基礎實　思維活　能力強
——“智慧乘法運算”教學小實驗的實踐與反思

錢敏超

《數學課程標準（2011版）》中將“運算能力”作為十個核心概念之一，并指出“運算能力是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。”乘法教學在小學階段“數與代數”的學習中有著舉足輕重的作用。如何通過乘法知識的教學培養學生的運算能力？我們選用浙江省新思維教育科學院張天孝老師編寫的“智慧乘法運算——數學超市”材料，對課堂學習內容進行補充與拓展，旨在激發學生學習潛力，發展高層次思維能力。

一、實驗基本情況

1.人員組成。

學生自主報名，按學習能力強、中、弱各選4人，共計12人；其中男生、女生各6人；指導教師1人。

2.教學材料。

“智慧乘法運算——數學超市”材料（以下簡稱“智慧超市”），包含多位數乘一位數、兩位數乘兩位數這兩部分內容。該材料注重學生獲得運算結果的思考過程，通過展開運算過程培養學生的運算能力、推理能力，提高思維的批判性和創造性。

3.實驗步驟。

實驗分兩個階段進行，2016年11月14日到12月9日為第一階段；2017年4月14日到5月5日為第二階段。兩個階段中，每周一到周五安排每天20分鐘的學生獨立作業時間；每周六上午9:00~11:00，安排教師和學生圍繞典型材料進行教學互動；合計實驗時間約30小時。

第一階段，主要配合人教版教材三年級上冊“多位數乘一位數”這一單元的教學進度，進行適度拓展。拓展內容可簡單分為兩類。一類為強化算理，主要有：（1）增加乘法分配律和結合律的學習；（2）基于分配律的拆分訓練，強調位值，如 46×2＝80＋□、71×5＝□＋5；逆向題：320＋24＝□×□、320＋72＝□×□；（3） 開展三位數乘一位數算法多樣化的探索，強化思維的合理性和靈活性；（4）引進組塊計算，如已知37×3＝111，求 37×6，74×3等。另一類針對技能，主要有：（1）專項訓練多位數乘法中可能發生的乘法運算，如6×8＋2，8×6＋4；幾百幾十加兩位數，如 480+64，280+63；（2）進行兩位數乘一位數六種類型的口算強化訓練，并組織了過關測試。（兩位數乘一位數可以分為六種類型：①十位積、個位積都不進位，如11×3；②十位積進位，個位積不進位，如61×3；③十位積不進位，個位積進位，如16×3；④十位積、個位積都進位，乘積十位疊加不進位，如66×3；⑤十位積不進位，個位積進位，乘積十位疊加進位，如36×3；⑥十位積、個位積都進位，乘積十位疊加進位，如 69×3。）

第二階段，重點開展兩位數乘兩位數的“口、筆算結合”實驗，教學序列如下：（1）算法多樣化的展開與通法概括；（2）探索兩位數乘兩位數的新算法（含新的豎式計算方法）：①幾十一乘幾十一，如41×31；②十幾乘十幾及相關類型，如 14×16、23×24、34×36；九十幾乘九十幾及相關類型，如97×96、87×85、76×76；五十幾乘五十幾及相關類型，如52×56、67×63、46×42；③一方相同，另一方和為 10，如 45×65、39×31；④組塊計算。

（例“五十幾乘五十幾”計算方法，其余計算方法見張天孝老師編寫的《智慧乘法實驗材料》）

4.學習形式。

周一到周五，學生使用“智慧超市”材料自主作業，該過程教師不參與指導。每周六上午對作業中具有典型意義的疑難問題進行交流、分析、講解和鞏固練習。

二、實驗結果與分析

1.兩位數乘一位數口算掌握情況。

如前述，兩位數乘一位數可以分為六種類型。根據這六種類型，在實驗過程中進行了三次學習檢測。第一次檢測含第①②③三種類型；第二次檢測含第④種類型；第三次檢測含第⑤⑥兩種類型。每次檢測用時5分鐘，題量為45題，直接使用“智慧超市”材料中的檢測題。統計結果如下：（單位：題/人，下同）

實驗組　43.83　42.00　41.33對照組　40.27　36.67　32.81平均做對題數第①②③類　　第④類　　第⑤⑥類

分析：實驗組的總體情況領先于對照組；其中第①②③類兩組學生差別不是很大，均達40題以上；第⑤⑥兩類的差別較明顯，分析原因主要是第⑤⑥兩類題目中含有“乘積十位疊加進位”，如計算 69×8時，乘積十位“6×8＋7”需要進位，實驗組學生經過專項訓練獲得了較為明顯的優勢。

2.兩位數乘兩位數計算掌握情況。

“兩位數乘兩位數”進行了一次評價檢測。檢測用時5分鐘，題量為30題，隨機排列。含：①幾十一乘幾十一類型（4題）；②十幾乘十幾及相關類型（4題）；③九十幾乘九十幾及相關類型（4題）；④五十幾乘五十幾及相關類型（6題）；⑤一方相同，另一方和為10（4題）；⑥組塊計算類型（2題）；⑦其他類型（6題）。具體題目如下：

41×31＝　94×98＝　58×29＝　52×54＝　98×15＝27×23＝　71×21＝　93×96＝　35×12＝　57×59＝12×13＝　54×54＝　81×91＝　95×86＝　14×15＝23×25＝　25×36＝　89×81＝　11×35＝　83×97＝62×54＝　75×18＝　18×91＝　73×77＝　31×33＝37×27＝　45×47＝　53×56＝　41×26＝　42×47＝

統計結果如下：

實驗組　　對照組平均做對題數　25.75　14.75平均正確率　85.83%　59.00%

從上表我們發現：實驗組學生的運算結果遙遙領先。我們又進一步對學生在計算過程中所表現出來的計算策略進行了分析和比較，結果如下：

1～2種驗組　0（0.00%）　7 3～4種　5種及以上實（58.33%）　5（41.67%）對照組　34（85.00%）　6（15.00%）　0（0.00%）

如《數學課程標準（2011版）》所言，運算能力主要體現在學生能根據算式特點，選擇合理、簡捷的運算途徑進行計算。分析上表我們可以發現：對照組學生的計算策略比較單一，85%的學生只呈現出1～2種計算策略；而實驗組學生在計算過程中能夠分析算式的特點，有合理選擇方法的意識和能力，普遍呈現出多種計算策略。

如實驗組一位學生的作品，她對算法的選擇和使用達到了熟能生巧的水平。在短短五分鐘里，她根據數據特點，分門別類，針對性地使用了七種運算策略。

由此可以看出，“智慧超市”材料內容的編排，揭示了數學的內在聯系、符合學生的認知規律、有效提升了學生的運算能力。

三、進一步的學習成效

1.多樣、開放的學習材料，開闊了學生的眼界。

“智慧超市”系列材料強調發揮學生的主體性，不強求學生一定要按“標準程序”計算，而是鼓勵學生獨立思考，自主創造個性化的計算方法。學生經常參與自主探索和相互交流算法的實踐，就會逐步樹立起開放、自主的學習信念。

如計算“36×15”，參與實驗的學生一共提出八種不同的計算方法——思維的開放性和靈活性可見一斑。

（1）36×15＝（30＋6）×15＝450＋90＝540

（2）36×15＝（10＋5）×36＝360＋180＝540

（3）36×15＝（40－4）×15＝600－60＝540

（4）36×15＝（20－5）×36＝720－180＝540

（5）36×15＝36×5×3＝180×3＝540

（6）36×15＝9×4×15＝9×60＝540

（7）36×15＝6×6×15＝6×90＝540

（8）36×15＝9×4×5×3＝27×20＝540

更重要的是，這種開放和靈活的思維習慣能更廣泛地遷移到學習和練習中。

2.重視分析數與數之間的關系，發展學生的推理意識和推理能力。

如前所述，“智慧超市”材料中設計了幾百幾十加兩位數的系列計算練習，如“540＋45＝□□×□”這樣的問題。思考過程是：首先，回憶積為54和45的乘法口訣，確定它們都有哪個乘數（公因數）——6×9＝54、5×9＝45，確定其中一個乘數是9，另一個乘數十位是6，個位是5，即65。經過這樣的訓練，一位同學在做三位數乘一位數之“踢十法”專項訓練時（如 346×7＝306×7＋40×7，學生把這種先不算十位的方法稱為“踢十法”），把本來僅僅局限于加法技能的練習，當作了推理訓練的材料。例：832+560=□□□×□，通過分解832和56的因數，推導出與這道加法相聯系的乘法“174×8”。這樣的思考，無疑是非常獨特的。

又比如，我們發現實驗組有位學生對一道計算練習做了如下小筆記——

通過訪談，我們得知該生的解答過程別具一格。他先確定各算式乘積的個位分別是幾，按個位情況把算式和得數進行分類；再通過乘數的十位相乘來估算、鎖定正確結果。以“34×29、28×32和18×32”為例，乘積的個位都是“6”，分別對應的必然是 576、986、896；通過十位相乘來估計，34×29、28×32 的結果必然大于600，所以 18×32 應連 576；繼續觀察 34×29和28×32這兩個算式，發現 34＞32，29＞28，推知 34×29＞28×32，那么 34×29 連 986，28×32 連 896。

“智慧超市”不囿于算出正確的結果，而是把學習重心轉向獲得結果的思考過程。計算任務的設計精巧、獨特，序列合理，能有效提升學生的運算能力和發展推理能力，為數感和創新思維的發展留下了廣闊的空間。