平面向量“數形”之美

魏智

[摘要]引入平面向量的概念后，幾何圖形與代數運算得以交融，圖形語言的直觀美與向量語言的簡潔美融會貫通.中學生對平面向量之所以“望而生畏”往往是由于對平面向量的雙屬性理解不透.通過對以平行四邊形為內核的一類平面向量問題進行深入分析，能讓學生更好地理解平面向量的數形之美.

[關鍵詞]平面向量；平行四邊形；數形結合

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）05002502

引入平面向量后，全等和平行（平移）、相似、垂直等就可轉化為向量的加減法、數乘向量、數量積等運算，從而把圖形的基本性質轉化為向量的運算體系，實現“形”與“數”的交融，貫通圖形語言的直觀美與向量語言的簡潔美.課標要求，通過向量知識與方法的學習，學生能理解平面向量及其運算的意義，能用向量語言和方法表述和解決數學與物理中的一些問題，發展運算能力和解決實際問題的能力.實際學習中，學生往往由于對向量的雙屬性特征理解不透，而畏于處理向量與幾何的綜合題目.本文對以平行四邊形為內核的一類平面向量問題進行分析.

典型例題：已知a與b均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個命題：

P1：|a+b|>1θ∈0，2π3

P2：|a+b|>1θ∈2π3，π

P3：|a-b|>1θ∈0，π3

P4：|a-b|>1θ∈π3，π

其中的真命題是.

分析：此題可運用公式|a|2=a2、數量積公式及簡單的余弦函數知識得出答案.不過，稍加分析不難發現此題實際是一個以單位向量a、b為鄰邊的平行四邊形模型，其實質是保持平行四邊形的邊長不變，研究角的變化.

如圖1所示，不妨設|a+b|=|AC|，|a-b|=|DB|.

當|a+b|=1時，|AC|=|DC|=|AD|，即△ADC是等邊三角形，

此時∠A=2π3；

|a+b|>1，意味著線段AC變長，此時θ變小，

即θ∈0，2π3

.

同理|a-b|=1時，|AD|=|AB|=|BD|，即△ABD是等邊三角形，此時

∠A=

π3

；|a-b|>1，意味著線段BD變長，此時θ變大，即θ∈

π3，π

.

變式1：向量a，b滿足：|a|=|b|=|a+b|=1，則|a-tb|（t∈R）的最小值是.

分析：在平行四邊形ABCD中，|AB|=|AD|=

|AC|=1，∠DAC=∠BAC=60°，∠A=120°.由向量減法的三角形法則可知，向量a-tb的起點在

直線DA上，終點是點B.|a-tb|就是指B點與直線DA上任意

點之間的線段長度.

過點B引直線DA的垂線BH交DA于點H（如圖2所示），

則|a-tb|的最小值就是垂線段DH的長，即32.

變式2：已知a、b、c是單位向量，且|a+b|=3，

則（a-c）·（b+c）的取值范圍是.

分析：如圖3所示，在菱形ABCD中，|AD|=|DC|=1，

|AC|=3.直角三角形△AMD中，cos∠DAM=32

，則∠DAM=30°，

所以∠A=60°，|DB|=1，

即|a-b|=1.

又（a-b）·c=|a-b|·|c|cosθ（θ是a-b與c的夾角），且-1≤cosθ≤1.

所以-1≤（a-b）·c≤1，

所以（a-c）·（b+c）=a·b+（a-b）·c-1=（a-b）·c-12，

所以（a-c）·（b+c）的取值范圍是-32

12

.

變式3：若a，b是兩個非零向量，且|a|=|b|=

λ|a+b|，λ∈22，1

，則向量b與a-b夾角的取值范圍是.

分析：在平行四邊形ABCD中，當∠BAC從0°增大到180°時，|AC|從2|a|連續減小到0，同時|DB|從0連續增大到2|a|，當然∠ADB亦是連續變化.因此，只需計算λ=22

及λ=1的情況即可.

當λ=22時，∠D=90°，則∠ADB=45°，此時b與a-b的夾角是135°.

當λ=1時，∠D=60°，則∠ADB=30°，此時b與a-b的夾角是150°.

所以，b與a-b的夾角的取值范圍是

3π4，5π6

.

變式4：已知向量a、b滿足：cos〈a+b，a〉=12，

cos〈a+b，b〉=22，則|a||b|=.

分析：此題仍然是一個平行四邊形模型，本質是保持角度

不變，研究邊的相關問題.如圖4所示，平行四邊形ABCD中，AB=a，

|AD|=b，則a+b=AC

，所以∠DAC=π4，

∠BAC=π3，

在△ABC中，由正弦定理可得

|a||b|

=|AB||AC|=

sinπ4

sinπ3

=63

.

可以看到，基于向量的加減法、數乘向量和數量積

等運算，用向量語言來表述圖形關系具有很強的簡潔

性.比如向量式

a=λb中就蘊含一組平行關系；向量式a+b則指代一個平行四邊形；而向量式（a+b）·（a-b）=0中，則包含一個菱形；向量式|a+b|=|a-b|則暗含一個矩形；向量式|a|=|b|=|a+b|，則蘊含一個內角是120°的菱形；向量式a·b=0中即可找到一個圓，又可找到矩形.看到如此精美的向量式，就需要看到它所蘊含的幾何圖形，如此便可將向量的簡潔美與圖形的直觀美合二為一，靈活應用向量的雙屬性特征解決綜合問題.

[參考文獻]

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[2]薛紅利.平面向量運算的幾何意義在解題中的應用[J].數學學習與研究（教研版），2017（7）.

[3]王仁朋.平面向量數量積幾何意義的一類應用[J].中學生數理化（學習研版），2017（6）.

（責任編輯黃桂堅）