提升能力的復習課教學設計

馮大學

[摘 要] 復習課不僅僅是簡單的歸納總結，不僅僅是本章知識點的堆砌，而應該是總結加提升，尤其是解題能力的提升，應該在章節教學之初就有整個章節的整體設計. 章節復習課應該是章節教學的壓軸戲.

[關鍵詞] 復習課；能力提升；整體設計

復習課教學功能初探

復習課，許多老師說好上但又難上好，其根本原因是復習課的定位問題. 復習課應該有兩個主要功能，一是把書讀薄，能夠歸納、總結出本章節的主要內容和主要數學思想方法，而傳統的做法往往是教師歸納總結，學生顯然興趣不高. 筆者長期采用“不預習下的發現式教學法”，即在新課授課時不準學生預習，課堂上更多的關注學生的思維活動，更多的帶領學生思考，創設情境讓學生發現問題、發現結論，在這些發現的過程中既訓練了學生的思維能力，又增強了他們的自信心. 每次課后作業，首先讓學生看書總結，為此，復習課始終堅持讓學生自己總結，看著目錄總結. 復習課的第二個功能是思想方法的總結、提升，解題能力的提升. 僅僅是回憶和歸納總結，沒有深化和提升的復習課，筆者認為不是一節好課. 為此，在章節新課之初，就應有整體規劃和設計. 實際上，現在很多專家和一線教師都更注重章節或單元的整體設計，而不僅僅是單課時設計，以確保復習課讓學生的能力有進一步的提升，真正讓復習課變成章節的壓軸戲. 2016年11月，筆者按照這種思路設計與上課，并將所上復習課錄像后上傳參加“一師一優課，一課一名師”活動，榮獲教育部“優課”稱號，現以此課為例，對復習課的教學設計談談具體想法. 由于整個教學設計內容不多，筆者便先呈現完整的設計，再略述.

一節具體的復習課教學設計

這節復習課的教學內容為“基本幾何圖形”的復習.

1. 教學目標

（1）知識與技能：通過復習，進一步讓學生體會幾何問題之間的關系，以及有關的解題思路，提高學生的思維水平.

（2）過程與方法：通過對已學有關內容的復習、問題解法的回憶，及進一步深化探究，引導學生通過觀察、猜測得到新的共同規律，從而進一步增強分析問題和解決問題的能力.

（3）情感、態度、價值觀：引導學生在類比、猜測等數學活動中體驗探索、交流、成功與提升的喜悅，激發學生學習數學的興趣，進一步樹立學生的學習自信心，培養學生大膽猜想、驗證、推理的嚴謹科學態度.

2. 教學重點

復習本章主要內容，理清它們的相互關系，并對有關方法進行深化、總結.

3. 教學難點

引導學生通過類比，想到解決復雜幾何問題的突破口.

4. 教學過程

（1）回憶與鞏固：請同學們對照書本目錄，回憶本章所學內容，注意重點問題和容易錯的問題.

①線段、射線、直線；

②比較線段的長短；

③角；

④角的比較；

⑤多邊形和圓的初步認識.

整章節的內容可簡單概括為圖1.

這里有許多可以通過對比來理解、掌握的地方. 表1是我們已經做過的兩道題，不知道同學們是否能發現它們類似的地方.

（2）提升？搖

從這章開始，我們會逐步接觸幾何計算和幾何推理，下面，我們來看看我們做過的一道題. 當時還留有思考題，本學期筆者也反復強調要做題后的再思考，筆者希望同學們能夠通過思考有新的發現.

試題1：一直線上有4個點，以這些點為端點的線段有多少條？

思考：（1）一直線上有5個點，以這些點為端點的線段有多少條？

（2）一直線上有n個點，以這些點為端點的線段有多少條（如圖4）？

你是怎么考慮的？做法的關鍵是什么

變式1：平面上有n個點，以這些點為端點的線段有多少條（如圖5）？

變式2：n邊形的對角線有多少條？

變式3：平面上有n個點，最多可以確定多少條直線？

試題2：如圖6，這里一共有多少個角（這里的角是指小于或等于∠A1OAn的角）？

小結？搖 解決問題的關鍵是抓住問題的本質，也就是是怎么定義的. 實際上，數學教育名著《怎樣解題》（G·波利亞著）里面有一個怎樣解題表，他說了一句經典的語：當我們遇到困難時，回到定義中去.

思考題？搖 圖7是一個由3×3組成的大正方形，則圖中共有多少個不完全重疊的長方形（包括正方形）？如果是由5×4構成的長方形呢（圖8）？如果本身是m×n的長方形呢？

對該節復習課設計的說明

筆者用慣例“讓學生看著目錄回憶”的方式開始復習，具體上課時，筆者直接用PPT顯示出目錄，讓學生回憶主要學習內容，教師根據學生的回答進一步完善，最后用PPT展示結構圖，這部分內容用時10分鐘左右. 針對部分教師在設計教學目標時往往喜歡“高大上”，往往談了許多正確的廢話的情況，筆者的設計不說廢話，真正切合實際，“通過對已學有關內容的復習、問題解法的回憶，及進一步深化探究，引導學生通過觀察、猜測得到新的共同規律，從而進一步增強分析問題和解決問題的能力”，強調在回憶的基礎上進一步探究，進一步提升. 最初，回憶的兩個題目是在新課教學時做過并詳細講評的題目，因為剛剛接觸幾何問題，這兩個題目又有一定的難度，所以新課時都做得不夠好，新課講評時更多的是分析如何尋求結論和條件之間的橋梁，如何恰當地轉化，沒有更多的分析，但在題目設計時，筆者留下了伏筆：特別注意了字母與數字的設定，為復習課奠定了基礎. 果然，在復習課時，學生很快發現了重要的東西：表面上看最關鍵的是，將試題2中的角度符號和度數符號及字母O去掉后就成了試題1，解答里面的角度和度數符號及字母O全部去掉，試題2的解答就成了試題1的解答. 這種強烈的暗示作用，啟發學生在復習時重新思考本章所學內容在方法論上的相同點，以及思考解決這些問題時思考方法的相同性. 通過思考，學生會在表面相同的情況下發現本質的類似，發現解決問題的思維入口，為后續解題提供幫助，從而提升學生的數學解題能力.

提升部分仍需從做過的題目入手，試題1更多的是具體數，可以分類數，分類的方法也多種多樣，思考（1）仍然是小變化，和試題1的處理方法可以一樣，思考（2）如果還是按照試題1的分類方法來做，會比較困難，迫使學生重新思考解決問題的方法，最后發現，用定義，即線段是由兩個端點唯一確定的來解決最簡單，從而得到解法：每個點可以和另外的（n-1）個點之一組成一條線段，共（n-1）條，每個點都這樣，但每條線段被計算了兩次，于是總線段有n·（n-1）條. 當學生發現這個本質后，變式1、變式2和變式3就都迎刃而解了.

由于有前面知識的回憶與總結，提升部分試題2的解答也易如反掌，實際上課中也是如此. 筆者在具體上課時，發現最初兩個做過的題目的規律和共同點花了8分鐘左右，試題1到變式3結束也不到15分鐘. 可見，學生解決后續問題確實是勢如破竹. 復習課教會學生以不變應萬變的目的達到了.

如果復習課僅僅到提升部分試題2就結束，筆者認為深化提高還不夠，因為這里的深化提高更多的還停留在類比階層，于是，筆者先設計了一個小結，在小結中把解決問題的突破口歸結為“從定義出發”，再設計了一個難度較大的思考題.

這個題目大部分學生和部分教師首先想到的可能都是數，按照一定的分類方式來數，然后求和，當然，如果按照一定的規律數，圖7也沒有問題：面積為1的正方形有9個，面積為2的長方形有6+6=12個，面積為3的長方形有6個，面積為4的正方形有4個，面積為6的長方形有4個，面積為9的正方形有1個，共36個. 但按照這個方法，圖8就很困難了，而m×n就更沒有辦法了，因為無法分類. 那是不是就沒有辦法做了呢？筆者希望學生能夠直接找到問題的本質，從而進行計算.

其實，如果我們注意到所有的長方形的形成的本質在于都是由橫、縱兩個方向的線段組成的，正如坐標系中的點的坐標一樣，當橫、縱坐標唯一確定時所對應的點也相應唯一確定了，現在我們需要解決的問題是，是不是只要橫、縱兩個方向的線段確定后所對應的長方形就唯一確定了，而這個問題的答案顯然是肯定的，這樣，問題就轉化為數不同方向的線段數了. 比如圖7，兩個方向都有不同的線段6條，于是有長方形6×6=36個.

這樣，圖8就有各種不完全重疊的長方形150個，m×n的長方形就可以有·=個不完全重疊的長方形. 這里需要注意的是，m×n的長方形一個方向上的最多點是（m+1），而不是m，邊上線段的條數應該是，而不是.

正如筆者所預料，課堂上，部分學生5分鐘之內就找到了理想的做法. 可見，復習課可以提升且甚至可以大幅度提升學生的能力. 所以，如果我們教學設計恰當，復習課會讓學生能力的提升有一個質的飛躍.

進一步思考

數學教學的本質是訓練學生的思維能力，筆者在回憶學生做過的問題的基礎上進行深化（提升部分的試題1是做過的），最終發現這些問題的解決方法基本一樣，所以筆者讓學生揭開問題的面紗，抓住數學問題最核心的本質規律. 比如這節課的計數問題，筆者就希望學生能夠抓住問題的本質：線段是由兩個端點決定的，角度是由兩條邊決定的. 由于是復習課，需要學生進一步提升，所以筆者在線段問題上就設計了一個問題串，且解決這個問題串的本質方法是一樣的.

最近幾年，總有關于“高效課堂”的思考，筆者認為，這其實是關于教學價值的思考. 教學價值是教學設計的靈魂，它所回答的問題就是為什么而教，也決定著教什么、如何教. 數學復習課是一章的收尾，即收官之作，因此，筆者覺得在新課時就應規劃好什么時候講什么、怎么講、講到什么程度. 我們知道，要教給學生知識，因為知識是基礎，要實現任何目標都離不開知識. 愛因斯坦曾說過：“當一個人忘掉了他在學校所接受的東西，剩下來的才是教育.” 筆者認為，對于數學學科而言，剩下來的應該是思想，因為思想是能力的核心，只有思想，才能把知識轉化為能力，而更高層次的能力是應用意識和創新意識. 毫無疑問，數學教學的主要任務是培養能力. 其實，對教學的定位不同，境界不同，思考的問題也就不同. 如果定位為知識，你不必考慮教什么，照本宣科就夠了，也不必思考怎么教，把知識告訴學生就可以了. 作為知識的終結，只要記住就行了；作為總結課，簡單地羅列出本章知識就夠了，但這樣的復習總結課顯然對學生沒有吸引力，對于聽課教師而言也沒有新意，當然也就沒有收獲. 該節課正是筆者申報評正高級教師的考察課，顯然必須要有突破. 雖然，僅僅定位在知識教學，是最省事的教學，但低層次的教學，當然不是好的數學教學. 如果定位在思想，你才會追問知識是怎么來的，解決問題的方法是怎么想到的，此時，你才會去探究知識的來龍去脈，才需要考慮過程，尤其是深究思考的過程，而思想恰恰蘊含在過程之中. 如果定位在基本能力，你才會意識到，數學教學就是數學活動的教學，因為能力是不可“教”的，你不能把能力教給學生，能力是實踐的結果，是在自主探究、親身體驗的經歷中獲得的，而當你著眼于更高層次的能力時，你就不得不思考如何讓教學過程成為“再創造”的過程. 所以，在教學之初，展示出兩個已經做過的題目讓學生進一步思考時，筆者愿意留給學生足夠多的時間用于思考，讓他們去發現，尤其是讓他們發現現象后還要進一步體會透過現象所能夠發現的本質. 所謂磨刀不誤砍柴工，當學生真正理解方法從而提升能力后，后續問題的解決就非?？炝耍唧w上課的事實也證明了筆者所想是正確的. 筆者始終認為，復習課的教學應該將章節知識與能力推向本章頂峰. 希望我們的教育是真正高效的，也為學生的終身發展奠基，從這個角度來說，復習課的設計尤其重要，好的設計才能真正起到收官之作的目的，好的復習課才能稱得上是名副其實的本章節的壓軸之作.