軸向磁通磁場調制型電機的解析分析

宋志翌，黃　建，王　貫

(北京自動化控制設備研究所，北京100074)

0　引言

軸向磁通磁性齒輪是一種基于磁場調制原理的傳動機構，它由極對數較少的高速永磁轉子、調制環和極對數較多的低速永磁轉子組成[1]。相比于機械齒輪，軸向磁通磁性齒輪在傳動過程中無機械接觸，具有傳動效率高、可靠性高、過載保護能力強、無需定時潤滑維護的優點[2-3]。軸向磁通磁場調制型電機采用定子電樞磁場代替軸向磁通磁性齒輪的高速永磁磁場，將存在雙轉子的軸向磁通磁性齒輪簡化為只存在一個低速永磁轉子的電機，大大降低樣機加工裝配的復雜度，在風力發電和電動汽車等低速大轉矩直驅場合具有潛在的應用前景[4-7]。相比于徑向拓撲結構，軸向拓撲結構可以更好地利用軸向空間，在轉矩密度上具有優勢[8-9]。

軸向磁通磁場調制型電機的磁密為三維分布，存在兩種方法可用于計算軸向磁通磁場調制型電機的氣隙磁場分布：三維有限元仿真法和解析分析方法。三維有限元仿真可建立電機的實際模型且考慮鐵心的磁飽效應，仿真結果具有較高的精度，但是三維有限元仿真耗時長且對計算機的性能有較高的要求，這降低了電機設計優化的靈活度。解析分析方法取平均半徑處的二維簡化模型代替實際電機三維模型，且不考慮鐵心的飽和效應，在保證計算精度的前提下可有效縮短計算時間[10-12]。

本文提出了一種計算軸向磁通磁場調制型電機氣隙磁場和電機特性的簡化二維解析分析方法。通過拉普拉斯方程或泊松方程并結合邊界條件，求解出每個子域的矢量磁位，進而得到氣隙磁場分布、空載反電勢、電磁轉矩和軸向磁拉力的解析表達式。為了評估解析方法的計算精度，對二維解析分析結果和三維有限元仿真結果進行了比較。

1　簡化的二維解析模型

軸向磁通磁場調制型電機由定子、調制環和永磁轉子這3個部件組成，其中調制環由導磁塊與非導磁塊交替排列而成，如圖1所示。不同于常規的永磁同步電機，軸向磁通磁場調制型電機定子與永磁轉子間存在調制環，不僅影響氣隙磁場分布，同時使得軸向磁通磁場調制型電機電機特性的計算更加復雜。因此，提出了基于定子電樞繞組等效面電流法的二維解析分析方法。

將軸向磁通磁場調制型電機沿平均半徑處展開并忽略定子開槽影響和鐵心飽和效應，可得到電機的二維解析模型，如圖2所示。由圖2可見，二維解析模型可以分為4個區域：永磁體區域(I)、內層氣隙區域(II)、外層氣隙區域(III)和非導磁塊區域(i)。其中，z1、(z2-z1)、(z3-z2)和(z4-z3)分別為永磁體厚度、內層氣隙長度、導磁塊厚度和外層氣隙的長度。Β為非導磁塊所占的跨距角，Q是導磁塊的個數。Rm為電機的平均半徑，b0為定子槽口寬度，S是定子槽數。

2　氣隙磁場分布和電機特性的解析分析

2.1　各區域的矢量磁位方程及邊界條件

在區域i中，矢量磁位Ai滿足拉普拉斯方程：

(1)

式中，θi為第i個非導磁塊的初始位置角。

由于導磁塊的磁導率為無窮，所以第i個非導磁塊與導磁塊交界面磁場的切向分量為零。此外，第i個非導磁塊與內、外層氣隙交界面的矢量磁位是連續的。相應的邊界條件可表示為：

(2)

Ai(θ,z2)=AII(θ,z2);Ai(θ,z3)=AIII(θ,z3)

(3)

式中，AII、AIII為內、外層氣隙區域中的矢量磁位。

由矢量磁位方程式(1)和邊界條件式(2)可得矢量磁位Ai的表達式為

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

在區域I中，矢量磁位AI滿足泊松方程為

(9)

式中，Mz為永磁體的軸向磁化強度。

圖3所示為Mz的分布圖，由此可得Mz的表達式為

(10)

式中，Br為剩磁密度；pp為永磁體極對數；θp0為永磁轉子的初始相位角。

由于永磁轉子鐵心的磁導率為無窮，所以永磁體與永磁轉子鐵心交界面磁場的切向分量為零。此外，永磁體與內層氣隙交界面的矢量磁位是連續的。相應的邊界條件可表示為：

(11)

AI(θ,z1)=AII(θ,z1)

(12)

由矢量磁位方程式(9)和邊界條件式(11)可得矢量磁位AI的表達式為

AI(θ,z)=

(13)

式中：

(14)

(15)

在區域II中，矢量磁位AII滿足拉普拉斯方程為

(16)

內層氣隙與永磁體交界面磁場的切向分量相等，相應的邊界條件可表示為

(17)

內層氣隙與非導磁塊交界面磁場的切向分量相等；由于導磁塊的磁導率為無窮，內層氣隙與導磁塊交界面磁場的切向分量為零。相應的邊界條件可表示為

(18)

由矢量磁位方程式(16)可得矢量磁位AII的表達式為

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

在區域III中，矢量磁位AIII滿足拉普拉斯方程為

(24)

外層氣隙與非導磁塊交界面磁場的切向分量相等；由于導磁塊的磁導率為無窮，外層氣隙與導磁塊交界面磁場的切向分量為零。相應的邊界條件可表示為

(25)

由于該二維解析分析方法是基于定子電樞繞組等效面電流法的，因此可認為定子電樞繞組等效分布在外層氣隙與定子軛交界處(z=z4)，且每槽導體沿切向的分布寬度等于原槽口寬度b0。假設軸向磁通磁場調制型電機定子采用每極每相槽數為1的集中整矩繞組，則在外層氣隙z=z4處，定子電樞繞組電流密度等效分布模型如圖4所示。

定子電樞繞組等效電流密度的表達式為

(26)

式中，Im為相電流有效值；Nt為每槽導體數；θs0為第一槽內相電流的初始相位角；b0為槽口寬度。

由于定子軛的磁導率為無窮，且外層氣隙與定子軛交界面存在等效面電流，因此邊界條件式可表示為

(27)

由矢量磁位方程式(24)可得矢量磁位AIII的表達式為

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

2.2　氣隙磁密分布

內層氣隙磁密軸向分量BzII和切向分量BθII的表達式為式(33)、式(34)；外層氣隙磁密軸向分量BzIII和切向分量BθIII的表達式為式(35)、式(36)。

(33)

(34)

(35)

(36)

2.3　電機特性

可以通過對外層氣隙磁密積分獲得電機單相磁鏈，從而得到空載反電動勢表達式為

(37)

由麥克斯韋應力張量法和牛頓第三定律可得電機的電磁轉矩和軸向磁拉力表達式為：

(38)

(39)

Tm=-(Ts+Tp)

(40)

(41)

(42)

Fm=-(Fs+Fp)

(43)

式中，Tp、Ts、Tm為永磁轉子、定子和調制環所受的電磁轉矩；Fp、Fs、Fm為永磁轉子、定子和調制環所受的軸向磁拉力。

3　解析分析與三維有限元仿真對比

為了評估解析分析的正確性，將解析結果與三維有限元仿真結果進行比較，電機結構參數如表1所示。

表1　軸向磁通磁場調制型電機結構參數

圖5和圖6所示分別為永磁體和三相定子電樞繞組單獨作用時，內、外層氣隙區域中的磁場分布波形。由圖可見，由于導磁塊的存在，氣隙磁場的調制作用非常明顯，解析計算結果與三維有限元仿真結果具有很好的一致性。

空載反電動勢波形如圖7所示。由圖7可知，解析計算的空載反電勢幅值比三維有限元仿真結果大了7.7%。

圖8給出了不同相電流下的轉矩特性。由圖8可知，解析分析結果與三維有限元仿真結果具有較好的一致性。圖9給出了導磁塊的極弧比對電磁轉矩的影響。由圖9可知，解析分析計算的電磁轉矩與三維有限元仿真結果的最大誤差在10.3%以內，這主要由于解析計算沒有考慮定子鐵心、導磁塊和永磁轉子鐵心的飽和作用。重要的是，解析計算與有限元仿真的曲線變化規律一致，并且永磁轉子轉矩的最大值均出現在導磁塊極弧系數0.5處。

定子通三相對稱的直流電，當永磁轉子從0°旋轉到18°(旋轉一對極)時，永磁轉子所受的軸向磁拉力如圖10所示。由圖10可知，解析分析計算的軸向磁拉力三維有限元仿真之間的誤差在9.7%以內。

由圖9和圖10可知，解析計算結果和三維有限元仿真結果存在一定的差異。這主要是由于解析分析忽略定子開槽對氣隙磁密的影響且假設軟磁材料的磁導率為無窮，而三維有限元仿真建立電機的實際模型且考慮鐵心的飽和效應。

為了研究解析分析中諧波個數的選擇對計算結果的影響，圖11給出了諧波個數對永磁轉子轉矩和計算時間的影響。由圖11可知，當諧波個數大于等于70時，電磁轉矩差值小于6.3%。這表明諧波個數選取70已經可以較為準確地預測電機的永磁轉子轉矩。此種選擇下解析計算時間為74s，而三維有限元仿真時間最少需要30min。由于解析分析在大大縮短了計算時間的同時可以較為準確地預測氣隙磁場分布和轉矩隨著參數的變化規律，因此適用于初始設計階段電機參數的確定。

4　結論

本文提出了一種二維解析分析方法用于計算軸向通量磁場調制型電機的氣隙磁場分布和電機特性。該方法考慮到調制環存在對氣隙磁密的影響，分析結果表明解析分析方法可以較為準確地預測氣隙磁場分布和轉矩隨著參數的變化規律。解析結果與三維有限元仿真結果具有很好的一致性，兩者之間的誤差在10.3%以內。由于解析分析在保證計算精度的前提下大大縮短了計算時間，且解決了三維有限元分析模型復雜的問題，因此該方法適用于軸向磁通磁場調制型電機初始設計階段電機參數的確定，提高了電機優化設計的靈活性與高效性。

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