一“數(shù)”獨(dú)秀也是春

數(shù)學(xué)恐怕是令無數(shù)學(xué)生都“焦頭爛額”的一門學(xué)科。可數(shù)學(xué)又無處不在，充滿了每個人的生活。馬克思曾說過：“一門科學(xué)，只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時，才能達(dá)到真正完善的地步。”北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授孫文祥就將這個“虐我千百遍”的學(xué)科運(yùn)用得宜，一步步探尋著數(shù)學(xué)奧秘。

坎坷求學(xué)路

出生于1958年的孫文祥，高中畢業(yè)后被安排到農(nóng)村學(xué)校教書，但他始終放不下對知識的渴求，兩年后被保送進(jìn)入河北師范學(xué)院（今河北師范大學(xué)）數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)。因大學(xué)入學(xué)時間推遲，孫文祥的本科學(xué)習(xí)時間只有兩年半。畢業(yè)后，他留校任教，1982年被派往河北師范大學(xué)進(jìn)修碩士研究生，但僅作為進(jìn)修生的孫文祥沒有機(jī)會獲得碩士學(xué)位。勤能補(bǔ)拙，工作幾年之后，孫文祥于1991年考取中山大學(xué)博士研究生，僅用兩年半的時間就取得了常人3年才能拿到的博士學(xué)位。孫文祥常說這是因?yàn)橛龅搅恕昂美蠋煛保陉愒迤较壬⒑芜B法教授和周作領(lǐng)教授的科研思路影響下，奠定了在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究方向，也就是微分動力系統(tǒng)與遍歷論。

博士畢業(yè)后，孫文祥在北京大學(xué)做博士后研究，合作導(dǎo)師是在國際微分動力系統(tǒng)界獨(dú)樹一幟的廖山濤先生。此外，文蘭院士領(lǐng)導(dǎo)的微分動力系統(tǒng)研討班令孫文祥獲益良多；他和國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟主席Palis領(lǐng)導(dǎo)的巴西動力系統(tǒng)學(xué)派還有定期的訪問合作。植根于深厚的研究沃土，孫文祥率領(lǐng)他的博士生和國外同行做出了獨(dú)特的系列研究成果。

洞悉“熵的黑洞”和“熵爆炸”

20多年來，孫文祥與團(tuán)隊(duì)在微分動力系統(tǒng)的遍歷理論領(lǐng)域里兢兢業(yè)業(yè)，克服重重困難，在非一致雙曲系統(tǒng)的周期逼近和周期偏差課題，在帶奇點(diǎn)流的熵退化理論課題中取得30余篇科研成果論文，發(fā)表于Transactions AMS、Proceedings AMS、ETDS、CMP等國際著名數(shù)學(xué)綜合學(xué)術(shù)雜志和國際頂尖專業(yè)學(xué)術(shù)雜志上。

目前，團(tuán)隊(duì)成員包括巴西學(xué)派的兩位教授和一位美國教授以及孫文祥指導(dǎo)的10余名博士生和碩士生，如今這些學(xué)生已經(jīng)有若干名成長為副教授、教授，在復(fù)旦大學(xué)和美國的密執(zhí)安州立大學(xué)等著名大學(xué)工作。

有了團(tuán)隊(duì)的支撐，研究進(jìn)行得如火如荼。微分動力系統(tǒng)的運(yùn)動復(fù)雜性可以用非負(fù)實(shí)數(shù)——熵來量度。熵在物理、化學(xué)、信息學(xué)中表示系統(tǒng)的混亂程度和不確定程度，而動力系統(tǒng)里的熵則突出了這種混亂或不確定性與時間和運(yùn)動的關(guān)系。0熵系統(tǒng)復(fù)雜度最低，正數(shù)熵系統(tǒng)則比0熵系統(tǒng)復(fù)雜程度高一個層級，且熵越大復(fù)雜度越大。無窮熵系統(tǒng)則是復(fù)雜的最高級別。

孫文祥團(tuán)隊(duì)構(gòu)造了一個四維流形（空間）和帶有一個固定奇點(diǎn)的向量場族，即一族微分動力系統(tǒng)。這族系統(tǒng)的運(yùn)動軌道是一樣的，但運(yùn)動速度不同。從一個熵很大很復(fù)雜的正熵系統(tǒng)開始，增大軌道在奇點(diǎn)附近的停留時間（等價(jià)于減小軌道在奇點(diǎn)附近的運(yùn)動速度）進(jìn)而減少向量場的熵值，達(dá)到的臨界系統(tǒng)是個0熵系統(tǒng)。這族系統(tǒng)的正熵退化為臨界系統(tǒng)的0熵，由此可以解釋為：系統(tǒng)族的全部熵都被奇點(diǎn)“吸收掉了”，或者說，臨界系統(tǒng)的全部熵集中在奇點(diǎn)上。這樣一來，臨界系統(tǒng)的奇點(diǎn)就好似一個“黑洞”，吸引了系統(tǒng)的全部“能量”—熵。孫文祥稱臨界系統(tǒng)的這個奇點(diǎn)為熵黑洞，上述例子則給出了熵黑洞的一種行成機(jī)制。

團(tuán)隊(duì)構(gòu)造的熵黑洞是無法接近的，究其原因，是因?yàn)樵谄纥c(diǎn)，即熵黑洞周圍存在一個極小集合，其每個點(diǎn)的運(yùn)動軌道在空間中稠密且全方位無限次逼近奇點(diǎn)。正是這個極小集合在熵黑洞外圍形成了“保護(hù)箱”，使得外面狀態(tài)點(diǎn)的軌道無法穿越這個箱子達(dá)到奇點(diǎn)。熵黑洞也是不能觀察的，原因是包括勒貝格測度在內(nèi)的、凡是隨軌道不變的測度都消失了，沒有運(yùn)動著的觀察測度。熵黑洞還不能度量，是由于正熵系統(tǒng)的黎曼度量在達(dá)到臨界系統(tǒng)時退化為非黎曼度量。

孫文祥團(tuán)隊(duì)進(jìn)一步就一般的熵黑洞揭示了特征。下面幾個特征條件單獨(dú)成立，即滿足其一就能形成熵黑洞：

1.軌道在奇點(diǎn)附近的停留時間太大超過了“極限線性”；

2.軌道在奇點(diǎn)附近的速度太小超過了“極限線性”；

3.所有隨軌道不變的測度包括勒貝格測度全部消失，即沒有了“運(yùn)動著的”觀察測度；

4.黑洞形成過程是相對論中黎曼度量變化的過程，臨界系統(tǒng)對應(yīng)的是黎曼度量破裂成非黎曼度量。

依據(jù)3和4，熵黑洞是無法觀察到、無法度量的。只能用數(shù)學(xué)方法證明其存在。

孫文祥團(tuán)隊(duì)證明，不帶奇點(diǎn)的向量場不會出現(xiàn)熵黑洞，帶奇點(diǎn)的向量場如果奇點(diǎn)不是很特殊，也不會出現(xiàn)熵黑洞。于是，熵黑洞出現(xiàn)是很少的現(xiàn)象。然而，他們又證明這種帶有“熵黑洞”的系統(tǒng)并非個例，如果所有系統(tǒng)放在一起構(gòu)成一個集合，則具有熵黑洞的系統(tǒng)構(gòu)成的子集合是具有無限維數(shù)的。

除此之外，團(tuán)隊(duì)還構(gòu)造了具有無窮層保護(hù)箱的熵黑洞。“在一維流形和二維流形上不會產(chǎn)生熵黑洞，四維以上流形可能產(chǎn)生熵黑洞。”孫文祥介紹。據(jù)悉，“三維流形上能否產(chǎn)生黑洞”是孫文祥仍在研究的課題之一，未解之謎正在逐一得到解答。

如果說物理黑洞是“物質(zhì)的”——奇點(diǎn)吸引了周圍的質(zhì)量、光或熱量，那么孫文祥團(tuán)隊(duì)的熵黑洞則是關(guān)于運(yùn)動復(fù)雜程度的數(shù)量的“非物質(zhì)”黑洞。

團(tuán)隊(duì)取得的眾多成果中不得不提的還有一個逆向成果——熵爆炸。團(tuán)隊(duì)構(gòu)造了一個拓?fù)淇臻g和一族動力系統(tǒng)，這族系統(tǒng)的運(yùn)動軌道是一樣的，但運(yùn)動速度不同。從一個0熵即沒有復(fù)雜性系統(tǒng)開始，減小軌道在奇點(diǎn)附近的停留時間（等價(jià)于增大軌道在奇點(diǎn)附近的運(yùn)動速度）進(jìn)而增大系統(tǒng)的熵值，達(dá)到的臨界系統(tǒng)是個無窮大的熵系統(tǒng)，即軌道相同的一族系統(tǒng)熵值從0增大爆炸成為無窮熵。

雖然有巴西學(xué)派的數(shù)學(xué)家Gelfert和美國西北大學(xué)物理學(xué)家Mortter在孫文祥團(tuán)隊(duì)之后獲得了1項(xiàng)研究論文，但總體來講，研究尚沒有引起國際上更多數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的關(guān)注。團(tuán)隊(duì)的研究仍然是孤軍奮戰(zhàn)。“研究始于1997年，共發(fā)表9篇研究論文，每過一兩年當(dāng)我們有新想法時，就證明出新定理，研究就往前推進(jìn)一步”，孫文祥如是說，“不緊不慢，孤獨(dú)前行，也享受這種過程。”

傳遞數(shù)學(xué)之美

在數(shù)學(xué)研究同時，孫文祥還注重培養(yǎng)年輕人。他著有我國第一本研究生教材《遍歷論》，該書第一次系統(tǒng)介紹了遍歷論的基本知識、基礎(chǔ)技術(shù)以及團(tuán)隊(duì)新成果。

在孫文祥看來，做學(xué)問的過程中，也是有層次性可分的：一個是知識，一個是學(xué)問，再者就是知識和學(xué)問不能分離，要將其結(jié)合起來，找到解決問題的關(guān)鍵思路。細(xì)細(xì)說來，在引領(lǐng)課題或者某個研究方向時，也許技術(shù)就足以解決很多問題，但真正限制研究的卻是思路，一旦科研思路清晰明了，就算研究再復(fù)雜難解，終會找到突破口。

孫文祥經(jīng)常強(qiáng)調(diào)的還有思路的獨(dú)特性。當(dāng)問題出現(xiàn)時，人們總是習(xí)慣于用“老”知識來衡量“新”問題的對錯，卻很少想要開創(chuàng)性地去研究這個新問題。“獨(dú)到見解是做學(xué)問的最高層次。”孫文祥表示。

日常教學(xué)中，孫文祥總是保持著高度熱情，不止要把所教的內(nèi)容講清、講明白，還要講透徹。教學(xué)中他還特意放慢速度，留給學(xué)生充足的思考時間。他的數(shù)學(xué)教學(xué)得到學(xué)生好評，2015年被選為“北京大學(xué)十佳教師”。

孫文祥就是這樣一步步證明著，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究中，即便開頭難，但只要有肯攀登的決心，成功并不是遙不可及。而在教學(xué)中，孫文祥同樣帶領(lǐng)學(xué)生們用開拓的思路領(lǐng)悟著數(shù)學(xué)的浪漫與美感。