關于幾乎s-半置換子群

賈　君，黃建紅

(1.南通師范高等專科學校數理系，江蘇 如皋 226500； 2.江蘇師范大學數學與統計學院，江蘇 徐州 221116)

1　預備知識

本文所有的群都是有限群.群G的一個子群H稱為在G中s-置換的，如果H與G的每個Sylow子群可換.[1]多年來，s-置換性被國內外學者進行了廣泛推廣.[2-4]特別地，稱子群H在G中為s-半置換的，如果對于G的任意Sylowp-子群P，只要(p，|H|)=1，就有PH=HP.[2]2015年，文獻[5]將s-半置換性推廣為幾乎s-半置換性：稱群G的一個子群H在G中幾乎s-半置換的，如果存在G的一個s-置換子群T使得HT在G中s-置換且H∩T≤HssG，其中HssG是包含在H中的G的最大的s-半置換子群.如果G的每個p-主因子都是中心的，則稱G是p-冪零群.容易證明如果G有正規Hallp′-子群，則G是p-冪零的.利用Sylow子群的極大與極小子群的廣義s-置換性，可得到p-冪零群的許多新刻畫.

本文主要利用Sylow子群的2-極大子群和2-極小子群的幾乎s-半置換性，研究了有限群G的p-冪零性，進一步推廣了已有的一些結果.

引理1[5]設K是G的幾乎s-半置換子群，則有下列結論：

(1) 假設K≤L≤G，則K為L的幾乎s-半置換子群；

(2) 假設K為G的p-子群，N是G的正規子群，且N≤K≤G，則K/N為G/N的幾乎s-半置換子群；

(3) 假設K為G的p-子群且N為G的正規p′-子群，則KN/N為G/N的幾乎s-半置換子群；

(4) 假設K≤L≤G且L在G中s-置換，則L中存在G的一個s-置換子群T使得KT在G中幾乎s-半置換，且K∩T≤KssG.

引理2[6]設G是一個與A4無關的有限群，p是G的階的最小素因子，N是G的一個正規子群滿足G/N是p-冪零的.如果p3不整除N的Sylowp-子群的階，則G是p-冪零群.

引理3[2]設K在G中s-半置換，則有下列結論：

(1) 假設K≤L≤G，則K為L的s-半置換子群；

(2) 假設K為G的p-子群且N是G的正規子群，則KN/N為G/N的s-半置換子群；

(3) 假設K≤Op(G)，則K在G中s-置換.

引理4[7]設P是G的一個p-子群.如果P在G中s-置換，則Op(G)≤NG(P).

引理5[1]設K是G的s-置換子群，則：

(1) 如果N為G的正規子群，則KN/N在G/N中s-置換；

(2)K在G中是次正規的.

引理6[8]如果H是G的一個s-半置換子群，則H在G中的正規閉包是可解的.

引理7如果G是2-冪零的，則G是可解的.

引理8[9]設T是G的s-置換子群，則T/TG是冪零的.

引理9[10]假設U，V，W是G的子群，則下列條件等價：

(1)U∩VW=(U∩V)(U∩W)；

(2)UV∩UW=U(V∩W).

引理10[10]如果T是群G的一個次正規子群，N是G的一個極小正規子群，則N≤NG(T).

引理11[11]極小非p-冪零群為極小非冪零群.

引理12[11]G為極小非冪零群，則G有如下特征：

(1)G=PQ，P為G的正規Sylowp-子群.

(2)P/Φ(P)為G/Φ(P)的極小正規子群.

(3) 如果p>2，則expP=p；如果p=2，則expP≤4.

(4)Φ(P)≤Z(G).

2　主要結果

定理1設p為群G的階的一個最小素因子，G存在一個正規子群K滿足G/K為p-冪零群.假設K的某個Sylowp-子群P的所有2-極大子群都在G中幾乎s-半置換且G與A4無關，則G是p-冪零群.

證明假設定理結論不正確，(G，K)為滿足|G||K|極小的反例，分幾步證明.

(1) 由引理2，|P|≥p3，這說明P的任意2-極大子群P2≠1.

(2)Op′(K)=1.

假設Op′(K)≠1.顯然POp′(K)/Op′(K)是K/Op′(K)的Sylowp-子群，且K/Op′(K)為G/Op′(K)的正規子群.由同構定理，(G/Op′(K))/(K/Op′(K))也是p-冪零的.由引理1結論(3)，POp′(K)/Op′(K) 的所有2-極大子群都在G/Op′(K)中幾乎s-半置換，故(G/Op′(K)，K/Op′(K))滿足定理的條件.由(G，K)的選擇知G/Op′(K)為p-冪零的，從而G為p-冪零的，矛盾.

(3)K=G.

由引理1結論(1)，K的Sylowp-子群P的所有2-極大子群在K中幾乎s-半置換.假設K是G的真子群，則(K，K)滿足定理的條件.由(G，K)的選取可得K為p-冪零的，從而Op′(K)是K的正規Hallp′-子群.由步驟(2)知Op′(K)=1，故K=P.既然G/P為p-冪零群，可設E/P是G/P的正規p-補.由Schur-Zassenhaus定理，存在E的Hallp′-子群Ep′，使得E=PEp′.由引理1，E的Sylowp-子群P的所有2-極大子群在E中幾乎s-半置換，則(E，E)滿足定理的條件.由(G，K)的選取表明E為p-冪零的，從而Ep′是E的正規子群.注意到Ep′是E特征子群而E又是G的正規子群，故Ep′也是G的正規Hallp′-子群，故G是p-冪零的.這個矛盾說明K=G.

(4)G存在唯一的極小正規子群N滿足G/N為p-冪零群.

設N為G的一個極小正規子群，考慮商群G/N.既然P是G的Sylowp-子群，則PN/N也是G/N的Sylowp-子群.如果p3不整除PN/N的階，則引理2表明G/N是p-冪零群.不妨設PN/N的階大于等于p3.若M2/N是PN/N的任意2-極大子群，則M2=M2∩PN=(M2∩P)N.令P2=M2∩P，因為p2=|PN/N：M2/N|=|PN：(M2∩P)N|=|P：M2∩P|=|P：P2|，所以P2是P的2-極大子群.由定理假設可知P2在G中幾乎s-半置換，于是存在G的一個s-置換子群T滿足P2T在G中s-置換，且P2∩T≤(P2)ssG.由引理5結論(1)，TN/N和P2TN/N都是G的s-置換子群，容易證明(|N∩P2T：N∩T|，|N∩P2T：N∩P2|)=1，故(P2∩N)(T∩N)=N∩P2T.

利用引理9，(P2N/N)∩(TN/N)=(P2N∩TN)/N=(P2∩T)N/N≤(P2)ssGN/N.由引理3結論(2)知(P2)ssGN/N在G/N中s-半置換.因此PN/NM2的所有2-極大子群都在G/N中幾乎s-半置換，從而G/N滿足定理的假設.由G的極小選擇知G/N是p-冪零群，如果G還有另外一個極小正規子群R，則同樣有G/R是p-冪零群，從而G=G/N∩R是p-冪零群.此矛盾表明G的極小正規子群是唯一的.

(5)Op(G)=1.

如果Op(G)≠1，則由步驟(4)知N≤Op(G).如果Φ(G)≠1，則N≤Φ(G).因為G/Φ(G)同構于(G/N)/(Φ(G)/N)，而G/N為p-冪零群，故G/Φ(G)也為p-冪零群.由所有p-冪零群構成的群類是一個飽和群系，故G為p-冪零群，矛盾.因此Φ(G)=1，G存在一個極大子群M滿足G=NM，且M∩N=1.由于Φ(Op(G))≤Φ(G)=1，故Op(G)是交換子群，進一步有Op(G)∩M正規于Op(G)M=G.顯然N不可能包含在Op(G)∩M中，故Op(G)∩M=1，從而N=Op(G).易知P=P∩NM=N(P∩M)，因為P∩M是P的真子群，所以存在P的一個極大子群P1使得P∩M≤P1

(a) 首先證明N不能包含在T中.若N≤T，于是N∩P2=N∩P2∩T≤N∩(P2)ssG≤N∩P2，從而N∩P2=N∩(P2)ssG.注意到(P2)ssG在G中s-半置換，對于G的任意Sylowq-子群Q(q≠p)，N∩(P2)ssG=N∩(P2)ssGQ正規于(P2)ssGQ.顯然N∩P2正規于P，于是N∩P2是POp(G)=G的正規子群.注意到N的極小正規性，如果N=N∩P2，則N≤P2≤P1，矛盾.從而N∩P2=1，且

|N|=|N/N∩P2|=|NP2/P2|≤|NP1/P2|=|P/P2|=p2.

注意到G/N是p-冪零的，由引理2可知G是p-冪零的，矛盾.

(b) 其次證明T是一個不等于1的p-子群.如果T=1，則P2T=P2在G中s-置換.由引理4，Op(G)≤NG(P2).又P2正規于P，所以P2是G的正規子群.由步驟(4)，N包含在P2中或者P2=1.如果N包含在P2中，則N必然包含在P1中，矛盾.如果P2=1，則P的階為p2，由引理2知G是p-冪零的，矛盾，于是T≠1.如果TG≠1，由步驟(4)知N≤TG≤T，這與結論(a)矛盾.假設TG=1，既然T是G的s-置換子群，由引理8知T是冪零的.設T的正規Hallp′-子群為Tp′，則Tp′正規于T.由引理5結論(2)，T次正規于G，Tp′也次正規于G，從而Tp′≤Op′(G)≤1，故T是一個p-子群.

顯然P2T=P2或者P2T=P1或者P2T=P.但不管哪種情況，P2T都正規于P.由引理4，Op(G)≤NG(P2T)，所以P2T正規于G=POp(G)，P2T≤Op(G)=N.由步驟(4)知N≤P2T，于是N=P2T=Op(G).如果P2T=P2或者P1，則N≤P1，矛盾.如果P2T=P，則N=P，根據引理10，P≤NG(T).由引理4，Op(G)≤NG(T)，所以T正規于G必有N≤T.這與結論(a)矛盾.

(6)N是可解群.

取P的一個2-極大子群P2，使得P2正規于P.由定理假設，P2在G中幾乎s-半置換，從而存在G的一個s-置換子群T使得P2T在G中s-置換，且P2∩T≤(P2)ssG.如果(P2)ssG≠1，則由步驟(4)知N≤((P2)ssG)G，再由引理6，N是可解群.下面假設(P2)ssG=1，從而P2∩T=1，這表明p3不整除T的Sylowp-子群，利用引理2可知T應該是p-冪零的，Op′(T)就為T的正規Hallp′-子群.既然T是s-置換子群，則引理5結論(2)表明T次正規于G，于是Op′(T)也次正規于G，Op′(T)≤Op′(G)=1，T是p-子群，進而P2T是G的一個s-置換p-子群.由引理4容易證得P2T是G的正規子群且P2T≠1，由步驟(4)，N包含在P2T中，故N可解.

綜上，如果p>2，則G是奇數階群，Feit-Thompson定理表明G是可解的，這與Op′(G)=Op(G)=1矛盾.如果p=2，G/N是2-冪零的，由引理7得G/N可解，從而G也可解，矛盾.

推論1[12]設p為群G的階的一個最小素因子.如果G的Sylowp-子群P的所有2-極大子群都在G中s-半置換且G與A4無關，則G是p-冪零群.

稱群G的一個子群H在G中弱s-半置換，如果存在G的一個次正規子群T，使得G=HT且H∩T≤HssG，其中HssG是包含在H中的G的最大的s-半置換子群.如果H是G的p-子群，則顯然當H在G中弱s-半置換時必有H在G中幾乎s-半置換.于是有下面的推論：

推論2[13]設p為群G的階的一個最小素因子.如果G的Sylowp-子群P的所有2-極大子群都在G中弱s-半置換且G與A4無關，則G是p-冪零群.

推論3如果群G的任意Sylow子群的2-極大子群都在G中幾乎s-半置換且G與A4無關，則G具有超可解型Sylow塔.

證明設p是群G的階的最小素因子，由定理1知G是p-冪零群.設Gp′是G的正規Hallp′-子群，則引理1結論(1)表明Gp′的任意Sylow子群的2-極大子群都在Gp′中幾乎s-半置換.歸納得到Gp′具有超可解型Sylow塔，從而G也具有超可解型Sylow塔.

定理2設p為群G的階的一個最小素因子，G存在一個正規子群K滿足G/K為p-冪零群.假設K的每個p2階子群在G中幾乎s-半置換，則G是p-冪零群.

證明假設定理結論不正確，G為極小階反例，分以下幾步證明：

(1)G有一個正規Sylowp-子群P，p3整除P的階且P/Φ(P)為G/Φ(P)的極小正規子群.

設L為G的任意一個真子群，則L/L∩K同構于LK/K≤G/K，而G/K為p-冪零群，因此L/L∩K為p-冪零群.如果p3不整除L∩K的Sylowp-子群的階，則由引理2知L是p-冪零的.下面假設p3整除L∩K的Sylowp-子群的階，則由定理條件知L∩K的任意p2階子群在G中幾乎s-半置換，由引理1結論(1)，L∩K的所有p2階子群在L中幾乎s-半置換.于是L滿足定理的條件，由G的極小選擇知L為p-冪零群，G為極小非p-冪零群.再由引理11，G也是極小非冪零群，G滿足引理12的結論.

(2)P的每個p2階子群在G中幾乎s-半置換.

顯然(P∩K)Φ(P)/Φ(P)是G/Φ(P)的正規子群，注意到P/Φ(P)為G/Φ(P)的極小正規子群，必有(P∩K)Φ(P)=Φ(P)或者(P∩K)Φ(P)=P.如果(P∩K)Φ(P)=Φ(P)，則P∩K≤Φ(P).因為G/K和G/P為p-冪零群，所以G/Φ(P)是p-冪零群.考慮到Φ(P)≤Φ(G)，則G/Φ(G)是p-冪零群，因為所有p-冪零群構成的群類是一個飽和群系，故G為p-冪零群，矛盾.從而(P∩K)Φ(P)=P，P∩K=P，導致P≤K.由定理條件，P的每個p2階子群在G中幾乎s-半置換.

(3)P有一個子群滿足|H|=p2，且H不包含在Φ(P)中.

如果Φ(P)=1，結論(3)顯然成立.下面假設Φ(P)≠1.如果|P|=p3，則P存在階為p2的極大子群.因為P不是循環群，所以P至少存在兩個階為p2的極大子群P1和P2.如果P1和P2都包含在Φ(P)中，則P=P1P2≤Φ(P)，矛盾.下面假設|P|大于p3.取在P中但不在Φ(P)中的一個元素x，再取Φ(P) 中的一個p階元素a，因為Φ(P)≤Z(G)，所以〈x〉〈a〉≤G.由引理12結論(3)，x的階為p或者4.如果x的階為4，取H=.如果x的階為p，則|〈x〉〈a〉|≤p2.如果|〈x〉〈a〉|=p，則〈x〉=〈a〉，矛盾.因此|〈x〉〈a〉|=p2，可取H=〈x〉〈a〉.

綜上，由引理1結論(4)，P中存在G的一個s-置換子群T滿足HT在G中s-置換，且H∩T≤HssG.因為P/Φ(P)是交換的，所以TΦ(P)/Φ(P)正規于P/Φ(P)，由引理5結論(1)，TΦ(P)/Φ(P)是G/Φ(P)的s-置換子群.

利用引理4，Op(G/Φ(P))≤NG(TΦ(P)/Φ(P))，從而TΦ(P)/Φ(P)正規于G/Φ(P).注意到P/Φ(P)為G/Φ(P)的極小正規子群，必有TΦ(P)=P或者TΦ(P)=Φ(P).如果TΦ(P)=P，則T=P，從而H=HssG.，再由引理3結論(3)，H在G中s-置換.由引理5結論(1)知HΦ(P)/Φ(P)是G/Φ(P)的s-置換子群.如果TΦ(P)=Φ(P)，則有HΦ(P)/Φ(P)=HTΦ(P)/Φ(P).因為HT在G中s-置換，所以由引理5結論(1)，HΦ(P)/Φ(P)是G/Φ(P)的s-置換子群.注意到HΦ(P)/Φ(P)正規于P/Φ(P)，所以引理4表明HΦ(P)/Φ(P)是G/Φ(P)的正規子群，故HΦ(P)=P，H=P，這與步驟(1)矛盾.

推論4如果群G的任意Sylow子群的2-極小子群都在G中幾乎s-半置換且G與A4無關，則G具有超可解型Sylow塔.

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