基于單元知識結構的數學教學目標和重難點確立

摘 要：基于單元知識結構的教學設計，要求教師以單元為基本單位，進行單元教學目標和重難點的分析，從而形成目標系統，指引教學的方向。以蘇教版小學數學四年級下冊第一單元《平移、旋轉和軸對稱》為例，說明：單元教學目標的確立可以從學科性、關聯性、應用性三個方面進行；單元教學重點的確立可以從學科知識和學科評價兩個方面進行；單元教學難點的確立有學習心理和教學反思兩個來源。

關鍵詞：單元教學 目標 重點 難點 圖形的運動

教學目標和重難點分析是對教學的總體考慮，是整個教學設計過程的引導性環節，它們共同形成目標系統，指引教學的方向。徐文彬教授提出基于單元知識結構的教學設計時，要求教師以單元為基本單位，進行單元教學目標和重難點的分析。

為了展現小學數學單元教學目標和重難點的確立方式，筆者以蘇教版小學數學四年級下冊第一單元《平移、旋轉和軸對稱》為例，從單元教學目標、單元教學重點和單元教學難點三個方面的確立略做闡述。

一、單元教學目標的確立

單元教學目標的確立是首要內容，它直接關乎學生學什么的問題，并為后續的單元教學重點確立和單元教學難點確立提供依據。下面結合單元知識結構的理念，以整體性視角審視單元教學目標，將其分為三個方面進行分析：

（一）學科性

學科性指向學科自身的各種內容（如學科框架、學科特點、學科思維等），是單元教學目標的首要因素。關注學科性意味著反思所教知識的數學內涵、價值以及學習方式等，通過對這些方面的分析促使數學課堂生發出具有數學味的學科價值與意義。

具體來說，從學科性到單元教學目標，首先要構建一個包括學習內容（本單元的知識結構）、學習活動（學習知識所運用的活動方式）和學習結果（學習所獲得的經驗）三個方面的學習框架，其次要對學習框架中的三個方面進行組合。基于此，可以把單元教學目標描述為學生在本單元中通過怎樣的活動，學習怎樣的內容，獲得怎樣的結果。可以看出，這樣確立的單元教學目標兼顧了學習過程與結果。

本單元中，以圖形運動的知識結構為出發點，主要的學習內容可以分為運動的直觀表象、意義以及性質和特點、整體聯系三個層次。在此基礎上的學習活動可以分為觀察與感知、操作與描述、歸納與總結、拓展與運用四個層次。由此得出的學習結果包括知識與技能、思想與能力、情感態度與價值觀三個方面。這就是本單元的學習框架。

從內容層次上看，直觀表象是前置內容，意義以及性質和特點是主要內容，整體聯系是拓展內容。從活動層次上看，觀察與感知是基礎活動，操作與描述是主要活動，后兩個層次的活動基于前兩個層次的活動進行，并且指向意義以及性質和特點，還有整體聯系。從結果層次上看，不管內容與活動層次如何，每個部分的學習都應該兼有知識與技能、思想與能力、情感態度與價值觀的獲得。

通過對學習框架不同方面的組合，即可得到本單元的單元教學目標。比如，意義以及性質和特點、操作與描述、知識與技能三個方面組成的單元教學目標是：能在方格紙上判斷三種運動并進行描述，能在方格紙上進行簡單運動的操作。

需要注意的是，基于學科性得來的學習框架只能確立一部分單元教學目標，它的學習內容主要是數學學科的內部結構，因此還需要對外部結構（即關聯性和應用性）進行分析。外部結構應依附于內部結構，即無論是關聯性還是應用性，都是對學科性的補充與完善。

（二）關聯性

內部結構所包含的各種知識往往不僅是數學學科，而且對其他學科也有所涉及。關聯性是指知識可能在多個學科上具有意義和價值，并且可以在不同學科間相互聯系，以使學習者有更深刻的認識。因此，關聯性就成為單元教學目標的應有之義。

對關聯性的分析，首先要明確本單元知識可能存在的學科視角，即了解哪些知識在哪些相關學科中有所體現；其次要以該學科的視角對知識進行具體分析，即探究某知識在該學科中具有怎樣的意義，以及背后存在怎樣的概念背景、學科思維等；最后要將分析內容回歸數學學科，即將相關學科與數學學科進行對比，分析它們之間的聯系與區別，從而得到更深刻的數學意義，由此形成相應的單元教學目標。這要求教師具有全學科視野，以一種整體聯系的視角看待學科知識和單元教學目標。

本單元中，圖形概念與運動概念都具有關聯性。

圖形所蘊含的美感是數學問題的一種內在情境因素。對圖形的學習就是對美感的體驗和經歷，設計、制作相應的主題更是創造美的過程。讓學生欣賞圖案，思考通過怎樣的運動得到圖案，嘗試運用平移、旋轉和軸對稱的方法得到圖案，并進一步設計、制作圖案，是一個將數學應用與審美、手工融為一體的課題，也是一個能夠將創新精神與實踐能力的培養結合起來的載體。因此，讓學生從運動的角度欣賞生活中的圖案并設計圖案是一個單元教學目標。

運動與物理學科聯系密切。從物理學的角度看，要考慮物體運動的速度、加速度和位移；從數學的角度看，要研究運動前后物體的形狀、大小有沒有改變，位置關系發生了什么變化。這是學科之間研究內容的差異。從物理學視角上看，平移、旋轉和軸對稱分別是一維運動、二維運動和三維運動，對應于一維空間、二維空間和三維空間，這反映出三種運動的一種層次性；從數學視角上看，平移和旋轉都可以通過兩次軸對稱得到（反之不行），這使軸對稱顯得更具有基礎性，反映出三種運動的另一種層次性。這是不同學科對同一內容的不同解釋。運用數學視角審視物理視角，從而得到不同視角之間的聯系性甚至是內容的本質，是關聯性的價值所在。因此，讓學生從多個思維視角體驗運動就成為另一個單元教學目標。

（三）應用性

外部聯系的另一方面是應用性。它是指在生活實踐中進行知識應用，既強調生活實踐的重要性，認為其是學生已有經驗的直接來源；又強調知識應用的重要性，認為其是學生對知識理解的重要體現。

對應用性的分析，首先要將生活氣息融入教學中，使學習不僅是單調的知識掌握，而且是實踐活動、操作游戲或生活體驗；其次要思考生活實踐與相應知識的內在聯系，即生活實踐是否可以作為情境和練習，促進相應知識的理解和運用；最后要將學科知識置于真實情境中，形成復雜任務，促使學生協調運用各種復雜認知技能，完成面向實際的學習任務。

本單元中，針對應用性，單元教學目標強調讓學生欣賞生活中的圖案，設計具有實踐意義的圖形。一方面，通過生活情境，增強運動教學的可接納性和趣味性；另一方面，以生活為契機，增加運動的可思維層次，豐富運動所需思考的方面。由此，使學生更全面、更熟練地理解、掌握知識。進一步，要求學生運用所學知識解決生活中的運動問題。學生在生活中具有豐富的圖形平移、旋轉和軸對稱運動的經驗，把這些經驗作為學習運動豐富多彩的現實背景，同時也要將其與數學中的運動相互聯結，反過來更好地觀察、認識生活中的運動現象，以數學的眼光和思維看待生活、思考生活、經歷生活、體驗生活。

另外，應用性也具有社會建構意義。在各種基于生活實踐的學習活動中，學生總是作為“群體”存在，會進行各種數學話題的交流討論、合作探究等。這不僅可以培養學生的動手能力和思考能力，而且可以促進學生社交情感和數學情感的豐富。因此，應用性的意義也體現在數學能力與數學情感的綜合上。

綜合地看學科性、關聯性和應用性，三者共同體現出一種兼顧本質、整體和實際的數學觀。單元教學目標即是對這種數學觀的直接表達，以期更好地培養學生的數學素養。

結合以上分析，本單元的主要單元教學目標如表1所示。目標1、2主要來自于學科性，目標3主要來自于關聯性和應用性，而目標4、5則兼顧三方面。這種分配不是絕對的，可以說，幾乎每個目標都是相互聯系的。目標1、2是本單元的基礎；目標3以目標1、2為基礎，比目標1、2更能促進目標4、5的實現，是學生數學素養的重要生發點。

二、單元教學重點的確立

單元教學重點是目標體系中的第二個方面，通過單元教學重點的確立，教師可以幫助學生分清學習的主次，將注意力放在主要部分，這是一種重要的認知策略。從單元的視角來看，可以從兩個方面確立單元教學重點：

（一）學科知識

學科知識是單元教學重點的主要來源，教師可以從學科知識中歸納出單元教學重點。具體來看，學科知識視角下的單元教學重點主要有兩個方面：一是內容網絡中的節點知識，一是知識背后的數學思想。

知識結構以內容網絡的形式呈現，而節點知識則是其中的重要樞紐，具有牽一發而動全身的作用。教師應該清楚本單元知識的整體分布，并基于知識本身進行價值分析；然后對相關知識鏈進行分析，得出本單元知識所處的地位，以及與前后知識的聯系。知識背后的數學思想是另一個方面，它反映單元知識在整體結構中的價值。

本單元中，三種運動的意義以及性質和特點最能反映運動知識的價值。因此，對三種運動的認識是教學重點之一。這種價值性要求深刻認識圖形的運動，從簡單的觀察和感知上升為反思，有數學性的操作和描述等。由此，需要引入方格紙進行運動的認識，在方格紙上進行三種運動的操作更能體現出其關鍵點：平移的描述要說出距離和方向，旋轉的描述要說出旋轉方向、旋轉角度和旋轉中心，軸對稱的描述要說出對稱軸。這些關鍵點對整個圖形運動的知識結構來說具有基礎意義。

本單元中，圖形運動的動態視角與圖形位置的靜態視角相對，構成圖形認識的一種手段和途徑。因此，考慮三種運動如何對應相應的位置以及三種運動如何影響圖形的認識也是教學重點之一。前者要求學生體會運動與位置的直接聯系，即往往用運動前后的位置變化來描述運動的過程，運動是基于位置的想象而來的，對位置的認識與對運動的認識具有一致性。后者要求學生在運動中有目的地觀察物體，即運動中的圖形是否有變化，有哪些變化，這種變化是否有規律，有哪些規律等。這可以促進學生從動態的視角認識圖形，如平行四邊形的面積就可以通過運動轉化為長方形的面積，從而得到面積相同的結論。

本單元的圖形運動知識背后所滲透的變換思想在一定程度上給原有的圖形領域提供了更高的數學觀點和更新的研究視野，為該領域提供了必要的補充。所以，本單元的教學重點還包括：體現圖形運動相對于其他知識不可或缺的數學思想價值。三種運動的特性在于運動前后的對應性和不變性（也稱為剛體運動）。具體來看，對應性包括：平移前后對應點之間的連線互相平行（或者重合）且相等；旋轉前后對應點到旋轉中心的距離相等，且對應點與旋轉中心連線的夾角都等于旋轉角；軸對稱前后對應點到對稱軸的距離相等，且對稱軸垂直平分對應點之間的連線。不變性是指每種運動前后圖形的形狀、大小都不變化。更抽象地看，這種對應性和不變性表明圖形運動實際上就是圖形變換。變換不僅僅指向圖形，它是指某個集合符合一定要求的一種對應規律。圖形變換是通過點的變換實現的，點可以作為集合中的元素，而點所對應的數也可以作為集合中的元素，它們可以表示兩個對應的集合，這就初步反映了數形結合的思想。

（二）學科評價

學科評價是單元教學重點的另一個來源，對于學生來說，評價是一種重要的學習需要，既是一種自我檢驗，也是一種公認準則。學科評價視角下的單元教學重點確立要從知識的考查與檢驗出發，兼顧評價問題的基礎性與開放性。

具體來看，評價問題的基礎性是指評價問題注重操作與描述等基礎性內容，從而要求學生掌握基礎知識。因此，本單元的教學重點就包括根據描述畫圖和按照運動做出描述。這實際上是數學符號與具體表象的轉化，重在技能的掌握，并兼顧運動的意義。比如，要將圖1所示的圖形繞點A順時針旋轉90°，重點在于如何判斷圖形的位置。如果基于樸素的經驗進行判斷，則需要很大的思維投入，且容易出錯。如果基于旋轉的意義進行判斷，則只要尋找運動前后的圖形與旋轉三要素之間的關系，便更容易操作。根據不變性，選原有圖形具有代表性的部分，如旗桿這條線，就可以推斷出旋轉前后的兩條線交于點A，形成一個90°的角，且長度相等。這就把問題轉化為已知一個90°角的一條邊和頂點，尋找另一條邊。

評價問題的開放性是指評價問題常常變化多端且層次豐富，從而要求學生有靈活運用和創造的能力。因此，本單元的教學重點還包括通過變式開放地表達圖形的運動情況。在具體評價中，無論圖形類型還是運動形式，都存在大量的變式。比如，“如圖2所示，說出如何由圖形A的位置運動到圖形B的位置”這一問題就分為一種答案、多種答案、無數答案三個層次。雖然每種層次都是對運動的基礎運用，但是背后包含了想象運動所有可能的結果，并對結果進行歸納與綜合的開放思維過程。

結合以上分析，本單元的單元教學重點如表2所示。重點1、2對應于學科知識視角，重點3對應于學科評價視角。相比之下，學科知識視角較為靜態，學科評價視角較為動態，學科評價是對學科知識有針對性的應用。

三、單元教學難點的確立

單元教學難點關注學生學習中可能存在的困難。學習是外在的知識結構與內在的認知結構相互聯系的過程，在這一過程中學生的學習心理就成為單元教學難點確立的重要來源。而對一線教學來說，雖然教學難點指向學生，但是教師的教學反思往往更能把握學生的困難所在，因此教學反思是單元教學難點確立的另一個重要來源。

（一）學習心理

學習心理的個體性、復雜性和不確定性等決定了教學存在難點。基于學習心理的分析，在單元學習中往往存在著比較普遍的認知困難，這些認知困難構成了單元教學難點。

學生在圖形運動的學習中普遍存在的認知困難包括從具體到抽象的思維深化、經驗的負遷移以及解決具體問題等。

圖形的運動主題形式較為具體，但是其背后的數學內涵比較抽象。由于圖形與幾何領域的特殊性，其抽象的數學內涵不是從概念的分析、演繹中得到的，而是通過觀察、操作、想象、感悟等活動不斷深化而來的。這需要學生有大量的感知和準確的體驗，不但要“眼中有圖”，而且要“腦中有圖”。如果學生缺乏相應的感性認識，就難以展開抽象的思維活動，從而不能較快、較好地理解知識。比如，學生由于感覺經驗的豐富，能很快地找到平移和軸對稱的聯系；而因為感覺經驗的缺乏，幾乎無法直觀地找到旋轉和軸對稱的聯系，甚至難以接受旋轉和軸對稱有聯系。此外，觀察學生的操作過程可以發現，學生往往能較好地完成單獨的運動操作任務，但是，當被要求完成包含運動聯系性的操作任務時，學生往往束手無策，只能進行大量無意義的試誤。這也是因為運動聯系性背后的抽象性需要足夠的直觀經驗作為依托，而這恰恰是學生缺乏的。可以說，本單元

涉及從形象思維過渡到表象思維，最后到抽象思維的思維轉換過程，每次思維轉換都存在潛在的學習困難。

不過，豐富的經驗有時也會成為教學難點的來源，負遷移便是如此。當前置經驗和現有知識存在某種表面上相似、實質上不同的因素時，前者就會對后者造成干擾，產生負遷移。比如，學生日常生活中的“平移”經驗可能會影響某對平移運動的理解：對于汽車行駛、人走路以及摩天輪旋轉等運動，學生往往會自動將運動主體簡化成一個整體，從而根據它的整體運動趨勢判斷它是怎樣的運動，所以會認為汽車行駛、人走路都是平移運動，而摩天輪旋轉是旋轉運動。

（二）教學反思

教學反思是教師日常教學的一個重要組成部分。將教學反思與單元教學難點的確立相聯系，可以使教學反思更具操作性、實效性，也可以使單元教學難點的確立更加全面、有意義。

教師與學生共同經歷教學活動，擁有關于學生所存在的“疑難雜癥”的大量一手資料。教學反思時，教師可以對這些資料進行收集、整理與運用。從這一角度來說，每個教師都是本班學生學習心理的理論構造者，同時也是本班學生學習心理的實踐指導者。他們一方面聚焦一般學習心理所指向的教學難點，思考一般性的學習心理是否與本班學生的學習情況相符；一方面反思是否存在其他方面的教學難點，以創造出具有價值的教學難點。“教學-反思-難點”的過程實際上是教師將教學實在心理學化并以此推理出學生的學習困難的過程，是將實踐中得到的學科教學知識轉化為有理論意義的教學難點的過程。

除了一般心理之外，本單元的教學難點還可能是旋轉的復雜性、運動的動態性和圖形的變式。很多教師反映旋轉這一運動是學生最難理解的，有人認為這是因為學生缺少旋轉的生活經驗；有人覺得這是因為學生缺少對旋轉的操作體驗；有人反映學生在面對旋轉時，自發地將其列為困難運動，從而產生一種潛在的困難傾向。一些教師指出對圖形從靜止狀態認識發展到運動狀態認識的轉變也是教學難點之一，認為學生習慣了研究靜止狀態下的數學問題，因此研究運動狀態下的數學問題時，就需要一種新的學習模式，這往往需要花費更多的時間，涉及更多的思維進程，也就存在更多的困難。也有教師指出運動的主體也會影響學習難度，比如相比于直角三角形，學生在進行一般三角形的運動時更容易產生困難。

結合以上分析，本單元的單元教學難點如表3所示。

參考文獻：

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