從中間問題入手引導小學生數形轉化

王浩 王艷

數學家華羅庚曾說過，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。數與形是數學中兩個最古老也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。學數學就是學方法，數學方法是數學思想的具體化反映，它具有過程性、層次性和可操作性等特點。數學課程標準也明確指出，要“通過數學的學習與探究，培養和提升學生的數學素養”。考察一個學生的數學素養，要看他能否在數學思想的指導下，采用數學方法與策略解決數學問題。所以教師在課堂教學中，應提煉數學知識中蘊含的數學思想、方法及策略。下面結合義務教育課程標準試驗教科書（人教版）小學數學五年級上冊的課例，談談如何從中間問題入手，讓學生體會數形轉化的數學思想并掌握數形轉化的方法。

一、創設情境，將數變形

數學來源于生活，又服務于生活，數學的工具性特點決定了數學獨特的抽象性和概括性。數學家或數學教育者截取生活中的某一個畫面，結合數學知識，使其成為情境圖。這種情境圖往往具有濃郁的生活氣息，使學生感到親切自然，能喚醒學生的生活經驗，體現數學的實用價值。但數學本身又具有符號性的特點，如果沒有對情境圖進行數形轉化的過程，只會使學生停留在片段的情境中，不能形成抽象概括能力，不利于掌握解決問題的方法。因此，教師要引導學生根據情境圖進行數形轉化，將形象的實物圖形抽象成數學模型或數學符號，這也是數學教師要探究的教學方法和教學策略。

基于以上認識，筆者在設計用小數的除法解決問題時，首先讓學生感知情境圖，收集情境圖中所給予的已知數學信息，并找出要解決的問題。例如已知信息是“220.5千克的產奶量是上周3頭奶牛的”，問題是“平均每頭奶牛每天的產奶量是多少千克？”要讓學生抓住問題進行分析：平均分的是什么？分給了誰？怎么分的？學生根據情境圖的信息，馬上就能說出：分的是上周產奶量，平均分給了3頭奶牛。教師繼續因勢利導：你能畫出一個圖表示題目的意思嗎？學生經過小組合作探討后畫出了兩種示意圖（見圖1）。

學生利用自己的生活經驗完成了數形的轉化。之后教師讓學生說一說圖畫代表的意思，并給予恰當的評價鼓勵。然后對比兩幅圖哪一幅更簡潔一些，再進行優化。在學生普遍認為右圖更簡潔的情況下，教師讓學生利用課前準備好的學具——21厘米長的紙條，將其折成3等份，每一份代表一頭奶牛上周的產奶量，然后適當引導：如果把長方形紙條變成一條線段，你能用點表示出上周每一頭奶牛的產奶量嗎？這樣，學生就能化繁為簡，完成3頭奶牛上周產奶量的線段圖，使數轉化為形。

二、數形分析，提出中間問題

數與形的轉化是解決實際應用問題的重要途徑。數與形轉化能力的培養和形成不是短期內一下子完成的，必須結合具體內容系統地、有針對性地、循序漸進地開展。數形轉化思想也不是靠簡單的畫圖就能實現，而是要漸進地滲透，應根據所學數學知識與實際問題的聯系，在教學中逐漸培養。本例中數形對應的建構，克服了學生在思考抽象文字時遇到的阻礙，使問題更形象具體，同時也使學生學會了一種解決問題的方法——畫圖。在圖示的指導下，教師再問：“根據你的線段圖或折分的紙條，你能提出什么問題？”學生很容易就會提出“上周每頭奶牛的產奶量是多少千克？”的問題。這樣就抓住了本節課的重點，即中間問題。中間問題的提出，為解決最終問題掃清了障礙。學生利用已有知識——平均分的除法意義，列出算式，對中間問題進行了解答。在此基礎上，教師再讓學生對比“我們提出的問題和解決的問題與題目要求解決的問題一樣嗎？”學生通過認真觀察與討論，發現剛剛求出的是上周每頭奶牛的產奶量，而并非平均每頭奶牛每天的產奶量。教師此時可以引導學生審題后回答：上周是多少天呢？平均每頭奶牛每天產奶多少千克是什么意思？在學生明確了上周是7天后，再讓學生通過紙條，找出一頭奶牛上周的產奶量，再動手折紙平均分到7天里（見圖2）。學生思考與動手操作后，就能夠說出：平均每頭奶牛每天的產奶多少千克，只要把上周一頭奶牛的產奶量平均分到7天里，就是一頭奶牛一天的產奶量。

然后教師再讓學生回到線段圖上，找到哪一部分是一頭奶牛上周的產奶量，再把它平均分成7份，就找到了一頭奶牛一天的產奶量，從而使數形一一對應起來。這樣分層遞進，就構建了數形結合解決問題的策略體系。最后列式解答，讓學生思考并練習如何將連除問題還原成連乘問題進行驗算，使學生養成科學的態度和驗證習慣。

三、數形結合，發散學生思維

學生理解了數形結合解決問題的策略后，教師應該利用這種思想方法培養學生發散思維，引導學生從不同角度思考問題，培養思維的靈活性、敏捷性和深刻性。如教師在本例第一種方法完成以后，接著鼓勵學生思考：除了把3頭奶牛上周的產奶量先平均分給3頭奶牛外，你們還可以先算什么？讓學生通過小組合作，利用線段圖邊畫邊探討。學生畫出了如圖3所示的幾種不同的線段。

（1）先求3頭奶牛一天的產奶量，再求一頭奶牛一天的產奶量

（2）先求上周的產奶量相當于多少頭奶牛一天的產奶量， 再求一頭奶牛一天的產奶量

（3）先求一頭奶牛多少天能產220.5千克奶，再求一頭奶牛一天的產奶量

數形結合可以使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而實現優化解題途徑的目的。通過對數形結合思想方法的分析，教師采用“一畫（自由畫）、二折（平均分）、三討論、四抽象（建立模型，規范線段圖）、五對應（數形對應，表明條件問題）、六列式、七解答、八驗證”八個環節，發展學生數形結合的思想，培養學生的發散思維能力，對學生深刻理解數學知識、提高創造性地解決數學問題的能力起到了促進作用。同時，也有利于提高學生的數學素養，激發學生學習數學的興趣，使他們真切地感受到數學的有趣和有用。