢量，如果想利用ICA盲源分離方法對單通道觀測矢量數據進行處理，就需要進行相空間重構，本文采用混沌序列相空間重構的方法將振動信號擴展到多維相空間，使混疊的各源信號在多維空間中重新展開，然后采用ICA方法對源信號進行分離。

對遙測振動信號{x | xi， i=1，2，…，N}進行混沌相空間重構，得到 m維相空間{y | x1， x2+τ，…，xM+(m-1)τ} ，其中 m 和 τ分別為嵌入維數和延遲時間，M=N-(m-1)τ為相空間重構后的向量點數。相空間的重構質量與嵌入維數和延遲時間的選擇有直接關系。由于對遙測振動信號缺乏先驗信息，嵌入維數選取較為困難，可以先求延遲時間，根據延遲時間去確定嵌入維數，求取延遲時間的算法很多，如C-C算法［5-6］、G-P算法［6］、互信息量法［6］等，具體算法流程參見文獻［5～6］，對比算法性能和計算效率，本文采用互信息量法獲取延遲時間 τ，然后根據 τ和Takens原理［7］采用Cao算法［8］得到嵌入維數 m 。

2.2 基于峭度最大化牛頓迭代ICA算法

ICA是在統計獨立性的假設下對混疊信號中的各獨立源進行盲源分離的方法。即找到分離矩陣W，通過下式：

得到對源信號的估計 S^=[s^1，s^2，…s^M]T，進而達到盲源分離的效果，其中 S=[s1，s2，…sM]T為源信號矢量，A為混疊矩陣，X=[x1，x2，…xN]T為混疊信號矢量。由于傳統的基于峭度的ICA方法采用不動點迭代法計算分離矩陣，存在計算效率低，分離矩陣不收斂，分離效果差等缺點。文獻［9］采用牛頓迭代法來去獲取分離矩陣W，但該方法存在當約束條件導致源信號的均值為零時致使算法不穩定的缺陷，針對這些問題，本文從峭度極大化的角度提出一種牛頓迭代的ICA方法，使用牛頓迭代法對峭度公式在約束條件的約束下對分離矩陣的迭代運算，在迭代的過程中通過降低分離結果的高斯性分離出各源信號，仿真實驗表明該方法可以有效提高算法的運算效率和分離效果。

首先定義信號的峭度［9］

設s^=wTx，其中w為分離矩陣的W 的一個分量，則 kurt(s^)對 w 的梯度為［9］

基于峭度最大化的目的，采用拉格朗日算法計算在約束條件E[(wTx)2]=||w ||=1下的極值解

采用牛頓迭代法，得到w的迭代公式

利用該迭代公式，當完成 p個獨立分量的估計，為了防止各分量收斂到相同的極值點，本文采用去相關抽取法對每一次迭代后的線性組合進行去相關抽取，然后再進行歸一化處理，這樣就可以有效避免因約束條件使得各獨立分量收斂到相同的極值點，導致源信號的均值為零致使算法不穩定的問題。具體公式如下：

采用上面的方法對所有分量w進行估計后，就可以得到分離矩陣W。

3 分形維數約束ICA-RLS降噪方法

3.1 分形維數

分形理論作為一種重要的數學工具，可以對自然界中各種復雜的信號、形狀和結構等進行定量描述，是當前信號處理領域研究的熱點。本文采用分形維數對信號復雜度和不規則度進行度量。根據分形理論，分形維數大表明信號成份豐富且復雜，反之，表明信號簡單且具有規律性。對于遙測振動信號處理而言，首要關心的是信號中的異常成份，通過異常頻率去分析本身結構以及各系統是否出現異常，受試驗環境、飛行器本身的振動和沖擊以及測量傳輸等因素的影響，異常信號成份往往非常復雜，呈現較大的非線性和非平穩性，分形維數較大。通過大量試驗分析，異常信號的分形維數（網格維數）大于1.5，這樣就可以通過分形維數對ICA分離出的源信號進行篩選，對分形維數較大的予以保留，避免信息損失，對分形維數較小的源信號進行RLS濾波，達到降噪的目的。

3.2 網格維數與計算方法

分形維數又分為盒維數、關聯維數、Hausdorff維數和網格維數等。對于一維信號來說盒維數與網格維數是等價的，本文采用網格維數更便于計算機處理。

給定遙測振動信號{x | xi， i=1，2，…，N}，其網格維數［10］定義為

3.3 分形維數約束ICA-RLS降噪方法

ICA-RLS降噪方法結合了盲源分離與自適應濾波算法的優點，采用ICA將混疊信號分解成源信號，再通過RLS自適應濾波對各獨立源信號進行自適應濾波，在腦電信號降噪應用中取得了較好的效果，但在遙測振動信號應用中，由于該方法會對所有的源信號進行濾波，難免會造成信息損失，特別是將異常信號作為噪聲濾除將大大減少該遙測信號的利用價值，對試驗分析將產生嚴重影響，為了解決這一問題，本文采用分形維數去約束ICA-RLS濾波過程，避免有用信息的損失。算法流程如下：

1）對采集到的遙測振動信號進行預處理：零漂修正、趨勢項消除，然后對其進行相空間重構；

2）采用基于峭度最大化牛頓迭代ICA算法對信號進行盲源分離，得到源信號分量S^=[s^1，s^2，…s^M]T和分離矩陣W ；

3）計算各源信號的網格維數Di，i=1，2，…，M ，利用網格維數篩選濾波源信號，根據前期大量實測信號的試驗分析，包含異常信號分量源信號的網格維數大于1.5，保守起見，采用靠近網格維數為1.5的Di曲線最大的階躍點作為篩選條件，具體操作過程：將網格維數Di進行升序排列，以排列后的Di曲線最大的階躍點作為篩選條件。到此便可以把源信號分量S^劃分為兩部分，一部分為待濾波源信號S^dl，另一部分為保留源信號S^b；

4）對濾波源信號S^dl進行RLS自適應濾波，參考信號可選網格維數較低的幾個源信號組合，RLS濾波原理如圖1所示；

圖1 RLS濾波原理圖

5）將濾波后的源信號S^l與S^b進行重新組合得到重組源信號S^′，在組合的過程中保持相對位置不變，利用分離矩陣W對源信號進行重構得到X=WS^′，對相空間信號X進行還原即可得到降噪后的遙測振動信號，相空間還原方法參加文獻［11～12］。

4 實驗與結果分析

為驗證文中提出方法的有效性，采用某次試驗任務采集的遙測高頻振動信號進行處理驗證。采樣頻率為5kHz，其時域波形如圖2所示。

圖2 采集的遙測振動信號

圖3 ICA分離結果

利用互信息量法求取其延遲時間τ=3，Cao算法得到嵌入維數m=7，混沌相空間重構后，采用基于峭度最大化牛頓迭代ICA算法對信號進行盲源分離，得到如圖3所示的7個獨立源信號分量，分別求取各源信號的網格維數并進行排序，得到如圖4所示的網格維數分布圖，根據算法第3）步的約束條件可知，排序后源信號序號5以前的為待濾波源信號S^dl，序號為6和7的源信號為保留源信號S^b，對S^dl進行RLS濾波然后與S^b進行重組，利用第2）步估計出的分離矩陣W對源信號進行重構，相空間還原后得到濾波后的遙測振動信號，如圖5所示。

從實驗結果可以看出，遙測振動信號成份非常復雜，呈較大的非線性和非平穩性，本文所提的分形維數約束ICA-RLS的遙測振動信號降噪方法結合了分形分析、盲源分離與自適應濾波算法的優點，采用分形維數去約束ICA-RLS濾波過程，避免ICA-RLS將異常信號作為噪聲濾除的缺點，在保證有用信息不受損失的原則下對信號進行降噪，從圖4可以看出降噪后的信號更為平滑，毛刺相對減少，降噪效果較好。但降噪后信號幅度有大幅衰減，這是因為ICA算法在迭代進行盲源分離的過程中會對信號進行白化和歸一化處理，幅度不確定性是ICA的固有缺陷，但幅度的變化不影響對信號頻域成份的分析，不會造成時頻分布的變化，對試驗分析鑒定不產生影響。

圖4 網格維數分布圖

圖5 濾波后的遙測振動信號

5 結語

提出一種分形維數約束ICA-RLS的遙測振動信號降噪方法，結合了分形分析、盲源分離與自適應濾波算法的優點，采用分形維數去約束ICA-RLS濾波過程，有效解決了ICA-RLS將異常信號作為噪聲濾除的缺點，在保證有用信息不受損失的原則下對信號進行降噪，實測信號實驗表明該方法具有較好的降噪效果，對試驗的分析與鑒定有較高的理論與實用價值，同時，所提方法具有普遍的適用性，也可推廣到其它降噪領域。

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