“慢”中求“實”，打造自然課堂

卜啟虎

[摘 要] 概念教學要立足于“問”，要立足于學生的“最近發展區”. 教學時應“以生為本”，設計出靈動而富有成效的教學內容和教學流程，并根據教學進程合理調控教學進度，確保教學在學生需求的方向上前進.

[關鍵詞] “慢”中求“實”；善于提問；自然課堂

眾所周知，數學教學的本質是“思維的教學”，數學學習的本質是發展學生的思維，而數學學習的終極目標是培養學生的思維能力，養成良好的學習習慣，形成核心素養.

鄭毓信教授提出數學教師要有三個基本功：善于舉例、善于提問和善于優化.

概念教學要立足于“問”，課堂提問要實，要立足于學生的“最近發展區”，要通過概念教學這個載體將思維訓練植根于“草根”課堂.

“實”指課堂教學要實在，不流于形式，不搞花架子. “實”是要給學生帶來實惠，要充分發揮學生的主體作用，極力追求自然的、綠色的課堂.

數學教學是一個“慢”的過程. 在教學中，教師應本著學生自然生長的心態，減少教學的浮躁與功利，“等一等”，給學生獨立思考的時間和空間，讓學生體驗獨自深入探討的經歷，讓學生體會深刻理解知識后的樂趣，讓學生有常與他人合作的機會，從而多一些對思想方法的深思和頓悟，并讓其在數學課堂上慢慢成長.

教學中，教師要深入挖掘所教授知識點的思維內涵，控制課堂教學的節奏，放慢思維的步伐，通過設置不同層次的數學問題，給予學生分層指導，教給他們必要的思維策略，使“不同的人在數學上都能得到長足的發展”.

下面以“一次函數的概念”教學（片段）為例，加以說明.

經歷并感悟一次函數產生的

過程

上節課，我們學習了函數的概念以及常量和變量，同時還學習了函數的常見三種表示方法——表格法、圖像法和解析式法. 現在，我們一起來研究下面的問題.

問題1 一個蓄水池儲水100 m3，用0.8 m3/min的速度向外放水，若水池剩余水量為y（m3），放水時間為t（min），則當t=20時，y為多少？

師：誰能找出該問題中的常量和變量？

生1：100和0.8是常量，t和y是變量.

師：正確. y和t之間具有怎樣的關系？

生2：y=100-0.8t.

師：好的. y是t的函數嗎？為什么？

生3：y是t的函數，因為在這個變化過程中有兩個變量，即t和y，并且對于t的每一個取值，y都有唯一的一個值與它對應.

師：很好. 當t=20時，y等于多少？其實際意義是什么？

生4：當t=20時，y=100-16=84，其實際意義是放水20 min后，蓄水池剩余水84 m3.

師：很棒. 獲得這個解析式經歷了哪幾個步驟？

生5：像列方程解應用題一樣，經歷了審題、找數量關系、列出關系式等步驟.

師：非常好. 函數y=100-0.8t有何特點？

生6：等式右邊是一個關于t的一次二項式，是個整式.

師：很好. 其實，這種特殊的函數具有很強的現實意義. 例如y=5x，y=25x+6，y=100t，g=h-105，y=-0.8t+100，都是從具體的實際生活中抽象出來的. 正因為這類函數有著很強的現實意義，所以我們才有研究的必要. 那么，它們有何特征？有何性質？本節課我們就來探究這些問題（揭示課題）.

說明 美國數學教育家杜賓斯基認為：“學生學習數學概念需要進行心理建構，只有在自身已有知識、經驗的基礎上，主動建構新知識的意義，才能達到理解. ”實際上，列式（列代數式、列方程以及函數表達式等）本身就是數學的核心內容之一，也是學生必須掌握的重點內容之一，因此，必須留給學生充足的思考時間.

在這里慢下來，放慢教學的腳步，通過“慢呈現”，再現了列式的基本過程. 其意義在于，不僅讓學生通過回憶復習了舊知，而且從具體問題情境中準確地理解了自變量、函數等知識，同時初步感知了函數的特點，給予學生足夠的時間尋找新、舊知識的連接點，并運用已有知識嘗試構建新的知識結構體系.

其作用是通過“慢”，能讓絕大多數學生跟上課堂步伐，有體驗、感悟的機會，激發學生的學習熱情，從而讓學生學到實實在在的數學知識. 這才是真正的、能滿足學生需要的、不帶任何修飾的、樸實無華的自然課堂.

參與定義一次函數的活動

問題2 函數“y=5x，y=25x+6，y=100t，g=h-105，y=-0.8t+100”有何共同特征？

生7：這些關系式中都含有兩個變量.

師：很直觀. 我發現你是通過觀察變量的個數獲得結論的.

生8：右邊的代數式都是含有某個字母的整式.

師：很仔細. 你能從代數式類型的角度進行歸納.

生9：表達式中兩個變量的最高次數都是1.

師：很到位. 你能透過現象看本質，從表示變量的字母的最高指數方面來進行歸納.

生10：如果把等號左邊的字母換成0，那所有的式子都變成了一元一次方程；如果把等號左邊的字母移到等號右邊，它又變成了一個二元一次方程.

師：有道理. 你是用方程概念來歸納的.

生11：都是用字母表示的關系式.

師：非常好. 你有較強的符號表示意識.

師：好. 現在我們一起來歸納一下這樣的函數所具有的共同特征.

眾生：（教師板書）它們同時滿足①兩個變量的指數都為1；②必須是關于兩個變量的整式；③比例系數k≠0.

說明 建構主義學習理論認為，學習不是被動地接收信息，而是以原有的知識經驗為基礎，積極主動地建構自己的理解，形成對問題的解釋. 數學學習的關鍵是要讓學生的腦子真正“動”起來，思維實實在在地“活”起來，把學習過程變成數學“活動”過程，讓學生參與學習和探究，成為課堂學習的主人. 以數學現象為基礎，培養學生的觀察能力；以數學問題驅動，培養學生的分析、探究能力；以“互動”協作為方式，培養學生的合作能力. 實事求是地說，概念教學是數學教學的核心. 概念教學常常要還原概念產生、發展的過程，給學生提供充分感知概念本質特征的機會. 要達到這個目標，必須給予學生充足的思維空間.

在這里慢下來，拉長探索歷程，通過“慢思考”，充分發揮學生的主體作用，能給學生足夠的時間進行觀察、歸納、總結，等待學生表達歸納的結論.

其意義在于，讓學生經過困惑、沖撞、爭執、頓悟的過程，深刻理解一次函數所具備的基本特征，完成對該知識結構體系的建構. 其作用是，在“慢思考”的過程中，通過學生自己覓得知識，能夠有效地促進新知識結構的重建，學會數學地思考，提升理性思維. 這才算真正滿足學生自然發展需要的、“淡”中見“實”的綠色課堂.

師：由于這類函數以后會經常用到，所以我們要給它一個名稱. 就像同學們剛才歸納的那樣，形如y=kx+b（k，b都是常數，且k≠0）的函數叫一次函數. 當b=0時，一次函數y=kx+b就成為y=kx（k是常數，且k≠0），叫正比例函數，常數k叫比例系數.

師：確定函數是否為一次函數或正比例函數，就是看它們的函數表達式經過整理后是否符合y=kx+b（k，b都是常數，且k≠0）或y=kx（k是常數，且k≠0）的形式. 也就是說，由一次函數的定義可知，若函數是一次函數，則其解析式可化為y=kx+b（k，b都是常數，且k≠0）的形式；反之，若一個函數的解析式可化為y=kx+b（k，b都是常數，且k≠0）的形式，則此函數為一次函數.

說明 建構主義認為：“學習是一個積極、有意義建構的過程，需要學生有很高的心理參與和智力參與，而不是教師簡單地示范和解釋. ”其實，數學教學要“講背景，講思想，講應用”，概念教學則要強調讓學生經歷概念的概括過程. 很顯然，這樣的過程一定要在慢等待中呈現.

在這里慢下來，通過教師的“慢引領”，給予學生充分的思考空間建構一次函數的概念，從而完善函數學習中數學基本活動經驗的積累. 其意義在于，讓學生把概念中蘊含的本質屬性抽取出來，并建立在已有的基礎上，同時從變量的指數、表示變量的整式等多方面觀察，最后歸納、抽象、概括出一次函數的概念.

其作用是，從立足于學生發展的角度，讓學生全方位地體驗課堂，體驗發現問題、探索問題的過程. 在教師的“慢引領”下思考問題，促進學生數學思維品質的和諧發展. 這才是能滿足學生自由發展的、具有自然元素的綠色課堂.

師：在下列函數中，哪些是一次函數？哪些是正比例函數？若是一次函數或正比例函數，則其系數k和常數項b的值各是多少？

y=4，y=3x2-x（2+3x）+1，y=4-x，y=x2，y=2πx.

生12：y=4-x，y=2πx是一次函數. y=4-x的系數k為-1，常數項為4；y=2πx的系數k為2π，常數項為0. 其中，y=2πx又是正比例函數，其比例系數為2π.

師：其余的為什么不是一次函數？

生12：y=4中的k=0；y=x2中x的指數為2；y=3x2-x（2+3x）+1不滿足一次函數的表達式.

生13：不對，老師剛才講了，一次函數解析式的形式是y=kx+b（k≠0），要判斷一個函數是否為一次函數，就要判斷其是否能化成以上形式. 我覺得y=3x2-x（2+3x）+1經化簡后得y=-2x+1，應該是一次函數，其系數k為-2，常數項為1.

師：這個同學說得很好. 接下來請同學們思考“獲得一次函數的概念經歷了哪幾個步驟”.

生14：先從表示生活問題的應用題中抽象出數學表達式，然后從這些數學表達式中歸納出它們具有的共同特征，最后用形如y=kx+b（k，b都是常數，且k≠0）的形式來表示.

師：說得非常好. 這個過程體現了抽象思想、歸納思想、符號表示思想等.

師：通過以上學習，誰能說出一次函數與二元一次方程有何區別與聯系？

生15：一次函數是用形如y=kx+b（k，b都是常數，且k≠0）的形式來表示的，是用自變量x表示函數y. 而二元一次方程形如ax+by=c（ab≠0）. 聯系是它們之間可以互化. 將一次函數寫成kx-y+b=0（k≠0）就可將此函數看作二元一次方程，將二元一次方程ax+by=c（ab≠0）寫成 y=-x+的形式就可看作一次函數.

師：非常好. 它們都是描述現實世界數量關系的重要數學模型——方程模型和函數模型，當然也體現了方程思想和函數思想.

說明 建構主義學習理論認為，學生獲取知識的多少、優劣，并不完全取決于學習者記憶和背誦教師講授內容的能力，而最終取決于學習者根據自身經驗去建構有關知識的意義的能力. 事實上，“數學教學”的關鍵在于辨識出核心知識且講清核心概念蘊含的數學思想和數學思考方法. 數學思想方法既隱身在數學課程內容之中，也體現在人們解決問題的基本思路中，因此滲透數學思想方法的教學活動必然與數學課程內容的教學、解決數學問題的教學交織在一起. 在這里慢下來，通過“慢等待”，給予學生一個充足的“領悟”數學思想的時空.

其意義在于引導學生揭示隱藏于知識之中的思維內核，把數學嵌入活的思維活動之中，并不斷地在學數學、用數學的過程中，引領學生學習知識，掌握方法，形成數學思想.

其作用是，向學生傳遞一個信息，即只有注重數學思想方法滲透的課堂，才算得上是有思想深度的課堂，只有這樣的課堂，才能促進學生思維能力的發展，才能真正提高學生的數學素養，從而真正讓學生自覺地愛上數學. 正所謂，自然的才是永恒的.

對一次函數概念的再辨析

師：x+y=3是一次函數嗎？

生16：x+y=3是關于x，y的二元一次方程. 如果將x+y=3化成y=-x+3，則可看成y是x的一次函數. 如果將x+y=3化成x=-y+3，則可看成x是y的一次函數.

師：非常棒. 該同學正確運用二元一次方程與一次函數之間的關系準確地回答了本題. 由此，誰能總結出與此相關的重要結論？

生17：如果y可以表示為x的一次函數，那么x也必然可以表示為y的一次函數.

師：太精彩了. 接下來請思考“2x+3是x的一次函數嗎”這一問題.

眾生茫然.

師：首先要理解函數的本質是什么.

生18：一般地，如果在一個變化的過程中有兩個變量x和y，并且對于變量x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么我們稱y是x的函數，x是自變量.

師：很好. 函數是研究在某一個變化過程中，兩個變化數量之間的關系，而這兩個變量中，當一個變量取一個值時，另一個變量有唯一的值與之對應. 因此，函數的本質之一是一個變化過程中兩個變化的數量關系. 這里x變化了，2x+3是否也隨之變化？

生（眾）：變化.

師：既然在這樣的變化過程中有兩個變量x，2x+3，并且對于x的每一個值，2x+3都有唯一的值與之對應，那么2x+3就是x的函數. 從2x+3的形式上來看，其符合一次函數的定義，因此，2x+3是x的一次函數.

眾生恍然大悟.

這里學生感到茫然主要有兩方面的原因，一是看不懂題，認為函數大都是x，y之間的關系，這里怎么冒出2x+3與x；二是不知2x+3是x的函數，更不知2x+3是x的一次函數. 由于很多教師在平時教學中呈現給學生的函數問題過于強調以字母x，y的形式表達，以及函數解析式的標準表達形式為y=kx+b（k≠0），使得學生的認知習慣還在以字母x，y來表達兩個變量以及函數解析式的標準表達形式y=kx+b（k≠0）上，一旦這兩個變量換成用其他字母表達或函數解析式變成非標準形式時，學生就出錯或無從下手. 因此，教師應及早提醒學生注意這方面的問題.

說明 概念學習的最終目的是學會應用，其應用需要學生在進行數學思考的同時實施理性思維，這些都需要有一定的時空作保障，因而不能急躁、冒進. 在這里慢下來，通過“慢思維”，在學生活動過程中，突出教師的引導作用，在學生原有知識和教學目標之間合理設置階梯，架設橋梁，讓學生在最近發展區不斷完善自己的知識結構體系，提升思維品質.

其意義在于，讓學生在掌握一次函數概念后，經歷由“學”到“悟”的過程，通過深刻領會概念的內涵和外延，熟練解決實際問題.

其作用是，以數學知識為載體促進學生的發展，真正實現“數學育人”. 教師在領悟數學問題的本質、理解數學、清楚數學的前提下，實現對學生進行“思維的教學”. 這才是自然課堂帶給我們的無窮魅力.

李邦河院士說：“數學根本上是玩概念，不是玩技巧，技巧不足道也！”數學玩的是概念，而不是純粹的技巧. 因此，在概念的學習過程中，教師要想讓學生真正地理解概念，就必須先讓學生了解其產生的背景，然后通過大量實例分析概念的本質屬性，進而讓學生概括概念、完善概念，最終達到鞏固和應用概念的目的. 這里讓學生再次回歸概念，慢慢領悟，慢慢消化，以求得實效，以加深學生對一次函數概念的理解.

實踐證明，每一個數學概念的理解都是在學習活動中發生、發展的，“發現一些具體情境中對象的特征——歸納對象的共性——提煉對象的本質屬性得到概念——理解概念并運用”，這就是學生學習概念過程中常見的幾個環節，每一個環節在課堂學習中都離不開學生的“說”. 既然要讓學生大膽地“說”，就要在慢等待中給足學生思考的時間，這才是“慢”中求“實”的本意. 本來新知識的學習和應用就應貫穿學生的整個學習過程，學生的“思”和“悟”決定著新知學習的成效.

值得說明的是，一次函數作為初中數學核心內容之一——“函數”的學習，是一個起始階段，對以后學習其他諸如反比例函數、二次函數等起著指導作用. 這里的“慢”操作，除了要讓學生掌握學習函數的基本套路外，還要引導學生通過思考獲得學習函數的基本數學活動經驗，而基本數學活動經驗的獲得需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，需要在數學學習活動中積累. 這里的積淀也好，積累也罷，更多的時候需要“思”和“悟”，而“思”和“悟”需要一定的時間等待，因而應慢從緩來，不能急功近利.

結束語

教學心理學研究表明：教學效果的優劣既取決于教師教學的主導行為，更取決于學生作為主體在學習過程中的積極參與，而教師科學引導和精心主導下的學生主體活動會更有意義.

數學學習的終極目標是培養學生的思維能力，養成良好的學習習慣，形成核心素養.

教育要回歸簡單，回歸自然，回歸人性，不能急功近利. 知識的獲得，經常也是困難、艱苦、緩慢的過程. 在教學中，適度地“慢”，才能煥發學生積極的熱情；恰當地“慢”，才能讓探究更自主，讓激情更勃發，讓思維更靈活，讓課堂更精彩. 只有把握好 “慢”，我們的課堂才能蘊含靈動的生命力. 只有慢下來，才能回歸教育本質，實現以人為本的“真教育”. 思維能力的培養、情感的對話、心靈的喚醒、基本數學活動經驗的體驗，是萬萬急不來的，慢工才能出細活.

這才是在“慢教育”理念指導下實實在在的數學課堂，這才是我們一直努力追求的自然課堂.