關(guān)于不定方程 (47n)x+(1104n)y=(1105n)z

鄭超予

南京財經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，南京，210046

1 引 言

若a,b,c是互素的正整數(shù)使得a2+b2=c2且2|b, 并對于任給的正整數(shù)n, 可以清晰地得到不定方程

(an)x+(bn)y=(cn)z

(1)

只有解(x,y,z)=(2,2,2)。1956年,Sierpinski[1]證得(1)沒有別的解,當(dāng)n=1且(a,b,c)=(3,4,5)時。同一年,Jesmanowicz[2]得出相同的結(jié)論: 當(dāng)n=1且(a,b,c)=(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),(11,60,61)。進(jìn)一步地,他猜測對于(1)除了解(x,y,z)=(2,2,2)沒有其他的解。在文獻(xiàn)[3]中，鄧謀杰與Cohen得到(a,b,c)=(3,4,5)時Jesmanowicz猜想是正確的。在文獻(xiàn)[4]中,湯敏證得(a,b,c)=(8,15,17)時Jesmanowicz猜想是正確的。

在本文中,對于(1)且(a,b,c)=(47,1104,1105)可以得到相同的結(jié)果。

定理對于任給的正整數(shù)n,不定方程：

(47n)x+(1104n)y=(1105n)z

(2)

只有唯一解(x,y,z)=(2,2,2)。

2 引 理

引理1[5]假設(shè)a=2k+1，b=2k(k+1),c=zk(k+1)+1，其中k為正整數(shù),則不定方程ax+by=cz僅有正整數(shù)解x=y=z=2。

引理2[6]若(a,b,c)是任何正的商高數(shù)使得不定方程ax+by=cz只有唯一解(x,y,z)=(2,2,2)，那么(1)不存在其余的正整數(shù)解滿足x>y>z或者y>z>x。

3 證 明

由引理1可得, 當(dāng)n=1時方程(1)沒有其他的非平凡的解, 因而可以假設(shè)n>1。若(x,y,z)是方程(1)的一個解，假設(shè)(x,y,z)≠(2,2,2),則得到一個矛盾的結(jié)果。由引理2可得,有其中之一的不等式成立:

x>y>z或y>z>x

以下分開討論這兩種情況。

3.1 y>z>x

由方程(1)化簡得：

47x=nz-x(1105z-1104yny-z)

不妨令(n,c)=d,則有dz|ax。而a是一個素數(shù),且z>x,顯然可有d=1,所以(n,c)=1,那么(nz-x,1105z-1104yny-z)，則有：

則有n=47β,其中x=β(z-x)。對于1105z-1104yny-z=1模47可得1105z≡24z≡1(mod47)，由Fermat小定理可知46|z,從而z是一個偶數(shù),不妨令z=2z1,則由1105z-1104yny-z可得：

1104yny-z=(1105z1-1)(1105z1+1)

(3)

由于(1105z1-1,1105z1+1)=2,由(3)可得：

1104y|1105z1-1或1104y|1105z1+1

又由于b=1104=24×3×23,顯然有69y|1105z1-1或69y|1105z1+1，然而

69y>69z=(692)z1>(1105+1)z1>(1105-1)z1

矛盾，所以當(dāng)y>z>x情形不存在(x,y,z)≠(2,2,2)的解。

3.2 x>y>z

由方程(1)可以化簡得:

1104y=nz-y(1105z-nx-z47x)

(4)

若(n,1104)>1,則可令n=2r3q23tn1,此處(1104,n1)且r+q+t≥1,由(4)可得:

(5)

因此有q(z-y)=t(z-y)=y,r(z-y)=3y。由(5)式可得:

因此n1=1且1105z-47x1104q(x-z)=1

(6)

對于(6)式模47可得1105z≡1(mod47)，可知z是偶數(shù)。不妨令z=2z1，即有：

47x1104q(x-z)=(1105z1+1)(1105z1-1)

由于(1105z1+1,1105z1-1)=2,從而

47x|1105z1+1或47x|1105z1-1

然而47x>47z=(472)z1=2209z1>(1105+1)z1>1105z1+1>1105z1-1

矛盾，所以當(dāng)x>y>z情形不存在(x,y,z)≠(2,2,2)的解。

綜上可知定理得證。