創設童話情境　為數學學習加點“料”
——《三角形的內角和》教學實錄

單廣紅（特級教師）

【教學內容】

蘇教版四年級下冊第78、79頁例4和“練一練”及相關習題。

【教學目標】

1.知識目標：通過測量、剪、拼、折疊等直觀操作活動，探索并發現三角形的內角和等于180°；能應用這一知識求三角形中一個未知角的度數。

2.能力目標：通過操作、討論、推理等活動，培養學生自主探索意識，積累類比、歸納等活動經驗，發展空間觀念。

3.情感目標：在經歷探索發現的過程中，體驗數學思考和探究的樂趣，培養學生的合作精神和探索精神以及學習數學的興趣。

【教學重點】

三角形的內角和是180°。

【教學難點】

三角形內角和的推理過程。

【教學過程】

一、引入：故事激疑，自主生成探究問題

談話：今天，三角形王國里吵得不可開交，咱們去看看吧。

（播放錄音：數學童話《三角形家族之爭》）

在三角形王國里，住著“直角三角形”“銳角三角形”和“鈍角三角形”三大家族。這一天，家族間的三兄弟因件小事吵了起來。

直角三角形說：我個頭最高，我的內角和最大！

銳角三角形說：我的面積最大，所以我的內角和最大！

鈍角三角形說：我有一個鈍角，比你們每個角都大，我的內角和才是最大的！

直角三角形說：我最大！

銳角三角形說：我最大！

鈍角三角形說：我最大！

師：同學們，聽了三兄弟的爭吵，你想到了什么問題？

生：什么叫內角？

生：什么叫內角和？

生：三角形的內角和到底是多少呢？

生：不同三角形的內角和一樣不一樣呢？

生：到底誰的內角和大呢？

師：大家真會思考。帶著這些問題，今天老師和大家一起來探究三角形的內角和。

（板書：三角形的內角和）

【設計意圖：開頭運用童話故事激發學生的學習興趣。為了涵蓋三角形的所有情況，將故事情節設計成三角形王國的三大家族：直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形，每種類型中又各有一個代表分別用各自的優勢條件來說明自己的內角和是最大的。學生在聆聽爭吵中產生一系列問題：什么是內角和？內角和怎么算？到底誰的內角和大？自然生成本節課的探究問題。】

二、展開：操作解疑，合作驗證探索結論

1.理解：“內角”與“內角和”。

師：你知道什么叫“內角”嗎？這兒有一個三角形，哪位同學到屏幕上指一指？

生：（學生在屏幕指）因為三個角都在三角形的內部，所以叫三角形的內角。（課件演示內角）

師：什么叫“內角和”？

生：三個內角度數之和叫三角形的內角和。

2.猜想：三角形的內角和180°。

師：同學們，剛才三個三角形的觀點，你最支持哪一個？說說你的理由？

生：我覺得鈍角比直角和銳角都大，所以我支持鈍角三角形內角和最大。

生：銳角三角形面積那么大，內角和感覺也應最大！

生：我感覺鈍角三角形雖然有一個鈍角很大，但另外兩個角卻很小，它的內角和不一定最大。

生：我認為它們的內角和應該一樣大。

師：假如內角和是一樣大的，猜一猜，會是多少度呢？

生：180°！

師：180°僅僅是猜想，到底是不是呢？還需要我們進行驗證。

3.驗證：操作探究，用不同方法進行驗證。

（1）算一算：三角尺內角和。

師：提到三角形，我們手中就有最熟悉的三角形工具——三角尺，就從三角尺開始研究好嗎？（出示例4）

師：你知道每塊三角尺三個內角的和是多少度嗎？取出你的三角尺，回憶每個角各是多少度，同桌兩人分別算一算每個三角尺的內角和是多少。

生：90°+60°+30°＝180°。

“按行消元，逐行規格化”的計算過程決定了其不適合應用對角元以右元素與對角元以下元素的對稱性進行計算，因為在這種計算方式下，對第i行元素進行消元，要通過賦值分別或者一次性地得到其對角元以左的第1～i-1個元素就顯得極為不便。因此這種計算方式對A陣元素的前代過程有大量的多余計算，從而導致計算效率不高。如果僅計算包括對角元素的上三角元素或包括對角元素的下三角元素，而通過對稱性來獲得另一半元素，則由于上下三角元素的不等，在對A陣或F陣元素的前代過程中會出現大量乘或除對角元素的重復計算，同樣影響計算效率。

生：90°+45°+45°＝180°。

師：通過計算，兩個三角尺內角和確實都是180°，但這兩個特殊的例子還不能充分說明問題。其他的直角三角形內角和是不是180°呢？銳角三角形和鈍角三角形內角和又會是多少呢？你打算怎么驗證呢？

【設計意圖：從學生熟悉的學習工具三角尺入手，調動學生已有經驗，驗證了兩個三角尺的內角和確實是180°，初步體驗成功。再由特殊走向一般，設法驗證任意三角形的內角和。】

（2）小組合作：用不同方法進行驗證。

師：同學們熟悉180°嗎?是什么角的度數？請大家沿著這樣的思路，再想一想，有什么方法可以將三個不在一起的角聚到一塊兒呢？

四人一組討論，思考可以采用哪些驗證方法。

組長匯報，教師板書：量一量撕一撕折一折。

師：剛才我們想出了“量一量”“撕一撕”“折一折”的方法，也許在實驗中同學們還能想到更好的方法呢。請根據活動建議，分小組開始實驗。

活動建議1.組長分工研究任務，自主選擇驗證方法實驗。2.將三角形標注好∠1、∠2、∠3，以便觀察和記錄。3.把實驗中你的發現在小組內說一說。

師：每小組推薦一位代表匯報實驗過程與結果，其他人隨機補充。

●方法一：量一量。

生：55°+45°+80°＝180°。

生：67°+40°+74°＝181°。

生：33°+116°+30°＝179°。

師：這幾位同學測量后計算的內角和有的正好是180°，有的不是180°。這是怎么回事呢？

生：測量時量角器沒放好或者不是整度數時取值有誤差。

師：看來“量一量”的方法說服力不夠強，還有更好的辦法嗎？

●方法二：撕一撕。

生：我是撕下三角形三個角，拼在一塊兒是一個平角，平角就是180°，所以三角形的內角和是180°。

師：你撕的是哪一類三角形？

生：我是用鈍角三角形。

師：用銳角和直角三角形也能將它們的內角撕拼成平角的同學舉手示意一下。

●方法三：折一折。

生：我是把銳角三角形折成一個長方形，三個內角也拼在一塊兒，形成一個平角。（學生示范，然后貼在黑板上）

師：誰是用鈍角三角形折的？誰是用直角三角形折的？

生：我是用直角三角形折的，但和他們實驗方法不一樣。我發現直角三角形兩個銳角折到一塊，正好與直角重合，兩個銳角和是90°，再加上直角，三角形內角和也是180°

師：你的想法很有創意，可以一眼看出直角三角形的兩個銳角和是 90°。

4.結論：從剛才的實驗中，可以得到什么結論？

板書：三角形的內角和是180°。

5.介紹帕斯卡研究方法。

師：同學們知道世界上是哪位數學家最早發現三角形的內角和是180°的嗎？

（播放錄音，介紹帕斯卡及其研究方法：帕斯卡從一個長方形開始研究，因為長方形有四個直角，所以長方形的內角和是90°×4＝360°，把長方形沿對角線分開,那么得到兩個帶有直角的三角形,其中有一個直角的三角形的內角和就是 360°÷2＝180°，而所有的長方形都可以這樣分，由此推想出“含有一個直角的三角形內角和都是180°”。接著帕斯卡又繼續研究其他三角形，任意一個三角形都可以通過畫高，分成兩個含有直角的三角形,這個任意三角形的度數就是兩個直角三角形內角總和的度數減去一個平角的度數，就是 180°×2－180°＝180°，由此帕斯卡推想出：所有三角形的內角和都等于180°。）

師：帕斯卡是從長方形這個已知圖形的內角和，來推理三角形的內角和的。到了中學，同學們還會進一步學習有關三角形內角和的推理驗證方法。

師：通過剛才的學習，你想對他們三兄弟說些什么？

生：你們別再吵啦，你們的內角和都是一樣的。

生：別吵啦，無論什么樣的三角形，內角和都是180°！

師：三兄弟為了感謝大家，邀請我們一起去三角形王國做客，我們走吧。

（課件出示情境圖）

【設計意圖：四年級學生年齡還偏小，一般第一反應是用測量的方法驗證，很難想到“撕拼”或“折拼”方法，很期待有個“腳手架”，這時教師引導學生回想“180°是什么角的度數？請大家沿著這樣的思路想下去……”學生很快會想到把三個分散的角設法“聚”在一塊兒，于是在腦中自然閃出“撕”“折”“量”等方法。各人根據需要自主選擇驗證方法，在展示分享中實現方法多樣化。】

三、總結：應用釋疑，多元辨析探尋本質

1.家族內戰。

師：三角形三大家族間的矛盾解決了，現在每個家族內部又鬧開了。

（出示教具三角尺和學具三角尺）

大三角尺：都說三角形內角和都是180°，瞧你那小樣兒，憑什么內角和與我相等！

小三角尺：這？

師：哪位同學能幫它們解決困惑？

生：大三角尺只是面積大，面積大三條邊就長。

生：比如它們都有一個直角是一樣大的，只是邊不一樣長而已。（學生上臺演示）

生：我知道了，它們對應的三個角其實都一樣大，只是邊的長短不同。因為角的大小和邊的長短無關，所以內角和是一樣的。

師：說得太精彩了。用這個道理也可以解決銳角三角形和鈍角三角形的內部矛盾。

（課件動態演示相似大小三角形的三個角相等）

【設計意圖：由解決“家族間矛盾”，再到解決“家族內部矛盾”，隨著童話情節的推進，探索的問題也逐步深入，在操作中歸納出“不同類型的三角形內角和是 180°”，在辨析中明白“形狀相同而大小不同的三角形內角和也是 180°”。】

2.變形精靈。

師：三角形王國有個“變形精靈”，它可以通過變形，自由出入三大家族中。

（課件動態呈現下圖）

（1）已知等腰三角形的頂角是110°，求底角的度數。

（2）已知直角三角形一個銳角的是55°，求另一銳角度數。

（3）求等邊三角形中每個角的度數。

【設計意圖：通過“變形精靈”的變形，輕松愉快地求出三角形中的未知角。在小精靈“變形”過程中展開坡度練習，從一般到特殊，引導學生“自悟”隱含條件，在解決富有挑戰性的問題后，還發現了“三角形的形狀與大小都在改變，但內角和沒變，都是180°。”】

3.我來變形。

兩個完全相同的三角尺拼成一個大三角形后，新三角形的內角和是多少呢？

4.知識延伸。

如果拼一拼小精靈變出的這些三角形，可以得到四邊形、五邊形、六邊形……，它們的內角和又是多少呢？根據今天的學習你會有哪些啟發？

【設計意圖：學生憑直覺認為一個三角尺內角和是180°，兩個拼起來內角和理應是360°，通過動手實踐發現兩個直角都拼到邊上去時內角和應是 360°-180°＝180°。最后動態呈現三角形拼成多邊形，引發學生推理，為后續學習埋下伏筆。】