單穩和雙穩機制中的光力糾纏

嚴冬，張孟龍，王彬彬

(長春大學理學院，長春130022)

納米時代的到來促使量子光力學研究進一步繁榮發展。納米技術的快速進步使得微小質量和高品質機械振子的制造成為可能，而這類機械振子通常可以作為感應微弱光輻射壓力(通常忽略不計)的光力學裝置[1-2]。一方面，能夠利用各種光力學系統有效地探索新奇量子行為[3];另一方面，由于其固有的經典和量子二重特性，量子光力學為實現超精密測量鋪平了道路[4-6]。伴隨著研究的不斷深入，人們發現，量子光力學系統具有極強的擴展性，甚至能夠耦合其他物理系統不易兼容的自由度，構造出新型的混合量子相干器件，實現更為豐富的物理功能[2]，例如與原子系綜混合實現電磁感應透明型機械透明的相干控制[7-8]。

此外，量子糾纏作為量子信息處理和量子物理的核心資源，在理論和應用上有著極其重要的地位。研究表明，在光力學系統也存在著類似的量子關聯-光力糾纏[9-10]，即腔內的量子光場與宏觀的機械裝置產生糾纏，這樣不但可以利用光力學手段作為有力的工具探究量子物理的實質，還能夠為量子信息技術提供全新的量子界面。

本文研究具有單、雙穩特征的光力糾纏。系統地考察和判斷模型的穩定條件，進一步利用刻畫連續變量糾纏的手段準確而有效的評估單穩與雙穩機制下光力學糾纏特性并給出物理解釋。

圖1 典型的光力學系統

1 光力學系統的動力學方程以及糾纏量度

如圖1所示的典型光力學系統:法布里-珀羅微腔一端為固定的半反半透腔鏡，另一端為全反射的可移動腔鏡。頻率為ω0的經典光場E通過固定腔鏡端入射并激發腔內的單模光場a，頻率為ωc。該單模腔場推動頻率為ωm的可移動腔鏡產生微小位移。該系統的哈密頓為:

(1)

其中，第一項為單模腔場的自由哈密頓，a+、a分別為產生和湮滅算符，滿足對易關系[a，a+]=1;第二項為可以移動腔鏡的自由哈密頓，p、q分別為可移動腔鏡的無量綱動量和位移，滿足對易關系[q，p]=i。第三項是光力相互作用哈密頓，為耦合強度，L為處于腔鏡平衡位置時的長度。最后一項為腔內腔外相互作用哈密頓，，P為功率，κ為腔鏡弛豫速率。

計及腔內光子損耗和量子噪聲，系統的動力學可以用郎之萬方程來描述:

(2)

考慮到研究系統的關聯，需要對算符進行線性化，即a=αs+δa，q=qs+δq以及p=ps+δp。將線性化的方程代入郎之萬方程，會得到穩態解，這里有效失諧Δ=Δ0-G20αs/ωm。同時得到漲落滿足的方程:

(3)

(4)

(5)

如果僅僅考慮αs是實數，即，則可以退化為:

(6)

這時與文獻[10]完全一致。

根據Routh-Hurwitz判據，系數矩陣A的本征值具有負實部，方程(4)才穩定，基于此可以得到以下兩個非平凡的判據，即:

(7)

(8)

當系統的穩定條件得到滿足，可以計算穩態關聯矩陣V滿足的方程:

(9)

這里有:

(10)

在此基礎上可以用En量度光力學糾纏。在連續變量系統中，有:

(11)

(12)

是4×4的方陣，而A，B，C為2×2的塊方陣。

圖2 (a)腔內光子強度Is解分布示意圖，(b)系統光力學單、雙穩相圖

2 數值結果討論與分析

(13)

圖3 漲落穩定性相圖。第一、二行分別利用判據一、二來計算。第一、三列來自雙穩的兩個解，中間一列為不穩定的第三個解。綠色為不滿足判據的參數空間。

在此基礎上，進一步利用Routh-Hurwitz判據來判斷系統漲落滿足的穩定條件。當且僅當方程(13)的解同時滿足兩個判據時，系統漲落的演化才會趨于穩定。圖3表明:雙穩機制下，雙穩解中一個無條件滿足，另一個處處不滿足，而第三個不穩定的解完全不滿足;而單穩機制下，只有當P＜ωcωm[Δ0(Δ20+9κ2)-(Δ20-3κ2)3/2]/27κG20時才不違背Routh-Hurwitz判據。只有滿足Routh-Hurwitz判據才可以進一步計算糾纏。

圖4 單穩和雙穩機制下腔內光子強度和光力糾纏。左右兩列分別對應功率10mW和40mW，紅、藍標記與圖3一致。

現在考察單、雙穩機制下的光力糾纏。從圖4可知，無論是單穩還是雙穩機制，糾纏最大值與腔內最大光子強度并不對應。也即腔內光子數最多時，盡管可以推動腔鏡達到最大位移，但是并不意味著量子糾纏最大。反而是當腔內光子數目急速下降或者上升時候，量子糾纏最大。對于單穩情況，這兩種情況都存在，是可逆的。而雙穩情況，由于系統的連續性被破壞，所以不存在可逆。只有光子數目即將急劇增多時候，也就是在下支到上支轉換的邊界處量子糾纏最大。

3 結語

本論文研究了典型光力學系統中的腔場與可移動腔鏡之間的量子糾纏行為。首先系統分析模型的穩定情況，然后考察單、雙穩機制下的光力糾纏特性。發現單穩情況糾纏最大值并沒有出現在腔內光子數最多的時候。而雙穩情況下，最大糾纏出現在下支與與上支轉換的邊界處，并且不可逆。