探討高中數學數列試題的解題方法與技巧

馬海生

(陜西省榆林市靖邊中學 718500)

一、什么是“數列”

“數列”是指按照一定次序進行排列的一列數.其中，數列中的每一個數稱為這個數列的“項”，排在第一位的數叫做這個數列的“首項”(也叫第一項)，排在第二位叫做第二項，以此類推，排在第n位稱之為第n項，通常以an表示.

二、探討高中數學數列試題解題方法及技巧必要性

數列作為高中生數學高考重要考查內容，目前已受到廣泛關注.教師對于高中數列知識點的教授，不能僅局限于使學生了解其理論概念，更應該使學生通過一定技巧與方法對習題進行透徹的研究，以更好地理解數列教學內容，提升自身綜合解題能力.

三、有關高中數學數列解題方法與技巧具體研究

1.有關數列基本概念及基礎性質的考查

(1)直接運用數列通項及求和公式.對于此種題目，通常沒有特殊解題技巧，需要學生對基本數列概念和相關公式進行熟悉掌握，能夠在審題之后迅速利用公式進行運算.因此，教師在講授數列知識內容時，應強調學生對數列基本概念及公式的理解掌握，使學生有一個良好的知識積累.

(2)有關數列基本性質的考查.在歷年數學高考中，都考查了學生對于數列基本性質的理解.高考試題中通常以變換說法的形式，考查學生對數列基礎性質的理解程度以及能否靈活運用，因此，教師在教學中，應注意對數列性質進行推導演繹，以幫助學生更好地理解和運用.

2.有關數列通項公式的考查

(1)合并求和法：在數列試題中，有一些較為復雜和特殊的數列，需要在解題過程中對數列進行一定的整合工作，才能從中發現其特殊性.因此，在進行這一類試題的學習中，教師應引導學生化難為易，找出試題中隱含的組合項并求出特殊項，進行求和，然后再進行整體求和，解決題目.

(2)分組求和法：在許多數列試題中，有一些數列本身并不是我們常見的等差數列或等比數列，需要學生在解題過程中進行數列拆分，使原數列拆分為幾個不同的等差數列或等比數列，然后根據不同數列應用不同的求和方法進行求和.

例如：設數列{an}滿足a1=2,an+1-an=3×2n-1.

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)令bn=nan,求數列{bn}的前n項和Sn.

通過審題可知，此題為遞推求和問題，第一問中，通過累加法求數列{an}通項公式，第二問中則運用了分組求和法進行求和.

具體解題過程為：(1)an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.而a1=2,故數列的通項公式為an=22n-1.

(2)由bn=nan可得，Sn=1×2+2×23+3×25+…+n×22n-1①.

從而22×Sn=1×23+2×25+3×27+…+n×22n+1②.

①-②，可得(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n22n+1.即Sn=1/9[(3n-1)22n+1+2].

錯位相減法：近年來數學高考試題中，均考察了學生對錯位相減法的掌握及運用能力.主要是在等差或等比數列求和中得以體現.

例如:設數列an為等比數列，a1=1,a2=3.

(1)求最小的自然數n,使an≥2007;

(2)求和：T2n=1/a1-2/a2+3/a3-…-2n/a2n.

由題干明顯可知此題主要考查錯位相減法，具體解題步驟為：

(1)有已知條件可得，an=1×(a2/a1)n-1=3n-1.因為36<2007<37,所以使原不等式成立的最小n為n=8.

(2)因為T2n=1/1-2/3+3/32-4/33+…-2n/32n-1,……①

1/3T2n=1/3-2/32+3/33-4/34+…+(2n-1)/32n-1-2n/32n,……②

①+②得：4/3T2n=1-1/3+1/32-1/33+…-1/32n-1-2n/32n=(1-1/32n)/(1+1/3)-2n/32n=1/4(3×32n-3-8n)×32n.

所以=1/16(32n+2-9-24n)×32n.

3.有關傳統數列題型考查

對于傳統數列考查題型，在傳統高中數學課堂上，教師對于習題的講解多為灌輸式講解，使學生產生正確的解題思路和解題方法.然而，對于高中生而言，最重要的還是依靠自身的努力，在對數列基本概念和基礎知識掌握扎實的前提下，通過進行大量習題的演練，尋求其中所蘊含的解題技巧和方法.對于許多傳統數列題型，一般不會存在題型轉換等較為復雜的問題，命題人一般采用直接提問的方式，學生只要對基本概念和公式熟練掌握，就能很好地完成題目.

4.有關經典數列題型考查

面對許多經典數列題型，在新課改要求下，教師應合理改進教育理念，使學生明白數列知識在數學科學發展史上的重要作用，幫助學生樹立正確的數學價值觀念，在傳授知識的同時，也應體現知識的文化價值.在許多數列知識講授中，都包含著許多較為深層次的數學背景，如斐波那契數列、楊輝三角等.

總而言之，高中數學數列知識作為學生學習過程中的重點難點以及數學高考必考點，應充分受到高中數學教師重視.學生可以通過研究一些叫深層次的習題進行數列知識深化練習，循序漸進，最終實現學好數列的最終目的，進一步提高數列知識學習水平.