問題追溯數(shù)學(xué)本源導(dǎo)學(xué)彰顯數(shù)學(xué)價值

陳華曲

[摘要]《空間直角坐標(biāo)系》是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一節(jié)新授課.本節(jié)課在“問題導(dǎo)學(xué)”的教學(xué)模式下，在五個教學(xué)環(huán)節(jié)中通過問題的引導(dǎo)，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)本源出發(fā)，體會知識再創(chuàng)造的過程，并逐步進(jìn)入高階思維，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象、數(shù)學(xué)抽象、類比推理等能力，體現(xiàn)以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)的數(shù)學(xué)教育價值.

[關(guān)鍵詞]空間直角坐標(biāo)系；數(shù)學(xué)本源；價值；維度

[中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058（2018）05000302

道德經(jīng)有言：“天地有道，道生一，一生二，二生三，三生萬物.”從數(shù)學(xué)的角度來看，這其實是全部數(shù)學(xué)的開端.人們用零來表示虛無，然后從零開始，以自然數(shù)計數(shù)，由一到二，二到三，直到無窮，這個過程體現(xiàn)的是一種哲學(xué)上的思想，即現(xiàn)代數(shù)學(xué)的本源.《空間直角坐標(biāo)系》這一節(jié)新授課的知識目標(biāo)是讓學(xué)生認(rèn)識空間直角坐標(biāo)系；學(xué)會建系；標(biāo)點坐標(biāo)；由坐標(biāo)找點的具體位置.課堂通過層層遞進(jìn)的問題設(shè)置，追溯數(shù)學(xué)本源，讓學(xué)生感受知識的來龍去脈，深刻地理解建立空間直角坐標(biāo)系的必要性和合理性.顧亞龍老師在書中寫到“回溯數(shù)學(xué)本源，我們可以通過生動具體的數(shù)學(xué)教學(xué)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識再創(chuàng)造的過程，這也正是一個數(shù)學(xué)文化再創(chuàng)造的過程”.本節(jié)課也正是基于這樣深層次的教學(xué)目標(biāo)，嘗試在五個教學(xué)環(huán)節(jié)中，在問題的引導(dǎo)下，逐步讓學(xué)生進(jìn)入高階思維，體現(xiàn)出真正的數(shù)學(xué)價值.

一、生活問題“數(shù)學(xué)化”，以點出發(fā)溯本源

點動成線，線動成面，面動成體.從點的集合論的角度出發(fā)，可以理解為所有的空間幾何體都是由點組成的.如果要更深刻地理解這句話，首先要理解一個詞“維度”.一般維度是用來表示空間或時間的.通俗地講，維度其實就是物體自由變化的范圍.比如零維的點，維度上升一維，有了左右的運動變化，就形成線.一維的線，多了一個前后的運動變化，維度上升一維，就形成二維的面.“面動成體”同理.因此，我們常說，我們生活的空間是“三維”的，空間幾何體是“三維”的.因此，點在不同的維度空間自然有不同的表示方式，下面我們就從一點

出發(fā)追溯數(shù)學(xué)本源.

二、運動變化表其外，坐標(biāo)介入蘊統(tǒng)一

點動成線：由簡單入手，最簡單的線是直線.

問題1：在一維的直線中，如何描述點的具體位置？

在一維直線中，數(shù)軸上的任意一點都可用對應(yīng)一個實數(shù)x表示.x的變化體現(xiàn)的就是一個維度的變化.一維直線上的點與實數(shù)集里的數(shù)就一一對應(yīng)了.數(shù)軸三要素為原點、單位長度和正方向.只有三個要素均確立，才能刻畫出一個點相對于原點的變化.

線動成面：由簡單入手，最簡單的面是平面.

問題2：在二維平面中，如何描述點的具體位置？

建立平面直角坐標(biāo)系，平面上任意一點都可用一對有序?qū)崝?shù)（x，y）來描述它的具體位置. x、y的變化體現(xiàn)的就是兩個維度的變化.有了平面直角坐標(biāo)系，平面內(nèi)的點就與二維實數(shù)對（x，y）一一對應(yīng)了.

面動成體：在三維空間中，又該如何表示點呢？

取一個平面的一部分，以一個矩形ABCD為例.當(dāng)矩形多了一個維度，即點多了上下的變化，可以得到一個空間幾何體：長方體ABCD-A1B1C1D1.

問題3：在三維空間中，如何描述點的具體位置？

可以類比平面中點的表示方法，建立一個空間直角坐標(biāo)系，用有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）來表示.作一條垂直于x軸

和y軸所形成xOy平面的z軸，適時追問：“為什么要垂直呢？”“因為緯度的變化是上下的變化.”這樣的回答，學(xué)生可能會產(chǎn)生模棱兩可的感覺.學(xué)生疑惑：如果z軸不垂直于xOy面，也可以產(chǎn)生有序?qū)崝?shù)組，用之描述點的具體位置嗎？此時，教師可以肯定學(xué)生的想法，然后讓學(xué)生自己去嘗試建系.比如z軸與xOy平面所成角為135°.然后保留兩種方式的空間坐標(biāo)系.

繼續(xù)追問：“為何要從坐標(biāo)原點作垂直的z軸呢？”討論點的變化范圍應(yīng)該共起點.當(dāng)點A運動到點A′時，它在前后、左右的方向上并沒有變化，所以它的坐標(biāo)中的x、y并沒有改變，而z的值就得看點是向上還是向下變化，即與z軸的正方向相同還是相反.z的變化體現(xiàn)的就是第三個維度的變化.

規(guī)范空間直角坐標(biāo)系的建立.第一步，確定x軸和y軸的xOy平面，一般使∠xOy=135°，看起來更直觀.第二步，確定z軸，z軸垂直于xOy平面，使∠yOz=90°.用多媒體課件展示，介紹坐標(biāo)原點、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面、右手直角坐標(biāo)系.

問題4：在空間直角坐標(biāo)系中，如何寫出一個定點的坐標(biāo)？你的方法是什么？

請學(xué)生寫出空間直角坐標(biāo)系下的正方體各個頂點的坐標(biāo)，在寫坐標(biāo)的過程中，不同的學(xué)生會有不同的方法.無論是哪種方法，本質(zhì)上是一致的，都是分別從三個維度去尋找（x，y，z）.這是一個逆向思維過程，每降一個維度，就可以相應(yīng)的找到一個坐標(biāo).接著，教師可以給出一個特殊的實數(shù)組，如（1，1，1），學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)，點也是唯一確定的.這就是說，明確了橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)，空間中點的位置就唯一確定了.有了空間直角坐標(biāo)系，空間中的點就與三維有序?qū)崝?shù)組一一對應(yīng)了.

三、深度剖析結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)數(shù)學(xué)高階思維

請學(xué)生在原來建立的坐標(biāo)系（即z軸與xOy所成角為135°的空間坐標(biāo)系）上描出一個單位正方體的各個頂點，然后連線.顯然，這時畫出的正方體直觀感覺上就“不正”，對比空間直角坐標(biāo)下的正方體，選擇哪種建立方式就不言而喻了.繼續(xù)追問：“為了使得直觀性更強，不同的坐標(biāo)軸上的單位長度應(yīng)該怎么選取呢？”因為學(xué)生在畫平面的直觀圖時已經(jīng)掌握了

y軸

和z軸的單位長度的選取方式，而z軸的單位長度的標(biāo)識更多的是一種直覺.教師可在此強化這種直覺的數(shù)學(xué)性.讓學(xué)生去感受z軸的單位長度如果發(fā)生改變，比如z軸的單位長度是y軸的單位長度的100倍，那么我們在描點時就增大了操作的難度，降低了可行性.讓學(xué)生切身體會到數(shù)學(xué)中這種“自然而然”的合理性.因為可以總結(jié)出空間直角坐標(biāo)系的幾點內(nèi)涵：（1）空間直角坐標(biāo)系的三條坐標(biāo)軸是兩兩垂直的，三條軸共原點.（2）畫圖時，z軸與y軸所成角是135°，y軸與z軸所成角是90°.

（3）畫圖時x軸上的長度變成原來的一半，y軸和z軸上的長度保持不變.

教師：為了更加熟練地寫出空間中點的坐標(biāo)，大家回頭想一想，在寫正方體頂點坐標(biāo)的過程，你有什么發(fā)現(xiàn)？

問題5：你能否發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出空間中點的坐標(biāo)的特點？

再次引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出空間直角坐標(biāo)下點坐標(biāo)的幾點內(nèi)涵.

（1）坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)的特點：（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z）.

（2）坐標(biāo)平面上的點的坐標(biāo)的特點：（x，y，0）（x，0，z）（0，y，z）.

（3）既不在坐標(biāo)軸上也不在坐標(biāo)平面上的點的坐標(biāo)的特點：（x，y，z）.

[設(shè)計意圖]深度剖析空間直角坐標(biāo)系的幾何與代數(shù)特征，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維.培養(yǎng)高階思維，正是現(xiàn)代數(shù)學(xué)重要的價值體現(xiàn).

解析幾何的魅力：通過坐標(biāo)系，建立起代數(shù)與幾何的橋梁.建立空間直角坐標(biāo)系也是希望通過代數(shù)運算去研究幾何圖形.因此如何使得代數(shù)運算更“簡”就顯得尤為重要了.那么，基于空間中點的坐標(biāo)具有的特點，在什么位置建系才能更“簡”呢？

四、思想觸動心靈，實踐檢驗真理

通過一個晶胞的建系描點，讓學(xué)生體會不同的建系方法，感受坐標(biāo)規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生挖掘出幾點外延.

（1）選取坐標(biāo)系的原則：使得更多關(guān)鍵的點落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面內(nèi).結(jié)合實際，建系時三條坐標(biāo)軸的方向選取以直觀性強為基本原則.（右手直角坐標(biāo)系“轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)”也可以）.

（2）關(guān)于坐標(biāo)軸和坐標(biāo)平面對稱的點的坐標(biāo)的特點：關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)則相反.

（3）類比平面直角坐標(biāo)系把平面分成四個象限，空間直角坐標(biāo)系把一個空間分成八個卦限.

【例1】正方體ABCD-A1B1C1D1，棱長為1，E，F(xiàn)分別是AC和BB1的中點，求點E，F(xiàn)的坐標(biāo)和點E關(guān)于點D的對稱的點的坐標(biāo).

（例題的訓(xùn)練是為了檢驗學(xué)生是否掌握在空間直角坐標(biāo)系下寫出點的坐標(biāo)的方法，并由此發(fā)現(xiàn)空間中點坐標(biāo)的公式.）

問題6：如果給出空間中一個點的坐標(biāo)，你能準(zhǔn)確地找到在空間直角坐標(biāo)系下點的位置嗎？你的方法是什么？

這是一個逆向思維的過程，通過這個思維訓(xùn)練，讓學(xué)生學(xué)會把空間的問題投影到平面上解決，降一個維度，把復(fù)雜的問題簡單化.

總而言之，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計著力于建立空間直角坐標(biāo)系，并描出空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo).抓住學(xué)生思維起點設(shè)置問題，并根據(jù)學(xué)生思維情況開展二次生成問題的研究.致力于啟發(fā)學(xué)生從高觀點上去思考與理解概念，引導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)會將知識的學(xué)習(xí)上升到數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的層面上，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，并使之內(nèi)化為自身對現(xiàn)實世界的獨特領(lǐng)悟，實施更有價值的數(shù)學(xué)教育.

（責(zé)任編輯黃春香）