師生換位

陸繼盛

[摘要]新課程要求課堂教學改變“一言堂”的傳統(tǒng)教學模式.“師生換位”是優(yōu)化課堂教學的一種有效的教學模式.

[關鍵詞]師生換位；教學模式；課堂教學；優(yōu)化

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）05001102

新課程強調，教師應鼓勵學生積極開展研究性學習活動，提高他們的實踐能力和創(chuàng)新能力，以適應社會對新型人才的需求.近年來，筆者在組織和引導學生積極開展研究性學習上做了一些嘗試.本文選擇一個比較好的案例與同行交流學習，敬請專家點評.

【課題】構建向量模型求最值探索.

【問題】如何求函數y=x2-6x+10+x2+6x+25

的最小值？（該問題是在復習完平面向量后，我給全班學生的一道探究解法的研究性學習題目）

【研究過程】

學生主持：這次學習，我們探究如何求函數y=x2-6x+10+x2+6x+25的最小值？

學生認真分析，積極思考，相互交流，相互探討，有的甚至查起了資料.

學生1：y=x2-6x+10+x2+6x+25

=（x-3）2+1+（x+3）2+16

.

∵根式（x-3）2+1取得最小值1，而根式（x-3）2+16的最小值是4，

∴此函數的最小值是5.

學生2：這種解法顯然錯誤.原因是這兩個根式分別取得最小值時的x不是同一個值.

學生主持：這是求有關和的最值時，同學們常出現(xiàn)的錯誤之一，請大家注意.

學生3：y=x2-6x+10+x2+6x+25

=（x-3）2+1+（x+3）2+16

.

觀察學生1對式子的變形，我聯(lián)想到兩點距離公式|AB|=（x1-x2）2+（y1-y2）2

.如果將

（x-3）2+1+（x+3）2+16

再變形為

（x-3）2+（0-1）2+（x+3）2+（0-4）2

，則它表示數軸上的點（x，0）與兩點（3，1），（-3，4）的距離的和，所以此問題變轉化為在數軸上求一點，使得它到兩點（3，1）和（-3，4）

的距離最小的問題.只需要在平面直角坐標系中，作出點（3，1）關于x軸的對稱點（3，-1），而此對稱點和另一點（-3，4）

的連線與x軸的交點95，0就是所求的點

，此時95，0與點（3，1）和點（-3，4）的距離的和是61.

教師（補充）：這位同學的方法很不錯，他能從前面同學的變形，聯(lián)想到兩點距離公式，用數形結合的方法很簡捷地完成了解答.希望大家在以后做題時，不要急于作答，而要認真分析題目結構的特點，從題目中獲取信息，以達到優(yōu)化解題的目的.

對于這道題，只有少部分學生想到用這種數形結合的方法外，很多學生感覺無從入手.

教師（引導）：

前面我們學習了向量，同學們仔細觀察

（x-3）2+1+（x+3）2+16

和向量中的什么相似？

學生4：兩點距離公式|AB|

=（x1-x2）2+（y1-y2）2

.

教師：具體是哪兩點，寫出坐標.

學生4：（答不上來）.

學生5：和向量模的公式相似，即若

a=（x，y）

，則|a|=x2+y2.

教師：是怎樣的兩個向量呢？

學生5：a=（x-3，1），b=（x+3，4）.

教師：請同學們寫出這兩個向量的模.（一片驚嘆聲）下面同學們作答.

學生6：（板演）

解：將函數變形為y=（3-x）2+1+（x+3）2+42

，設a=（3-x，1），

b=（x+3，4），

則y=（3-x）2+1+（x+3）2+42

=|a|+|b|≥|a+b|=62+52=61

.

當且僅當a∥b方向相同，即x=95時，取“=”號，所以當x=95時，ymin=61.

教師：這個同學做得很好，解題過程簡練、流暢.同學們看看，他構建向量時，為什么把向量a設為a=（3-x，1），而不是a=（x-3，1）呢？

學生7：是為能巧妙應用向量模的性質|a|+|b|≥|a+b|

而妙設的.這樣當兩向量相加時，未知量x就消去了.

教師：說得對.在構建向量模型求最值時巧妙的假

設也是相當重要的，希望同學們注意.看來有些最值的問題，若恰當地構建向量模型，借助向量的一些性質，常常會使復雜的問題變得簡潔，使煩瑣的解題過程顯得巧妙、流暢.

教師（點評）：同學們已經能正確運用向量來解決一些問題.我們學習知識的目的是運用，向量是數學里相當重要的“工具”，希望同學們多探究、多運用.

【學生感言（節(jié)選）】

這節(jié)研究性學習課我和其他同學一樣，認真分析，積極思考，盡管我沒上講臺，我沒發(fā)言，但收獲很大.由于研究性學習課我們是真正的主人，所以我們在課堂上不緊張，思維能展開，在輕松中獲取知識，我們比較喜歡.雖然一節(jié)課只講了幾道題，但它教會了我們如何借助剛學過的向量知識解決一些難解的問題，教會了我們學習的方法.值得一提的是，我發(fā)現(xiàn)我并不比別人笨，而是平時不善于交流，不善于探討.研究性學習給我提供了探究學習的平臺，我要以此為契機，逐漸養(yǎng)成研究性學習的好習慣，提高我的實踐能力和創(chuàng)新能力.

【教學思考】

1.研究性學習是學生學習數學的一個有機組成部分，是在基礎性、拓展性課程學習的基礎上，進一步鼓勵學生運用所學知識解決數學的和現(xiàn)實的問題的一種有意義的主動學習，是以學生動手、動腦，主動探索實踐和相互交流為主要學習方式的學習研究活動.它能營造一個使學生勇于探索、爭論和相互學習的良好氛圍，給學生提供自主探索、合作學習、獨立獲取知識的機會.數學研究性學習更加關注學習過程.

2.用于數學研究性學習的材料應是建立在學生現(xiàn)有知識經驗基礎之上，能夠激起學生解決問題的欲望，體現(xiàn)數學研究的思想方法和應用價值，有利于創(chuàng)造廣闊的思維活動空間，使學生的思路越走越寬，思維的空間越來越大的一種研究性材料.

3.數學研究性學習的材料不僅僅是教師自己提供的，教師應鼓勵學生經過思考、調查、查閱資料等方式概括出問題，甚至可以通過日常生活情境提出數學問題，進而提煉成研究性學習的材料.在研究性學習的過程中，學生是學習的主人，是問題的研究者和解決者，是主角，而教師則在適當的時候對學生給予幫助，起著組織和引導的作用.

4.數學研究性學習的評價不僅僅關心學習的結果，而且更重要的是關注學生參與學習的程度、思維的深度與廣度，學生獲得了哪些發(fā)展，特別注意學生有哪些創(chuàng)造性的見解，同時對學生的情感變化也應予以注意.為了使評價能夠真實可靠，起到促進學生發(fā)展的目的，教師要充分尊重學生自己對自己的評價以及學生之間的相互評價，既要有定量的評價也要有定性的評價.

（責任編輯黃桂堅）