讓數學變得有趣、有用、有文化、有溫度

林軍

[摘要]以《指數函數（第一課時）》的課堂教學為例，從學有趣的數學、學有用的數學、學有文化的數學、學有溫度的數學四個維度去思考數學課堂教學如何適應學生未來發展的需要，及落實學生核心素養的培養.

[關鍵詞]數學；有趣；有用；有文化；有溫度

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）05000502

柳州高級中學作為廣西普通高中數學課程基地，其數學教研組全體教師積極探索如何使數學課堂教學適應學生未來發展的需要，及讓學生形成關鍵能力，具有必備素養的途徑.2017年11月4日，我校吳佐慧老師在全國部分知名高中“激活課堂”教研活動中，為來自全國各地的數學教師上了一節展示課，這節課的教學設計體現了我校數學教研組對課堂教學的一些思考和探索.現筆者將該節課的教學脈絡呈現如下.

[教學實錄]

一、創設情境，提出問題

投影：一尺之棰，日取其半，萬世不竭.——《莊子·天下篇》

問題1：木棰的剩留量y與截取次數x有怎樣的關系式？

投影：勤學如春起之苗，不見其增，日有所長；輟學如磨刀之石，不見其損，日有所虧.——陶淵明

（古人從文學的角度以事喻人，從數學的角度來看勤奮與懈怠的差異.）

問題2：假設小明的原始知識水平為1，如果每天在前一天的基礎上增長1%，那么一年后（365天）小明的知識水平是多少？若將天數記為x，知識水平記為y，則x與y滿足的函數關系式是什么？

問題3：假設小明的原始知識水平為1，由于懈怠，他的知識水平每天在前一天的基礎上減少1%，那么一年以后（365天）小明的知識水平是多少？若將天數記為x，知識水平記為y，則x與y滿足的函數關系式是什么？

讓學生從1.01365≈37.78、0.99365≈0.03這些量上去感悟勤奮與懈怠的差異.教師和學生用一些成語來描述問題2和問題3，如“積少成多”“蹉跎歲月”等.

要求學生再舉出類似函數模型的例子，如細胞分裂次數x與細胞的個數y的關系等.

[點評：莊子的名句包含本節課所需的數量關系且極富哲理與思辨；借用陶淵明的詩句，以事喻人，并將其思想內涵虛擬成小明的知識水平變化關系，并要求學生用成語加以描述.這樣的實例，既服務于本節課的主題，又能搭建起數學與文化聯系的橋梁，同時還能將德育滲透在教學之中，使課堂充滿人文氣息，極富情趣.其次，通過提供較多的生活實例，為抽象出指數函數定義奠定了基礎.]

二、抽象特征，構建概念

通過上述的幾個實例抽象出函數關系式的共同特征：y=ax.

問題4：對a的取值有什么限制嗎？為什么要做出這種限制？請舉出反例.

若a是負數，如

（-1）12

就沒有意義，a=0時，00也沒有意義，a=1時，f（x）=1是常數函數，沒有研究的必要.因此，我們規定：a>0，且a≠1.

請學生判斷下列函數是否為指數函數.

（1）y=x2；（2）y=0.618x；（3）y=6x+4；（4）y=（-3）x；（5）y=2·4x；（6）y=3x+1

.

[點評：學生對指數函數概念的認識不可能一蹴而就，必須從多層次、多角度去理解這個概念，通過變式和構造反例，讓學生理解指數函數的內涵與外延.在教學過程中，引導學生舉出各種使指數式無意義的反例是十分必要的，這樣學生就能從中學會如何去完善一個新概念.]

三、自主探究，歸納性質

問題5：我們在定義一個新的函數后，一般會接著研究函數的什么性質呢？

問題6：你們打算采用什么方法來研究這些性質？

請學生用描點法在同一坐標系中作出下列函數的圖像，并根據圖像指出函數的性質.

（1）y=2x；（2）y=3x；（3）y=12x；（4）y=13x.

[點評：設計讓學生描點作圖的環節，而不是運用幾何畫板直接給出圖像，其目的是讓學生經歷概念的形成和發展過程，體會從特殊到一般、從直觀到抽象的數學方法，感悟指數函數的符號表示與圖形表示間的相互轉化和聯系.]

四、鞏固落實，靈活運用

問題7：比較下列各題中兩個值的大小：（1）34-1.8

，34-2.6

；

（2）130.3，3-0.2

；

（3）58-23，1

；

（4）（0.6）-2，43-23；

（5）0.60.4，0.40.6.

比較兩個指數的大小可以構造一個指數函數，從圖中觀察其函數值的大小，這用到了數形結合思想.也可利用函數單調的定義，通過比較自變量的大小來得到函數值的大小，這體現了轉化與化歸思想.

問題8：某種電腦病毒傳播的速度非常快.如果一臺電腦被感染，經過兩輪感染后就有81臺電腦被感染，請你用所學的知識分析：（1）在每一輪感染中，平均一臺電腦會感染幾臺電腦？（2）已知病毒每5小時傳播一輪，若不有效控制，多少小時后被感染的電腦會超過6500臺？

[點評：從知識層面看，問題7和問題8其實是指數函數單調性的正反兩個方面的應用；從能力層面看，它包含數形結合思想和轉化與化歸思想，這是培養學生綜合能力的極好教學素材；從情感層面看，有實際應用背景的問題體現了“數學源于生活，服務于生活”，能讓學生體會數學學習的意義.]

[教學反思]

何為一節好課？每個人有不同的評價標準，但目的是一樣的，那就是一切為了學生，為了學生的一切.培養學生具有適應終身發展和社會發展的關鍵能力和必備品格，是新形勢對課堂教學提出的新要求.本節課筆者從有用、有趣、有文化、有溫度四個維度進行教學設計，將學生核心素養的培養真正落到實處.

一、教學生學有趣的數學

數學源于生活，服務于生活，所以數學的有趣體現在它溝通了數學與生活的聯系.本節課在創設情境的環節中，就擷取了《莊子·天下篇》中“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”這一古代文化實例和增長率及細胞分裂等生活實例，讓學生感到數學并不是高高在上的，它如影隨形地存在我們的現實生活中，使之產生了“想一探究竟的沖動”.其次，數學的有趣還體現在解決問題后所獲得的成就感和滿足感上.而現實卻是大多數學生覺得數學難學，造成此種現象的重要原因之一是學生沒有獲得足夠的成功體驗.因此在解決教學難點時，應把難點分解或做好鋪墊.本節課在解決指數函數的性質這一重難點的教學設計中，就是在學生的最近發展區設置問題串，層層遞進，從特殊到一般，從具體到抽象，讓學生通過獨立思考獲得問題解決，從而最后抽象出指數函數的性質的.

二、教學生學有用的數學

數學是有用的.數學為其他學科提供了語言、手段、思想和方法，具有工具性的特性.從育人角度來看，數學學習中所蘊含的數學思想方法，才是學生終身發展所需的關鍵能力，這是數學學習的真正意義所在.本節課包含了豐富的數學思想（如數形結合思想、分類討論思想、轉化與化歸思想）和數學學科素養（如數學抽象、邏輯推理、數學直觀和數學建模等）.這節課的脈絡是通過具體實例抽象出指數函數的定義，滲透數學抽象和從特殊到一般的數學方法，反思指數函數的定義并理解分類討論思想，通過畫出指數函數的圖像，運用數形結合方法找到指數函數的性質，通過應用指數函數單調性進行大小比較讓學生看到化歸的力量，感悟指數函數的實際意義和廣泛應用，學會如何去建立簡單的數學模型來解決數學問題.整節課的教學設計都緊緊圍繞數學思想方法的灌輸和學科素養的培養這條主線來展開，深挖隱藏在知識背后的思想方法，把核心素養的培養真正落到實處.

三、教學生學有文化的數學

數學課程標準在其基本理念中指出：“數學是人類文化的重要組成部分.數學課程應適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢，數學對推動社會發展的作用，數學的社會需求，社會發展對數學發展的推動作用，數學科學的思想體系，數學的美學價值，數學家的創新精神.”通俗來說，數學文化是指數學的思想、精神、方法、觀點、語言及數學家的創新精神、數學史、數學美學及數學發展中的人文成分.“當我們真正把數學文化的魅力滲入教材，達到課堂，深入教學時，數學就會平易近人，讓大家通過文化層面易于理解數學、喜歡數學、熱愛數學.”將數學文化引入課堂，會使我們的課堂變得更加豐滿，有助于學生形成良好的數學觀.在本節課的教學設計中，我們看到數學文化無處不在，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”“勤學如春起之苗，不見其增，日有所長；輟學如磨刀之石，不見其損，日有所虧”等名句既服務于教學，又深含人生哲理.多種數學思想在教學中的滲透、兩種指數函數的性質既統一又對立、指數函數解析式的簡潔美、指數函數圖像的對稱美等，無一不是數學文化在教學中的體現.

四、教學生學有溫度的數學

數學不是冰冷的數字羅列，刻板的概念展示和公式變換的游戲，數學是有溫度的，它的溫度體現在數學學習中的精神感知.當我們在教學生學會如何思考時，也就是在培養學生的理性精神；當我們在課堂上展示指數函數優美的圖形和函數表達式的簡潔時，就是在培育學生的審美情操；當我們教學生學習演算和推理時，又何嘗不是演算和推理在引導學生的精神呢？因此，我們的課堂應讓數學的精神、數學的思想和數學的方法成為學生生命的一部分.其次，數學的溫度還體現在數學學習中的人文關懷.一個優秀的教師總能在學生遇到困難時，適時出手相助，以自己的教學智慧化解學習困惑，他們從學生已有的數學經驗出發，設計出相互關聯并富有思考價值的問題鏈，搭建起問題解決的橋梁，使晦澀的數學變得平易近人，讓學生真正體會數學學習的快樂.

[參考文獻]

[1]黃天天.課堂教學的幾點思考[J].數學之友，2016（8）.

[2]教育部.普通高中數學課程標準[M].北京：人民教育出版社，2003.

[3]張奠宙.數學文化的一些新視角[J].數學教育學報，2003，12（1）.

（責任編輯黃春香）