淺談中學(xué)數(shù)學(xué)逆向思維方法

胡艷

【摘要】本文通過(guò)在教學(xué)當(dāng)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的常見(jiàn)途徑，闡明了數(shù)學(xué)題當(dāng)中“正難則反”的一種思維方法，它對(duì)于培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生思維敏捷性和靈活性大有禪意，常會(huì)因此收到意想不到的良好效果或是會(huì)獲得新的創(chuàng)新發(fā)明。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué) 逆向思維方法

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）01-0135-02

“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，數(shù)學(xué)題五花八門，解題的方法也各式各樣，那么針對(duì)不同的數(shù)學(xué)題而采取不同的方法解它才能迅速便捷。在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)當(dāng)中，教師應(yīng)當(dāng)重視對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維轉(zhuǎn)換能力的訓(xùn)練，而逆向思維能力則是思維轉(zhuǎn)換的一種重要的表現(xiàn)形式。逆向思維是一種從已有的習(xí)慣思維的反方向思考問(wèn)題，它的基本特征是“雙向性”和“可逆性”，在中學(xué)數(shù)學(xué)解題當(dāng)中則表現(xiàn)為“反序”和“否定”，逆向思維是一種產(chǎn)生新思想，發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的重要思維方式，本文就一些直接從正面探求，但絞盡腦汁也一籌莫展的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果能改變一下思考的角度，將思維逆轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)向習(xí)慣性思維進(jìn)程的反面，就能間接迂回打開(kāi)解題通道，而使問(wèn)題獲得優(yōu)解，正如同伽利略看到人們用力推車后，從反面提出問(wèn)題“如果還用力推車子，結(jié)果會(huì)是怎么樣？”

一、逆用定理

數(shù)學(xué)定義總是可逆的，學(xué)生在解題當(dāng)中往往習(xí)慣于正面使用定義，而對(duì)定義的逆用卻缺乏自覺(jué)性，以至影響了解題的質(zhì)量和速度，其實(shí)，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題逆用定義來(lái)分析，會(huì)更加的簡(jiǎn)捷明快，干脆利索。

例1.設(shè)f（x）=4x-2x+1，求f-1（0）

分析：常見(jiàn)的方法是：先求出反函數(shù)f-1（x），再求出反函數(shù)f-1（0）的值，但是，此解法太笨太繁，只要我們逆用反函數(shù)的定義，令f（x）=0，解出x的值即為f-1（0）的值。

解：令（2x）x-2·2x=0 可得到：2x（2x-2）=0

有2x=2

簡(jiǎn)析：此題在標(biāo)準(zhǔn)卷子中給出了兩種解法，但是逆用定義（方程根的定義）、還可以得到更簡(jiǎn)潔的解法。

二、逆向分析法

分析法的實(shí)質(zhì)是“執(zhí)果索因”要證實(shí)結(jié)論成立，只需要找到使結(jié)論成立的充分條件即可。換句話說(shuō)，就是從肯定結(jié)論入手進(jìn)行推理，推得符合條件或易證的命題，而推理的每一步均可逆，于是證得原命題成立，這種“執(zhí)果索因”的分析法，便于思考易于找到解題的途徑。

例.設(shè)a、b是正數(shù)，且2c>a+b 求證：

c-■

證：解證c-■

只需證 -■

即∣a-c∣<■

只需證（a-c）2

即 a+b< 2c該式為已知條件且以上推理每步均可逆，故原不等式得證。

三、反解法

用此方法的理論根據(jù)：記原問(wèn)題的解集為A取消某種限制條件后，該問(wèn)題的解集為全集I，則A為限制條件相反問(wèn)題的解集，由于A=A .故原問(wèn)題的解集即為限制條件相反時(shí)該問(wèn)題解集的補(bǔ)集。

例：求二次項(xiàng)式（■–y）21 展開(kāi)式當(dāng)中所有無(wú)理系數(shù)之和。

分析：本題若是直接用二次項(xiàng)式定理展開(kāi)求解極為繁瑣，先考慮從反面求解，取消系數(shù)當(dāng)中“無(wú)理”條件的限制，在（21■-y）21中所有系數(shù)之和為I；所有無(wú)理數(shù)系數(shù)之和為A；則A為所有有理數(shù)系數(shù)之和。解如下：

解：在二項(xiàng)式（21■-y）21中，含x=y=1，可得展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)之和為：（21■-1）21，對(duì)此二次項(xiàng)展開(kāi)式當(dāng)中所有有理系數(shù)只有兩項(xiàng)（21■）21=2x21以及（-y）21=-y21.其系數(shù)之和為1 ，故（21■-y）21展開(kāi)式當(dāng)中所有無(wú)理數(shù)系數(shù)之和為（21■-y）21-1

這種從問(wèn)題的反面入手進(jìn)行求解的方法我們稱之為反解法。

反解法與反證法同屬于逆向思維的方法，適用范圍也相類似，一般的，有關(guān)“否定性”，“存在性”，“至多”，“至少”為類型問(wèn)題的證明題常用反證法。而此類問(wèn)題的求解題則可考慮用反證解法。

說(shuō)明：當(dāng)問(wèn)題的反面有多種可能性時(shí)，應(yīng)從全集中除去了符合條件的部分；排列組合應(yīng)用題中的間接解法實(shí)際上是反解法的真實(shí)運(yùn)用。

四、逆向排除法

反例是數(shù)學(xué)的重要組成部分，當(dāng)一個(gè)命題不真時(shí)，只要舉示一個(gè)反例就可以否定它，特別是在結(jié)構(gòu)作反例處理選擇題當(dāng)中，常能起到立竿見(jiàn)影的功效。

例：

設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足a2-bc-8a+7=0b2+c2+bc-6a+6=0

那么a的取值范圍是（ ）

A.（-∞，+∞） B.（-∞，1】∪（9，+∞）

C.（0，7） D.【1，9】 （1986全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）

分析：由于1/2屬于（A），（B），（C）集合，但（3）屬于（D）中的集合，所以，可舉反例：若a=1/2 此時(shí)：

b2+c2+bc+6a+6=b2+c2+bc+3

=（b+c/2）2+3/4c2+3>0不為零

這說(shuō)明3a≠1/2

則可排除（A），（B），（C）故選（D）

五、反客為主

受思維的影響，人們?cè)诮忸}時(shí)總是將注意力集中在某些地位較醒目的注意的主元素上，這在很多情況下是正確的，但是在某些特定的條件下，若能“反客為主”，常能取得出人意料的效果。

例：當(dāng)m為何值時(shí)，方程sin2x+2sinxcosx-2cos2x=m有實(shí)數(shù)解。

分析：此題若是以x，y為主元，則自然含從⊿=b2-4ac的角度去考慮，這條路這樣走很難走通，且會(huì)連連碰壁，若是另：

m=sin2x+2sinxcosx-2cos2x=1+sin2x-3cos2x

=1+sin2x-？（1+cos2x）=sin2x-3/2cos2x-1/2

=■/2sin（2x-x）-1/2

其中x滿足{ }

所以：-1-■/2≤m≤-1+■/2時(shí)原方程有實(shí)數(shù)解

可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)a=x+5/x-4.（1≤x≤2）的值域。由函數(shù)a=x+5/x-4.（1≤x≤2）的值域。由函數(shù)a-x=5/x-4在定義域{x∣1≤x≤2}內(nèi)是減函數(shù)可知：1/2≤a≤2

即當(dāng)1/2≤a≤2時(shí)，直線L與曲線C在【1，2】上有公共點(diǎn)。

以上僅僅是數(shù)學(xué)當(dāng)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的常見(jiàn)途徑，在各科教學(xué)當(dāng)中，有許多培養(yǎng)逆向思維的好素材，只要以后我們?cè)诮虒W(xué)中長(zhǎng)期堅(jiān)持，積累探索并不失時(shí)機(jī)地利用這些素材，學(xué)生的逆向思維能力將逐步走上新的臺(tái)階。值得一提的是，逆向思維能力的培養(yǎng)是以扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，基本技巧為前提的，因此，必須同時(shí)注重“三基”的教學(xué)逆向思維能力的培養(yǎng)必須與其他能力的培養(yǎng)同時(shí)進(jìn)行，學(xué)生才能形成良好的思維結(jié)構(gòu)。

培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的方法很多，但有時(shí)需要綜合運(yùn)用，方能體會(huì)其中的意境，有時(shí)針對(duì)常法而逆針對(duì)題目的條件、結(jié)論而逆，以及針對(duì)推理步驟而逆等等，無(wú)論怎么樣一種逆向思維的方法，都要從常規(guī)方面著手，由此尋求解決問(wèn)題的方法，它反映在教學(xué)實(shí)踐中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)特點(diǎn)，有利于提高學(xué)生靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)和解題技巧的能力，利于培養(yǎng)思維的敏捷性和科學(xué)性，尤其是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的全過(guò)程，是促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性思維得到迅速發(fā)展的過(guò)程，教師要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況和思維活動(dòng)特點(diǎn)，努力挖掘教材中的互逆元素引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“逆反轉(zhuǎn)換”的策論解題，它可以有效地克服正向思維的心理定勢(shì)產(chǎn)生的消極影響增強(qiáng)互逆的雙向思維意識(shí)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生解題能力的提高與思維的流暢，變通和獨(dú)特，自古以來(lái)逆向思維的運(yùn)用就已經(jīng)在生活、生產(chǎn)學(xué)習(xí)甚至戰(zhàn)爭(zhēng)中展現(xiàn)了智慧之光，為人們能在實(shí)踐中滲透數(shù)學(xué)思想、解決問(wèn)題提供了廣闊的前景。

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