數(shù)形結(jié)合，開放互動(dòng)，追求適切

丁同軍

[摘 要] 學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)之后，會(huì)與很多數(shù)學(xué)知識(shí)、生活知識(shí)關(guān)聯(lián)起來“生成”新的數(shù)學(xué)綜合問題，學(xué)生在最初應(yīng)對(duì)這類問題時(shí)常常感覺困難，為了幫助學(xué)生積極面對(duì)，突破問題，善于數(shù)形結(jié)合地分析，讓教學(xué)環(huán)節(jié)開放，促進(jìn)師生對(duì)話互動(dòng)，追求適切的教學(xué)，是有效的教學(xué)嘗試.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)形結(jié)合；反比例函數(shù)；開放教學(xué)；互動(dòng)對(duì)話

寫在前面

學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)之后，學(xué)生初步具備了數(shù)形結(jié)合的思想方法和演算能力. 為了應(yīng)用反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)研究生活、生產(chǎn)中變量之間的聯(lián)系，應(yīng)構(gòu)建反比例函數(shù)模型解決問題，加深和拓展學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解. 筆者近期執(zhí)教了一節(jié)反比例函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用的習(xí)題課，本文梳理該課的教學(xué)流程，并跟進(jìn)解讀，以提供研討.

“實(shí)際問題與反比例函數(shù)”課

堂實(shí)錄

1. 教學(xué)環(huán)節(jié)一：溫故知新，引入新課

師：請(qǐng)每位同學(xué)打開幾何畫板的課件（見圖1），用鼠標(biāo)點(diǎn)擊反比例函數(shù)k值框下面的箭頭，改變k值的大小，并觀察圖形與k值的關(guān)系.

師：k值是正數(shù)時(shí)……

生1：k值是正數(shù)時(shí)，反比例函數(shù)的圖像分布在第一、三象限.

生2：k值是正數(shù)時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)y的值隨x值的增大而減小.

師：k值取正數(shù)時(shí)，函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的距離怎樣？

生3：k值取正數(shù)時(shí)，k值越大，函數(shù)圖像越靠近坐標(biāo)軸；k值越小，函數(shù)圖像越遠(yuǎn)離坐標(biāo)軸.

師：k值是負(fù)數(shù)時(shí)……

生4：k值是負(fù)數(shù)時(shí)，反比例函數(shù)的圖像分布在第二、四象限.

生5：k值是負(fù)數(shù)時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)y的值隨x值的增大而增大.

師：k值取負(fù)數(shù)時(shí)，函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的距離怎樣？

生6：k值取負(fù)數(shù)時(shí)，k值越大，函數(shù)圖像越遠(yuǎn)離坐標(biāo)軸；k值越小，函數(shù)圖像越靠近坐標(biāo)軸.

解讀 這樣設(shè)計(jì)的意圖：（1）引導(dǎo)回憶舊知；（2）展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想；（3）運(yùn)用信息技術(shù)直觀教學(xué). 本課建立在舊知的基礎(chǔ)上研究反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，并運(yùn)用反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決實(shí)際問題.

2. 教學(xué)環(huán)節(jié)二：基礎(chǔ)練習(xí)，鞏固訓(xùn)練

已知反比例函數(shù)y=的圖像經(jīng)過點(diǎn)（2，3），則點(diǎn)A（-，-2），B（2，），C（0，6），D9，不在反比例函數(shù)y=圖像上的是______.

生1：先求出k的值是6，然后依次把A，B，C，D的坐標(biāo)代入，計(jì)算出k的值. 經(jīng)過計(jì)算可確定不在反比例函數(shù)y=圖像上的點(diǎn)是C.

師：由此可歸納出k值的第一個(gè)作用是什么？

生2：k值的第一個(gè)作用是判斷“點(diǎn)”是否在反比例函數(shù)圖像上.

解讀 這樣設(shè)計(jì)的意圖是初步了解k的值，為進(jìn)一步研究k值做鋪墊.

3. 教學(xué)環(huán)節(jié)三：創(chuàng)設(shè)情境，繼續(xù)研究

為控制沙漠化蔓延，我們?cè)谝恍┑貐^(qū)種植抗沙漠化的植被，現(xiàn)計(jì)劃種植8 km2的植被. 如果按長方形種植，它們的長與寬（此處忽略長方形中“長>寬”這一條件）可以是：1，8；2，4；4，2；8，1…請(qǐng)問每個(gè)這樣的長方形的長和寬呈什么比例關(guān)系？

生1：反比例關(guān)系.

師：理由呢？

生2：因?yàn)殚L與寬的乘積等于一個(gè)常數(shù).

師：好！既然呈反比例關(guān)系，那我們把每個(gè)長方形的長作為橫坐標(biāo)，寬作為縱坐標(biāo)，得到點(diǎn)（1，8），（2，4），（4，2），（8，1）…建立坐標(biāo)系，這些點(diǎn)在什么函數(shù)圖像上？

生3：在函數(shù)y=的圖像上.

師：請(qǐng)小組討論一下：由題目，長方形植被的面積值跟反比例函數(shù)y=有什么關(guān)系？

（小組討論，教師巡視）

生4：我們小組的結(jié)論是，過反比例函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)向x軸、y軸作垂線，其與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積等于k.

解讀 通過情境教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)來源于實(shí)踐又反作用于實(shí)踐的辯證唯物主義觀念.

4. 教學(xué)環(huán)節(jié)四：例題講評(píng)，鞏固新知

例題 如圖2，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=圖像上一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別向x軸、y軸作垂線PM和PN，垂足分別為點(diǎn)M和點(diǎn)N. （1）求四邊形PMON的面積；（2）求△POM的面積.

師：根據(jù)剛才的學(xué)習(xí)可知什么？

生1：k就是四邊形PMON的面積.

師：正確，誰來板演一下解題全過程？

生2（板書）：設(shè)P（a，b），因?yàn)镻M⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，所以四邊形PMON是矩形. 所以S=PN×PM=ab=k=8. 所以四邊形PMON的面積為8.

師：很好，第（2）問中的三角形的面積和剛剛所求的四邊形的面積有什么關(guān)系？

生3：△POM的面積等于四邊形PMON面積的一半，即k=4.

師：各小組討論一下剛才的解題規(guī)律.

（小組討論，教師巡視）

生4：過反比例函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)向x軸、y軸作垂線，其與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積等于k，若與原點(diǎn)相連，所構(gòu)成的直角三角形的面積等于k.

解讀 例題是“基礎(chǔ)訓(xùn)練”部分的延續(xù)和拓展，學(xué)生的回答處理得比較直截了當(dāng)，教師的引導(dǎo)激勵(lì)了學(xué)生思考，引導(dǎo)其探索解題思路，促使學(xué)生自始至終處于積極的思維活動(dòng)中. 學(xué)生的積極主動(dòng)，也較好地把學(xué)習(xí)知識(shí)和培養(yǎng)分析探索能力融為一體.

5. 教學(xué)環(huán)節(jié)五：課堂小結(jié)

師：今天我們復(fù)習(xí)反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，你有哪些收獲？哪位同學(xué)小結(jié)一下？

生：今天我們學(xué)習(xí)了……

（教師在黑板上板書）

解讀 本環(huán)節(jié)是對(duì)教學(xué)過程的回顧，也是對(duì)學(xué)習(xí)中的得與失進(jìn)行歸納，突出這節(jié)課的要點(diǎn)、難點(diǎn)、重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn).

教后反思

1. 重視數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透

我們知道，“數(shù)無形，少直觀；形無數(shù)，難入微. ”初中函數(shù)教學(xué)強(qiáng)調(diào)的就是數(shù)形結(jié)合. 本節(jié)課教學(xué)的基本目的是讓學(xué)生能靈活運(yùn)用反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決實(shí)際問題，其重點(diǎn)是k的幾何意義的歸納和使用. 為了達(dá)到這節(jié)課的教學(xué)目的，教師創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，采用啟發(fā)式教學(xué)，自主探究、小組合作貫穿始終，師生共同分析、解決教學(xué)中遇到的問題，學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)，提高了觀察、分析、歸納、總結(jié)的能力，以及團(tuán)結(jié)合作的意識(shí). 剛開始，從復(fù)習(xí)舊知入手，通過動(dòng)手操作、合作交流活躍課堂氣氛，滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，做好本節(jié)課思想方法的鋪墊；其次，利用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系和規(guī)律，讓學(xué)生發(fā)揮觀察、分析、歸納等能力的作用，提煉出k的幾何意義，并明確其在解題中的實(shí)際作用；再次，為鞏固學(xué)習(xí)成果，進(jìn)行經(jīng)典例題探究，強(qiáng)化變式訓(xùn)練，即一題多解，一題多變，一法多用；最后，“當(dāng)堂檢測(cè)”環(huán)節(jié)要求限時(shí)完成，正確率較高，最終驗(yàn)證了這節(jié)課是一節(jié)非常成功的課.

2. 預(yù)設(shè)開放問題，倡導(dǎo)互動(dòng)對(duì)話

為了充分發(fā)揮每個(gè)學(xué)生思維的積極性，本課設(shè)計(jì)了多個(gè)師生互動(dòng)環(huán)節(jié)，有的是集體討論環(huán)節(jié)，有的是小組合作交流環(huán)節(jié)，有的是人機(jī)互動(dòng)環(huán)節(jié)，有的是當(dāng)堂檢測(cè)互批互評(píng)環(huán)節(jié)……真正尊重學(xué)生在教育教學(xué)中的主體位置，又竭盡全力地發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性. 學(xué)生收獲的不僅是知識(shí)、方法，更是成功經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn).

3. 做好“多與少、快與慢”的協(xié)調(diào)與平衡

多放手，少代勞. 每當(dāng)學(xué)生遇到疑難和困惑的時(shí)候，我們是不是要做一個(gè)“有求必應(yīng)”的老師呢？現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，有些老師或家長打著“教育”或“親情”的名義，手把手地解決學(xué)生學(xué)習(xí)過程中遇到的問題，事無巨細(xì)，這樣不是愛護(hù)，而是剝奪了他們鍛煉的機(jī)會(huì)，是溺愛，是代勞，我們應(yīng)該對(duì)孩子多一點(diǎn)兒信任，少一點(diǎn)兒包辦，應(yīng)啟發(fā)、引導(dǎo)、尊重他們的學(xué)習(xí)主動(dòng)權(quán).

快節(jié)奏，慢過程. 由于教學(xué)內(nèi)容上有難易、主次之分，教學(xué)步驟上有復(fù)習(xí)、引入、歸納、例題、練習(xí)、檢測(cè)等不同環(huán)節(jié)，而一節(jié)課的時(shí)間畢竟有限，所以要想達(dá)到一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，就要突破這節(jié)課的難點(diǎn)，教學(xué)速度上必然要有緩急之分，要遵循知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展規(guī)律，合理安排時(shí)間，當(dāng)快則快，不拖泥帶水，否則浪費(fèi)時(shí)間，當(dāng)慢則慢，細(xì)嚼慢咽，慢工出細(xì)活，否則欲速則不達(dá).