三維Minkowski空間中的對偶直紋面

黃　杰，魏斯寧，陳　亮

(東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春 130024)

很多學者對三維Minkowski空間中的直紋面進行了研究.[1-4]由類光直母線生成的直紋面因其特殊性，引起了幾何學家的興趣.文獻[5]討論了三維Minkowski空間中具有類光直母線直紋面的性質；文獻[6]給出了三維Minkowski空間中具有類光直母線的直紋面分類.

本文主要從對偶的角度研究了三維Minkowski空間中具有類光直母線的直紋面.

1　三維Minkowski空間中的基本概念

〈x，y〉=x1y1+x2y2-x3y3，

x×y=(x2y3-x3y2，x3y1-x1y3，-x1y2+x2y1).

〈a×b，c×d〉=-(〈a，c〉〈b，d〉-〈a，d〉〈b，c〉).

三維Minkowski空間中的直紋面記為X(u，v)=a(u)+vb(u)，稱a(u)為直紋面的導線，b(u)為直紋面的母線.特別地，如果b(u)為常向量，則稱直紋面X為柱面；如果a(u)為常向量，則稱直紋面X為錐面；如果a′(u)‖b(u)，則稱直紋面X為a的切線面.柱面、錐面與切線面為可展直紋面，否則X為非可展直紋面.

稱：γ為錐曲線，{α(s)，β(s)，γ(s)}為錐Frenet標架，κ(s)為錐曲率.

其中：a′(u)=α(u)，β(u)=b(u)×α(u)，〈β(u)，β(u)〉=1，μ是常數，λ(u)≠0.則稱X(u，v)是B-scroll直紋面.

2　主要結論及證明

證明因為b(u)∈Q2，則有錐Frenet標架{α(u)，β(u)，b(u)}.由腰線的定義，如果導線a(u)是直紋面X(u，v)的腰線，那么〈a′(u)，b′(u)〉=0，從而〈a′(u)，β(u)〉=0.又因為〈a′(u)，α′(u)〉=〈a′(u)，κ(u)β(u)〉=0，所以a(u)也是直紋面X1(u，v)=a(u)+vα(u)的腰線.

(1) 當λ≠0，μ≠0時，X(u，v)與X1(u，v)都是非退化、非可展的直紋面.

(2) 當λ≠0，μ=0時，X(u，v)是非退化、非可展的直紋面，特別地當λ=1時，X(u，v)為B-scroll直紋面；X1(u，v)是a(u)的類光切線面.

(3) 當λ=0，μ≠0時，X(u，v)是a(u)的類光切線面；X1(u，v)是非退化、非可展的直紋面，特別地當μ=1時，X1(u，v)為B-scroll直紋面.

(4) 當λ=0，μ=0時，X(u，v)與X1(u，v)都是錐面.

證明直接計算可得

以X(u，v)為例，當λ≠0，μ≠0時，因為D≠0，所以X(u，v)為非退化直紋面.又因為(a′(u)，b(u)，b′(u))=(λ(u)α(u)+μ(u)b(u)，b(u)，β(u))≠0，所以X(u，v)為非可展曲面.當λ=1，μ≠0時，a′(u)=α(u)，由B-scroll定義知X(u，v)為B-scroll直紋面.當λ=0，μ≠0時，D=0.又因為a′(u)=μ(u)b(u)，所以a′(u)‖b(u)，X(u，v)是a(u)的類光切線面.當λ=0，μ=0時，因為a′(u)=0，a(u)為常向量，所以X(u，v)是錐面.同理上述結論對X1(u，v)也成立.

(1) 當κ(u)=μ(u)時，K1=H1；

(3)X(u，v)與X1(u，v)沿著腰線a(u)的測地曲率互為相反數；

(4) 當λ，μ為常數時，腰線a(u)是X(u，v)與X1(u，v)的測地線.

證明由文獻[6]知X(u，v)的高斯曲率與平均曲率分別為

同理知X1(u，v)的高斯曲率與平均曲率分別為

故結論(1)和(2)得證.

此外，直接計算可得

當λ，μ為常數時，因為沿著a(u)的測地曲率κg=0，所以a(u)是X(u，v)的測地線.同理可知a(u)也是X1(u，v)的測地線.

(1)X(u，v)與X1(u，v)的pitch函數δ(u)，δ1(u)不能同時為零；

(2)X(u，v)與X1(u，v)不能同為B-scroll直紋面.

證明因為b(u)∈Q2，那么有錐Frenet標架{α(u)，β(u)，b(u)}.由pitch函數定義知

δ(u)=-a′(u)·α(u)，δ1(u)=-a′(u)·b(u).

根據文獻[8]定理3.2可知：δ(u)=0的充要條件為X(u，v)是腰線a(u)的副法向量面，即b(u)是a(u)的副法向量；δ1(u)=0的充要條件為X1(u，v)是腰線a(u)的副法向量面，即α(u)是a(u)的副法向量.結論矛盾，因此δ(u)和δ1(u)不能同時為0.此外，由文獻[8]定理3.3知X(u，v)與X1(u，v)不能同為B-scroll直紋面.

證明由null-scroll直紋面的定義，〈a′(u)，a′(u)〉=0，〈b(u)，b(u)〉=0，〈a′(u)，b(u)〉=1.又因為X1(u，v)是X(u，v)的對偶直紋面，〈α(u)，b(u)〉=1，從而α(u)‖a′(u).因此X1(u，v)不是null-scroll直紋面，而是a(u)的切線面.

[參考文獻]

[1]姜揚，裴東河.三維Minkowski空間中非類光曲線的從切可展曲面的奇點分類[J].東北師大學報(自然科學版)，2007，39(1)：22-27.

[2]劉錦蘭.三維Minkowski空間中非可展直紋面的分類[D].大連：大連理工大學，2008.

[3]劉作棟，姜淼鑫，陳亮.3維Minkowski空間中的特殊直紋面[J].東北師大學報(自然科學版)，2015，47(2)：1-4.

[4]王志剛，呂永震，裴東河，等.三維Minkowski空間中的特殊曲線和可展曲面[J].東北師大學報(自然科學版)，2008，40(2)：1-6.

[5]LIU HUILI.Ruled surfaces with lightlike ruling in 3-Minkowski space[J].Journal of Geometry and Physics，2009，59(1)：74-78.

[6]LIU HUILI.Characterizations of ruled surfaces with lightlike ruling in Minkowski 3-space[J].Results in Mathematics，2009，56：357-368.

[7]LIU HUILI.Curves in the lightlike cone[J].Contributions to Algebra and Geometry，2004，45(1)：291-303.

[8]GRAVES LARRY K.Codimension one isometric immersions between Lorentz spaces[J].Trans Amer Math Soc，1979，252：367-392.

[9]LIU HUILI，YUAN YUAN.Pitch functions of ruled surfaces and B-scrolls in Minkowski 3-space[J].Journal of Geometry and Physics，2012，62(1)：47-52.