整體把握平面解析幾何

孫青龍

[摘要]解析幾何的基本思想是用代數的方法研究幾何問題.整體把握平面解析幾何對提高教學效果有明顯作用.

[關鍵詞]解析幾何；整體；把握

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）05002401

平面解析幾何是高中數學的一個重要模塊.它既涉及數學計算又涵蓋了圖形分析，一直是高考考查的重點內容.有些教師在教學這一章內容時由于缺乏對平面解析幾何的整體把握，導致教學過程中側重點不明確，教學效果不理想.下面筆者結合自己的教學經驗，對高中平面解析幾何的整體把握談幾點認識.

一、教材解讀

1.坐標法是核心

（1）強調數形結合思想.

（2）強調經歷用坐標法解決問題的完整過程.

直線與圓——基礎，強調與平面幾何研究方法的比較是坐標法的體驗；圓錐曲線——坐標法的深入，體現坐標法的價值.

2.解析幾何主要有四大問題

（1）點的坐標；（2）線的方程；（3）幾何性質；（4）位置關系.

二、高考題導向

通過對近五年全國卷的高考題研究，我們得到以下一些規律.

題目一般為“2小1大”，分值22分.小題一般以考查直線、圓及圓錐曲線的性質為主，結合定義，借助于圖形可容易求解.大題一般以直線與圓錐曲線位置關系為命題背景，并結合函數、方程、數列、不等式、平面向量等知識，考查求軌跡方程問題，探求有關曲線性質，求參數范圍，求最值與定值，探求存在性等問題.

解答題的特點：

（1）大都安排在第20題或第21題.

（2）每年都有一問是求曲線標準方程.常用方法：主要是根據定義和幾何條件用待定系數法.

（3）考查知識.側重點是圓和橢圓，考查了橢圓的定義、標準方程、離心率、直線和圓、橢圓位置關系，雙曲線考查較少符合新課標要求.

（4）注重通性、通法的考查.比如，涉及直線和圓錐曲線相交，則聯立消元及韋達定理，Δ>0；涉及OA⊥OB，則x1x2+y1y2=0；涉及弦長，則用弦長公式等；涉及直線和圓相切，則有d=r等.

（5）后兩問考查學生綜合運用知識分析和解決問題的能力，和向量、基本不等式等知識綜合的比較多.

三、教學建議

（一）直線和圓部分的教學建議

強調用代數的方法解決問題，但同時也要抓住問題的幾何要素.

例如，確定直線的幾何要素是指：一點一方向（斜率），不應刻意讓學生去區分和記憶幾種方程的形式，而要讓學生掌握在直角坐標系下如何確定直線的幾何要素，如何根據幾何要素確定直線的方程.

又如，確定圓的幾何要素是指圓心和半徑.圓的標準方程明確顯示了幾何要素a、b、r，所以要強調配方法把圓的一般方程化為標準方程.

在教學中提倡學生畫圖，不要單純用代數恒等變形的方法研究幾何問題.例如，對于兩圓的位置關系，單純用解方程組的方法不能準確判斷其位置關系.如果兩圓的方程構成的方程組無解，表明這兩個圓不相交.但是，到底是相離關系還是內含關系，從解方程組中是無法判斷的.若利用刻畫兩圓位置關系的幾何要素——圓心距，就很容易判斷出.

（二）圓錐曲線與方程部分的教學建議

1.把握教學要求

本章共分四大節.第一節的重點是掌握求曲線方程的一般步驟，后三節分別研究了橢圓、雙曲線、拋物線的概念和簡單幾何性質.其中穿插用坐標法解決直線與圓錐曲線的位置關系問題.

教學時力求突出主干知識，精選內容.

（1）主要介紹標準方程，不涉及一般方程.

（2）利用方程研究幾何性質時，只討論最簡單、最主要的性質，滿足基本的需要，使學生在此過程中學會研究曲線性質的一般方法.

（3）根據問題的難易度及學生的認知水平.只要求掌握橢圓、拋物線的定義，對雙曲線的定義只要求了解.

2.突出基本思想

（1）解析幾何的基本思想是曲線與方程、方程與曲線的關系；突出用方程研究曲線，用代數方法研究曲線的性質.

（2）在建立橢圓、雙曲線、拋物線的方程時，不必涉及方程的解與曲線上的點的對應關系的兩個方面，重點放在“如何建立曲線方程”及“怎樣用曲線方程研究曲線的幾何性質”上，不要在定義的兩個方面做過多研究.

（3）課程標準中多次提到“讓學生體會和感受數形結合的思想”，應在本章中得到較好的落實.

3.在平時的課堂教學中，切實抓好“三基”，夯實數學基礎.

（責任編輯黃桂堅）