基于建模思想的數學分析原理及方法研究

姜 權

（大同大學渾源師范分校 山西·渾源 037400）

數學分析又被稱為高等微積分，是分析學中的最主要組成部分之一。而數學建模是將抽象的原型具象化，從而使原型中各種隱含的內容直觀的體現出來的一種方法。在數學分析中應用數學建模思想，能夠將抽象的內容具象化，更利于學生的分析和理解，同時也能夠激發學生的學習興趣，培養學生的數學學習素養，從而推動數學分析學習的不斷發展。因此，要將數學建模思想與數學分析的教學深度融合。

一、數學分析與數學建模

（一）數學分析

數學分析又被稱之為高等微積分，是分析學中的最古老、最基本的分支。其主要分為兩個部分，一部分為微積分學，也就是包含微分、積分等概念的學科，另一部分為無窮級數，也就是研究有次序的可數或者無窮個數函數的和的收斂性及和的數值的方法的學科。從微積分到函數的各種特性，數學分析呈現出了高度的完整性，不僅在數學領域具有重要的意義，同時，數學分析還能夠應用到物理學中，成為了人們認識和了解世界的重要方法。

數學分析是有一條清晰的縱向線構成的，從最基礎的實數開始，構成了極大和極小的極限理論，而極限理論構成了最基礎的微積分學，微積分則是數學分析中的主要內容。在早期的數學研究中，微積分被用來解決大量實際問題，在天文、物理等方面都有廣泛的用途。但傳統的微積分學還存在一定的弊端，也就是對于無窮小的問題很難進行科學的解釋，這也就使得微積分學在很長一段時間之內沒有得到發展，甚至許多學者對微積分學存在不信服的態度。而后，經過數學家的不斷努力，極限理論被正式提出，解決了微積分學中存在的極限問題缺陷，這也就使得微積分學日趨完整，逐漸成為一個邏輯完備嚴密的數學基礎學科，微積分學也被人稱之為分析學。

（二）數學建模

模型也就是根據原型中所提出的各種數值和條件，將抽象的原型具象化，從而使原型中各種隱含的內容直觀的體現出來的一種方法。對于數學而言，數學建模又屬于一種數學結構，可以有效的反饋并解決出數學問題。除此之外，在數學建模中，所得到的解能夠更輕易的進行驗證和多次循環，對于數學分析而言，數學建模具有重要的意義。

二、數學建模思想在數學分析中的意義

（一）便于學生的分析和理解

數學建模的一個重要特點，就是能夠將抽象的內容具象化，從而便于學生的觀察。對于數學分析而言，其內容絕大多數都具有高度的抽象性，如極值等，這種抽象的內容不僅會包含大量的隱性信息，并且觀察和學習起來也具有極高的難度，不利于學生的分析和理解。因此，需要運用數學建模的思想，將其進行直觀化、簡單化處理，讓數學分析與實際生活相結合，才能夠體現出數學分析在各個領域中的重要作用。同時，在利用數學建模思想進行數學分析學習的過程中，也能夠讓學生了解到數學分析的應用方向，從而提升數學分析的學習水平。

（二）激發學生的學習興趣

對于學生而言，使其對一個知識體系具有學習興趣，最主要的原因之一，就是知識體系能夠與實際生活緊密結合。數學分析蘇既然在多個領域內能起到重要的作用，但其本身與實際生活的關聯性較低，學生很難使其與實際生活相結合，也就導致了學生普遍對數學分析缺乏學習興趣。而使用數學建模的思想，數學分析呈現出具象化的狀態，與實際生活之間的聯系愈發密切，并且能夠解決實際生活中出現的問題，能夠有效的激發學生的學習興趣，提升數學分析的學習水平。

（三）培養學生的數學素養

數學知識教育只是數學教育的一部分，許多學生在未來并不會從事與數學乃至于數學分析有關的行業，因此，對學生進行數學分析和數學模型的教育，更重要的是為了培養學生的數學素養，讓學生能夠根據數學建模的思維方式，來對周圍的事物進行觀察和分析，從而將復雜的問題簡單的問題，提升學生的綜合素質，對學生綜合素質的全面發展具有重要的意義。

三、數學分析中數學建模的應用方法

（一）在教學中應用數學建模

傳統的教學方法主要是將知識點的定理或公式直接提供給學生，這種方法雖然能夠最快的讓學生記住公式內容，并使學生能夠盡快對公式進行運用，但該方法也存在較大的弊病，就是沒有讓學生了解這些公式的具體推導過程以及邏輯思路，這就導致學生無法對數學學科中的各個知識點進行具體的歸納，進而難以形成一個明確的知識框架，更無法靈活運用。此外，由于公式的推導過程較為復雜，這也使其難以對其推導進行有效而又直觀的呈現出來。如何將其直觀的講解出來，是數學分析教學的一個重要難點。針對這一難點，可以應用數學建模的思想來進行教學。首先，這些定理或公式是經過推導而成的，而其推導過程以及具體的邏輯思路都具有一定的歷史淵源，教師可以在數學分析中滲透數學史的教育思想，使學生能夠了解數學家們在對某一實際問題進行解決時所產生的靈感及思路，以此達到激發學生求知欲望的目的。其次，在利用數學建模思想建立模型時，可以將定理中所給出的內容作為假設，并構建一個問題情境，然后根據這一問題情景來借助于模型對相應的定理或公式進行逐步推導，這種方式能夠更加直觀的展現出公式的推導過程和邏輯，可以有效的提升數學分析水平。

（二）實驗教學中滲透數學建模

隨著信息技術的不斷發展，數學軟件的數量越來越多，在數學研究和學習中所能夠起到的效果也在不斷提升。因此，可以通過應用數學軟件的方式，進行數學分析的實踐教學。在實踐教學中應用數學建模，既能夠有效的提升學生對于數學分析的學習興趣，還能夠更輕松的利用數學建模，達到對數學分析進行研究與學習的目的。比如，在對數學分析中某一具體問題進行解決時，可以通過MATLAB數學建模軟件來對該問題的數學模型進行構建，這樣能夠使該問題的解決思路更好的通過數學模型進行表達出來，進而使學生能夠根據數學模型來直觀的了解數學建模思想在實際問題解決中的相關應用。

（三）課后作業中應用數學建模

在課堂學習和實驗學習結束之后，教師需要為學生布置課后練習作業，練習作業能夠有效的提升學生對知識點的理解和應用水平，而傳統的作業布置隨機性太強，并且內容單調，無法培養學生的數學分析學習水平。因此，在課后作業的布置上，可以加入更多與數學建模思想相結合的例題，這些題目要具備開放性的特點，可以在同一題目中設置多種解決方法，引導學生利用數學建模思想對該題目的解題模型進行構建，使學生能夠表述出該題目的具體解題思路及解題方法，同時鼓勵學生通過多種方式對數學問題進行解決，在課后作業布置中，一定要注重學生在數學分析中對解題思路的培養，這樣既能夠培養學生的多元思維能力，又能夠提升學生對數學建模和數學分析的學習水平[4]。

（四）在考試中滲透數學建模

考試是檢驗學生一段時間內學習水平的最主要方式，傳統的數學考試是以閉卷的形式進行的主要分為選擇、填空、應用等形式進行的。其中，選擇題和填空題占有的分值較高，雖然能夠起到對學生學習能力檢驗的作用，并且閱卷更加方便，但相對而言，無法體現出學生對建模思想的了解程度，并且還存在著投機等問題，其檢驗效果相比應用題目較差。因此，在數學考試中，可以增加一道開放性的，包含了數學建模思想的數學考試題目，使學生能夠通過數學建模思想來對題目進行解決，鍛煉學生的數學建模能力。這樣既符合數學考試的核心目的，又能夠更好的祈禱學生知識水平的檢驗作用，對激勵學生進行數學分析學習具有重要的意義。

結語

數學建模思想不僅能夠對數學分析的研究與學習能夠起到重要的作用，還能夠培養學生的綜合素質水平。首先，要在教學過程中應用數學建模思想，將定理或公式的推導過程直觀的展現出來，可以有效的提升數學分析水平。其次，要在實驗教學中滲透數學建模，通過應用數學軟件等方式，構建實驗教學體系，提升對數學分析的研究和學習水平。再次，要在課后作業中應用數學建模在課后作業的布置上，可以加入更多與數學建模思想相結合的例題，這些題目要注重開放性的特點。最后，要在考試中滲透數學建模，可以增加一道開放性的，包含了數學建模思想的數學考試題目。通過多種方式的共同使用，可以有效的提升數學分析的教學水平，促進學生綜合素質的全面發展。

[1]黃敬頻.淺談數學建模思想在數學分析教學中的滲透[J].廣西大學學報(自然科學版),2003,(S2)：21-24.

[2]韋程東,羅雪晴,程艷琴.在數學分析教學中融入數學建模思想的探索與實踐[J].高教論壇,2008,(03)：77-79+115.

[3]劉建國.數學建模思想融入《數學分析》教學的研究與實踐[J].懷化學院學報,2014,33(11)：81-83.